شارح الدرس: اشتقاق مقلوب الدوال المثلثية الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: اشتقاق الدوال المثلثية

إذا كان ، فأوجد معدل تغيُّر ، عندما يكون .

الحل

تذكَّر أن معدَّل تغيُّر يُعطى بالمشتقة . في هذا المثال، يمكننا إيجاد معدَّل تغيُّر عندما يكون بإيجاد المشتقة أولًا، ثم إيجاد قيمة المشتقة عند .

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالة القاطع. ومن ثَمَّ، نبدأ بتذكُّر مشتقة دالة القاطع:

لإيجاد المشتقة ، علينا اشتقاق الدالة . يمكن أخذ الثابت خارج المشتقة باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت، وهذا يعني:

سنطبِّق قاعدة السلسلة للتعامل مع المقدار داخل دالة القاطع. لعلنا نتذكَّر قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق: ، ، فإن:

يمكننا ملاحظة أن الدالة الخارجية لـ هي ، والدالة الداخلية هي . ومن ثَمَّ، فإن ، . نعلم أن:

بتطبيق قاعدة القوى على ، نحصل على:

ومن ثَمَّ، يؤدِّي تطبيق قاعدة السلسلة على إلى:

وأخيرًا، بتذكُّر الثابت الموجود خارج هذه المشتقة، نحصل على:

علينا الآن إيجاد قيمة هذا المقدار عندما يكون . بالتعويض بهذه القيمة في المشتقة ، نحصل على:

نلاحظ أن ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد زاوية مكافئة من خلال طرح راديان من هذه الزاوية:

هذا يعني أن:

الآن، نلاحظ أن زاوية خاصة في دائرة الوحدة لها النسب المثلثية الآتية:

بما أن ، لأيِّ زاوية ، إذن لدينا:

أخيرًا، بالتعويض بهاتين القيمتين السابقتين، نحصل على:

ومن ثَمَّ، فإن معدَّل تغيُّر عند قيمة المُعطاة هو .

مثال ٢: اشتقاق الدوال المثلثية التي تتضمَّن نسبًا مثلثية باستخدام قاعدة الضرب

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالتَي الظل والقاطع؛ لذا، يمكننا البدء بتذكُّر هاتين المشتقتين:

لإيجاد المشتقة ، علينا اشتقاق الدالة التي تُمثِّل حاصل ضرب دالتين. يمكن أخذ الثابت خارج المشتقة باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت، وهو ما يُؤدي إلى:

الآن، لاشتقاق ، نلاحظ أن هذا يُمثِّل حاصل ضرب دالتين. ومن ثَمَّ، نسترجع قاعدة الضرب التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، فإن:

بتطبيق قاعدة الضرب، يمكننا كتابة:

أخيرًا، علينا حساب المشتقتين ، ؛ ونلاحظ أن هاتين الدالتين عبارة عن تركيبين، وهو ما يتطلَّب استخدام قاعدة السلسلة. ولعلنا نتذكَّر قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، فإن:

بالنسبة إلى ، الدالة الخارجية هي ، أما الدالة الداخلية فهي . بما أننا نعلم أن ، وفقًا لقاعدة القوى، إذن يمكننا كتابة الآتي باستخدام قاعدة السلسلة:

بالنسبة إلى ، الدالة الخارجية هي ، أما الدالة الداخلية فهي . باستخدام ، ، نجد أن:

بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة الضرب السابقة، نجد أن:

علينا ألَّا ننسى الثابت الذي أخذناه خارج المشتقة. ومن ثَمَّ، نحصل على:

مثال ٣: اشتقاق الدوال التي تتضمَّن مقلوب نسب الدوال المثلثية باستخدام قاعدة الضرب

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالة قاطع التمام؛ لذا، يمكننا البدء بتذكُّر مشتقة دالة قاطع التمام:

لإيجاد المشتقة ، علينا اشتقاق الدالة التي تُمثِّل حاصل ضرب دالتين. ولعلنا نتذكَّر قاعدة الضرب التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق: ، ، فإن:

بتطبيق قاعدة الضرب، يمكننا كتابة:

العامل الأول عبارة عن مشتقة دالة كثيرة الحدود؛ لذا، يمكننا حساب هذه المشتقة باستخدام قاعدة القوى:

العامل الأخير عبارة عن مشتقة دالة على صورة مجموع دالة قاطع التمام ودالة كثيرة الحدود. إذن:

بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة الضرب، يصبح لدينا:

مثال ٤: اشتقاق مقلوب الدوال المثلثية باستخدام قاعدة السلسلة

إذا كانت ، فأوجد .

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالة قاطع التمام. ومن ثَمَّ، نبدأ بتذكُّر مشتقة دالة قاطع التمام:

لإيجاد المشتقة ، علينا اشتقاق الدالة . يمكن أخذ الثابت خارج المشتقة باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت، وهذا يعني:

بما أن عبارة عن تركيب دالتين، إذن نسترجع قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، فإن:

يمكننا ملاحظة أن الدالة الخارجية لـ هي ، والدالة الداخلية هي . ومن ثَمَّ، فإن . بالنسبة إلى الدالة الداخلية ، نلاحظ أن وفقًا لقاعدة مشتقة الدالة الثابتة، كما أن وفقًا لقاعدة القوى. وهذا يؤدِّي إلى . بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة السلسلة، نحصل على:

وأخيرًا، بتذكُّر الثابت الموجود خارج هذه المشتقة، نحصل على:

مثال ٥: اشتقاق تركيب دوال مثلثية

أوجد ، إذا كانت .

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالتَي جيب التمام وظل التمام؛ لذا، يمكننا البدء بتذكُّر هاتين المشتقتين:

لإيجاد المشتقة ، علينا اشتقاق الدالة . يمكن تقسيم المجموع إلى جزأين باستخدام قاعدة المجموع والفرق، وأخذ الثابتين و٣ خارج المشتقتين، وهذا يؤدِّي إلى:

والآن علينا حساب المشتقتين ، ؛ ونلاحظ أن هاتين الدالتين عبارة عن تركيبين، وهو ما يتطلَّب استخدام قاعدة السلسلة. ولعلنا نتذكَّر قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، فإن:

بالنسبة إلى ، الدالة الخارجية هي ، أما الدالة الداخلية فهي . بما أننا نعلم أن ، وأن وفقًا لقاعدة القوى، إذن يمكننا كتابة الآتي باستخدام قاعدة السلسلة:

بالنسبة إلى ، الدالة الخارجية هي ، أما الدالة الداخلية فهي . باستخدام ، ، نجد أن:

بالتعويض بهذين المقدارين، يصبح لدينا:

مثال ٦: إيجاد المشتقة الأولى لدالة مثلثية مرفوعة إلى أس سالب

إذا كانت ، فأوجِد .

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالتَي ظل التمام وقاطع التمام؛ لذا، يمكننا البدء بتذكُّر هاتين المشتقتين:

لإيجاد المشتقة ، علينا اشتقاق الدالة . يمكننا حلُّ هذا الاشتقاق باستخدام طريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي تطبيق قاعدة السلسلة على هذه الدالة؛ حيث إن الدالة الخارجية هي ، والدالة الداخلية هي . والطريقة الثانية هي إعادة كتابة هذا المقدار على صورة خارج قسمة وتطبيق قاعدة القسمة. سنختار الطريقة الثانية؛ أيْ إننا سنكتب هذا المقدار على صورة خارج قسمة. لذا، علينا حساب:

لعلنا نتذكَّر قاعدة القسمة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، فإن:

بتطبيق قاعدة القسمة، يمكننا كتابة:

وفقًا لقاعدة مشتقة الدالة الثابتة، نعلم أن . بالنسبة إلى المشتقة ، يمكننا تطبيق قاعدة المجموع والفرق لتقسيم المجموع إلى جزأين، ثم تطبيق قاعدة الضرب في عدد ثابت أيضًا لأخذ العددين ٧ و٣ خارج المشتقتين:

الآن، علينا حساب المشتقتين ، ؛ ونلاحظ أن هاتين الدالتين عبارة عن تركيبين، وهو ما يتطلَّب استخدام قاعدة السلسلة. ولعلنا نتذكَّر قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق ، ، فإن:

بالنسبة إلى ، الدالة الخارجية هي ، أما الدالة الداخلية فهي . بما أننا نعلم أن ، وأن وفقًا لقاعدة القوى، إذن يمكننا كتابة الآتي باستخدام قاعدة السلسلة:

بالنسبة إلى ، الدالة الخارجية هي ، أما الدالة الداخلية فهي . باستخدام ، ، نجد أن:

بالتعويض بهذين المقدارين، يصبح لدينا:

وأخيرًا، يمكننا التعويض بهذا المقدار في قاعدة القسمة السابقة للحصول على: