تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: اشتقاق مقلوب الدوال المثلثية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مشتقات الدوال المثلثية، ونركِّز على مشتقات دوال ظلِّ التمام والقاطع وقاطع التمام.

تُعرَّف هذه الدوال باعتبارها مقلوب الدوال المثلثية القياسية: الجيب وجيب التمام والظل؛ ومن ثَمَّ، تُسمَّى مقلوب الدوال المثلثية. هيا نتذكَّر تعريف هذه الدوال.

تعريف: مقلوب الدوال المثلثية

مقلوب الدوال المثلثية كالآتي: إذانيإذانيإذاني𞸎=١𞸎𞸎𝜋٢+𞸍𝜋𞸍𞹑،𞸎=١𞸎𞸎𞸍𝜋𞸍𞹑،𞸎=𞸎𞸎𞸎𞸍𝜋𞸍𞹑.

نلاحظ أن 𞸎=١𞸎 إذا كان 𞸎𝜋٢+𞸍𝜋 لأيِّ 𞸍𞹑.

لحساب مشتقات مقلوبات الدوال المثلثية، يمكننا البدء بمشتقات الدوال المثلثية القياسية، وتطبيق قاعدة القسمة على مقلوب المقدار. بالرغم من أنه يمكننا دائمًا الحصول على مشتقات مقلوب الدوال المثلثية بهذه الطريقة، فإن من المفيد معرفة صيغ هذه المشتقات حتى لا نحتاج إلى اشتقاق هذه المقادير في كلِّ مرة. نسترجع مشتقات دوال الجيب وجيب التمام والظل.

قاعدة: مشتقات الدوال المثلثية

تكون مشتقات الدوال المثلثية على النحو الآتي: 𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎،𞸃𞸃𞸎(𞸎)=𞸎.

نبدأ بمشتقة دالة القاطع. من خلال تعريف دالة القاطع، يمكننا كتابة:

𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸎󰃀.()١

سنطبِّق قاعدة القسمة على هذا المقدار لإيجاد المشتقة.

قاعدة: قاعدة القسمة

بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰃁󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)󰃀=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎)٠.٢إذان

بتطبيق قاعدة القسمة على الطرف الأيسر من المعادلة (١)، يكون لدينا: 𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸎󰃀=(١)𞸎١(𞸎)(𞸎).٢

وفقًا لقاعدة مشتقة الدالة الثابتة، نعلم أن (١)=٠. كما نعلم أن (𞸎)=𞸎. ومن ثَمَّ، يمكن تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة السابقة إلى: ٠𞸎١(𞸎)(𞸎)=𞸎𞸎.٢٢

يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر باستخدام التعريفين 𞸎=𞸎𞸎، 𞸎=١𞸎. ومن ثَمَّ، يمكن كتابة الطرف الأيسر من المعادلة السابقة على الصورة: 𞸎𞸎×١𞸎=𞸎𞸎.

هذا يُعطينا مشتقة دالة القاطع.

قاعدة: مشتقة دالة القاطع

إذا كان 𞸎𝜋٢+𞸍𝜋 لأيِّ 𞸍𞹑، فإن: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.

فيما يلي، نلاحظ منحنى دالة القاطع ومنحنى مشتقتها على التمثيل البياني نفسه.

يمكننا دمج قاعدة المشتقة هذه مع قاعدة السلسلة. لذا، هيا نسترجع قاعدة السلسلة.

قاعدة: قاعدة السلسلة

بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸏)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸓(𞸎)))=󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎).

في المثال الأول، سنطبِّق قاعدة السلسلة مع قاعدة مشتقة دالة القاطع لإيجاد مشتقة دالة مُعطاة عند نقطة.

مثال ١: اشتقاق الدوال المثلثية

إذا كان 𞸑=٢٢𞸎، فأوجد معدل تغيُّر 𞸑، عندما يكون 𞸎=١١𝜋٦.

الحل

تذكَّر أن معدَّل تغيُّر 𞸑 يُعطى بالمشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎. في هذا المثال، يمكننا إيجاد معدَّل تغيُّر 𞸑 عندما يكون 𞸎=١١𝜋٦ بإيجاد المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎 أولًا، ثم إيجاد قيمة المشتقة عند 𞸎=١١𝜋٦.

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالة القاطع. ومن ثَمَّ، نبدأ بتذكُّر مشتقة دالة القاطع: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.

لإيجاد المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎، علينا اشتقاق الدالة ٢٢𞸎. يمكن أخذ الثابت ٢ خارج المشتقة باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت، وهذا يعني: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٢٢𞸎)=٢𞸃𞸃𞸎(٢𞸎).

سنطبِّق قاعدة السلسلة للتعامل مع المقدار ٢𞸎 داخل دالة القاطع. لعلنا نتذكَّر قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق: 󰎨(𞸏)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎).

يمكننا ملاحظة أن الدالة الخارجية لـ ٢𞸎 هي 𞸏، والدالة الداخلية هي ٢𞸎. ومن ثَمَّ، فإن 󰎨(𞸏)=𞸏، 𞸓(𞸎)=٢𞸎. نعلم أن: 󰎨(𞸏)=𞸃𞸃𞸏𞸏=𞸏𞸏.

بتطبيق قاعدة القوى على 𞸓(𞸎)، نحصل على: 𞸓(𞸎)=𞸃𞸃𞸎٢𞸎=٢.

ومن ثَمَّ، يؤدِّي تطبيق قاعدة السلسلة على ٢𞸎 إلى: 󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎)=٢𞸎٢𞸎×٢=٢٢𞸎٢𞸎.

وأخيرًا، بتذكُّر الثابت ٢ الموجود خارج هذه المشتقة، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٢(٢٢𞸎٢𞸎)=٤٢𞸎٢𞸎.

علينا الآن إيجاد قيمة هذا المقدار عندما يكون 𞸎=١١𝜋٦. بالتعويض بهذه القيمة في المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٤١١𝜋٣١١𝜋٣.𞸎=١١𝜋٦

نلاحظ أن ١١𝜋٣>٢𝜋؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد زاوية مكافئة من خلال طرح ٢𝜋 راديان من هذه الزاوية: ١١𝜋٣٢𝜋=١١𝜋٣٦𝜋٣=٥𝜋٣.

هذا يعني أن: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٤٥𝜋٣٥𝜋٣.𞸎=١١𝜋٦

الآن، نلاحظ أن ٥𝜋٣ زاوية خاصة في دائرة الوحدة لها النسب المثلثية الآتية: ٥𝜋٣=󰋴٣٢،٥𝜋٣=١٢.

بما أن 𝜃=١𝜃، 𝜃=𝜃𝜃 لأيِّ زاوية 𝜃، إذن لدينا: ٥𝜋٣=١=٢،٥𝜋٣==󰋴٣.١٢󰋴٣٢١٢

أخيرًا، بالتعويض بهاتين القيمتين السابقتين، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎󰍾=٤×٢×󰂔󰋴٣󰂓=٨󰋴٣.𞸎=١١𝜋٦

ومن ثَمَّ، فإن معدَّل تغيُّر 𞸑 عند قيمة 𞸎 المُعطاة هو ٨󰋴٣.

في المثال السابق، دمجنا قاعدة مشتقة دالة القاطع هذه مع قاعدة السلسلة. يمكننا أيضًا دمج هذه القاعدة مع قاعدة الضرب.

قاعدة: قاعدة الضرب

بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)+󰎨(𞸎)𞸓(𞸎).

في المثال التالي، سنستخدم قاعدة مشتقة دالة القاطع مع كلٍّ من قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة.

مثال ٢: اشتقاق الدوال المثلثية التي تتضمَّن نسبًا مثلثية باستخدام قاعدة الضرب

إذا كانت 𞸑=٩٨𞸎٨𞸎، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎.

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالتَي الظل والقاطع؛ لذا، يمكننا البدء بتذكُّر هاتين المشتقتين: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.٢

لإيجاد المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎، علينا اشتقاق الدالة ٩٨𞸎٨𞸎 التي تُمثِّل حاصل ضرب دالتين. يمكن أخذ الثابت ٩ خارج المشتقة باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت، وهو ما يُؤدي إلى: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٩٨𞸎٨𞸎)=٩𞸃𞸃𞸎(٨𞸎٨𞸎).

الآن، لاشتقاق ٨𞸎٨𞸎، نلاحظ أن هذا يُمثِّل حاصل ضرب دالتين. ومن ثَمَّ، نسترجع قاعدة الضرب التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)+󰎨(𞸎)𞸓(𞸎).

بتطبيق قاعدة الضرب، يمكننا كتابة: 𞸃𞸃𞸎(٨𞸎٨𞸎)=(٨𞸎)٨𞸎+٨𞸎(٨𞸎).

أخيرًا، علينا حساب المشتقتين (٨𞸎)، (٨𞸎)؛ ونلاحظ أن هاتين الدالتين عبارة عن تركيبين، وهو ما يتطلَّب استخدام قاعدة السلسلة. ولعلنا نتذكَّر قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸏)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎).

بالنسبة إلى ٨𞸎، الدالة الخارجية هي 󰎨(𞸏)=𞸏، أما الدالة الداخلية فهي 𞸓(𞸎)=٨𞸎. بما أننا نعلم أن 󰎨(𞸏)=𞸏٢، 𞸓(𞸎)=٨ وفقًا لقاعدة القوى، إذن يمكننا كتابة الآتي باستخدام قاعدة السلسلة: (٨𞸎)=٨𞸎×٨=٨٨𞸎.٢٢

بالنسبة إلى ٨𞸎، الدالة الخارجية هي 󰎨(𞸏)=𞸏، أما الدالة الداخلية فهي 𞸓(𞸎)=٨𞸎. باستخدام 󰎨(𞸏)=𞸏𞸏، 𞸓(𞸎)=٨، نجد أن: (٨𞸎)=٨𞸎٨𞸎×٨=٨٨𞸎٨𞸎.

بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة الضرب السابقة، نجد أن: 𞸃𞸃𞸎(٨𞸎٨𞸎)=٨٨𞸎٨𞸎+٨𞸎(٨٨𞸎٨𞸎)=٨٨𞸎+٨٨𞸎٨𞸎.٢٣٢

علينا ألَّا ننسى الثابت ٩ الذي أخذناه خارج المشتقة. ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٩󰁓٨٨𞸎+٨٨𞸎٨𞸎󰁒=٢٧٨𞸎٢٧٨𞸎٨𞸎=٢٧٨𞸎٨𞸎٢٧٨𞸎.٣٢٣٢٢٣

في المثالين السابقين، استخدمنا قاعدة مشتقة دالة القاطع مع كلٍّ من قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب لاشتقاق دالتين مُعطاتين. هيا نُوجِد الآن صيغة مشتقة دالة قاطع التمام. بناءً على تعريف دالة قاطع التمام، يمكننا كتابة: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸎󰃀.

بتطبيق قاعدة القسمة، نجد أن: 𞸃𞸃𞸎󰃁١𞸎󰃀=(١)𞸎١(𞸎)(𞸎).٢

وفقًا لقاعدة مشتقة الدالة الثابتة، نعلم أن (١)=٠. كما نعلم أيضًا أن (𞸎)=𞸎. ومن ثَمَّ، يمكن تبسيط الطرف الأيسر من المعادلة السابقة إلى: ٠𞸎١(𞸎)(𞸎)=𞸎𞸎.٢٢

يمكننا تبسيط هذا المقدار أكثر باستخدام التعريفين 𞸎=𞸎𞸎، 𞸎=١𞸎. ومن ثَمَّ، يمكن كتابة الطرف الأيسر من المعادلة السابقة على الصورة: 𞸎𞸎×١𞸎=𞸎𞸎.

هذا يُعطينا مشتقة دالة قاطع التمام.

قاعدة: مشتقة دالة قاطع التمام

إذا كان 𞸎𞸍𝜋 لأيِّ 𞸍𞹑، فإن: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.

فيما يلي، نلاحظ منحنى دالة قاطع التمام ومنحنى مشتقتها على التمثيل البياني نفسه.

نتناول مثالًا نُطبِّق فيه هذه القاعدة مع قاعدة الضرب.

مثال ٣: اشتقاق الدوال التي تتضمَّن مقلوب نسب الدوال المثلثية باستخدام قاعدة الضرب

إذا كانت 𞸑=(𞸎+٣)(٩𞸎+𞸎)، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎.

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالة قاطع التمام؛ لذا، يمكننا البدء بتذكُّر مشتقة دالة قاطع التمام: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.

لإيجاد المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎، علينا اشتقاق الدالة (𞸎+٣)(٩𞸎+𞸎) التي تُمثِّل حاصل ضرب دالتين. ولعلنا نتذكَّر قاعدة الضرب التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق: 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)+󰎨(𞸎)𞸓(𞸎).

بتطبيق قاعدة الضرب، يمكننا كتابة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎((𞸎+٣)(٩𞸎+𞸎))=(𞸎+٣)(٩𞸎+𞸎)+(𞸎+٣)(٩𞸎+𞸎).

العامل الأول (𞸎+٣) عبارة عن مشتقة دالة كثيرة الحدود؛ لذا، يمكننا حساب هذه المشتقة باستخدام قاعدة القوى: (𞸎+٣)=١+٠=١.

العامل الأخير (٩𞸎+𞸎) عبارة عن مشتقة دالة على صورة مجموع دالة قاطع التمام ودالة كثيرة الحدود. إذن: (٩𞸎+𞸎)=(٩𞸎)+(𞸎)=٩𞸎𞸎.

بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة الضرب، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=١(٩𞸎+𞸎)+(𞸎+٣)(٩𞸎𞸎)=٩𞸎+𞸎+٩𞸎+٧٢(𞸎+٣)𞸎𞸎=٨١𞸎(𞸎+٣)𞸎𞸎+𞸎+٧٢.

نتناول مثالًا آخر نستخدم فيه صيغة مشتقة دالة قاطع التمام مع قاعدة السلسلة.

مثال ٤: اشتقاق مقلوب الدوال المثلثية باستخدام قاعدة السلسلة

إذا كانت 𞸑=٣١(𝜋+٥𞸎)، فأوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎.

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالة قاطع التمام. ومن ثَمَّ، نبدأ بتذكُّر مشتقة دالة قاطع التمام: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.

لإيجاد المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎، علينا اشتقاق الدالة ٣١(𝜋+٥𞸎). يمكن أخذ الثابت ٣١ خارج المشتقة باستخدام قاعدة الضرب في عدد ثابت، وهذا يعني: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٣١(𝜋+٥𞸎))=٣١𞸃𞸃𞸎(𝜋+٥𞸎).

بما أن (𝜋+٥𞸎) عبارة عن تركيب دالتين، إذن نسترجع قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸏)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎).

يمكننا ملاحظة أن الدالة الخارجية لـ (𝜋+٥𞸎) هي 󰎨(𞸏)=𞸏، والدالة الداخلية هي 𞸓(𞸎)=𝜋+٥𞸎. ومن ثَمَّ، فإن 󰎨(𞸏)=𞸏𞸏. بالنسبة إلى الدالة الداخلية 𞸓، نلاحظ أن (𝜋)=٠ وفقًا لقاعدة مشتقة الدالة الثابتة، كما أن (٥𞸎)=٥ وفقًا لقاعدة القوى. وهذا يؤدِّي إلى 𞸓(𞸎)=٥. بالتعويض بهذين المقدارين في قاعدة السلسلة، نحصل على: 𞸃𞸃𞸎(𝜋+٥𞸎)=(𝜋+٥𞸎)(𝜋+٥𞸎)×٥=٥(𝜋+٥𞸎)(𝜋+٥𞸎).

وأخيرًا، بتذكُّر الثابت ٣١ الموجود خارج هذه المشتقة، نحصل على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٣١(٥(𝜋+٥𞸎)(𝜋+٥𞸎))=٥٦(𝜋+٥𞸎)(𝜋+٥𞸎).

لقد تناولنا حتى الآن العديد من مسائل المشتقات التي تتضمَّن دالتَي القاطع وقاطع التمام. ننتقل الآن إلى مقلوب الدالة المثلثية الأخيرة المتبقية، وهي دالة ظل التمام. بناءً على تعريف دالة ظل التمام، يمكننا كتابة: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸃𞸃𞸎󰃁𞸎𞸎󰃀.

بتطبيق قاعدة القسمة: 𞸃𞸃𞸎󰃁𞸎𞸎󰃀=(𞸎)𞸎𞸎(𞸎)(𞸎).٢

نحن نعلم أن: (𞸎)=𞸎،(𞸎)=𞸎.

ومن ثَمَّ، يمكن كتابة مشتقة الدالة 𞸎 على النحو الآتي: 𞸎×𞸎𞸎×𞸎(𞸎)=󰁓𞸎+𞸎󰁒𞸎.٢٢٢٢

يمكننا استخدام المتطابقة المثلثية ٢٢𞸎+𞸎=١ لكتابة هذه المشتقة على صورة ١𞸎٢. وأخيرًا، باستخدام التعريف 𞸎=١𞸎، يمكن كتابة المقدار الناتج على صورة 𞸎٢. وهذا يُعطينا مشتقة دالة ظل التمام.

قاعدة: مشتقة دالة ظل التمام

إذا كان 𞸎𞸍𝜋 لأيِّ 𞸍𞹑، فإن: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎.٢

فيما يلي، نلاحظ منحنى دالة قاطع التمام ومنحنى مشتقتها على التمثيل البياني نفسه.

نتناول مثالًا يكون علينا فيه تطبيق هذه القاعدة لإيجاد مشتقة.

مثال ٥: اشتقاق تركيب دوال مثلثية

أوجد 𞸃𞸑𞸃𞸎، إذا كانت 𞸑=٣٤𞸎+٣٤𞸎.

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالتَي جيب التمام وظل التمام؛ لذا، يمكننا البدء بتذكُّر هاتين المشتقتين: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎.٢

لإيجاد المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎، علينا اشتقاق الدالة ٣٤𞸎+٣٤𞸎. يمكن تقسيم المجموع إلى جزأين باستخدام قاعدة المجموع والفرق، وأخذ الثابتين ٣ و٣ خارج المشتقتين، وهذا يؤدِّي إلى: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎(٣٤𞸎+٣٤𞸎)=𞸃𞸃𞸎(٣٤𞸎)+𞸃𞸃𞸎(٣٤𞸎)=٣𞸃𞸃𞸎(٤𞸎)+٣𞸃𞸃𞸎(٤𞸎).

والآن علينا حساب المشتقتين (٤𞸎)، (٤𞸎)؛ ونلاحظ أن هاتين الدالتين عبارة عن تركيبين، وهو ما يتطلَّب استخدام قاعدة السلسلة. ولعلنا نتذكَّر قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸏)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎).

بالنسبة إلى ٤𞸎، الدالة الخارجية هي 󰎨(𞸏)=𞸏، أما الدالة الداخلية فهي 𞸓(𞸎)=٤𞸎. بما أننا نعلم أن 󰎨(𞸏)=𞸏، وأن 𞸓(𞸎)=٤ وفقًا لقاعدة القوى، إذن يمكننا كتابة الآتي باستخدام قاعدة السلسلة: (٤𞸎)=٤𞸎×٤=٤٤𞸎.

بالنسبة إلى ٤𞸎، الدالة الخارجية هي 󰎨(𞸏)=𞸏، أما الدالة الداخلية فهي 𞸓(𞸎)=٤𞸎. باستخدام 󰎨(𞸏)=𞸏٢، 𞸓(𞸎)=٤، نجد أن: (٤𞸎)=٤𞸎×٤=٤٤𞸎.٢٢

بالتعويض بهذين المقدارين، يصبح لدينا: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٣(٤٤𞸎)+٣󰁓٤٤𞸎󰁒=٢١٤𞸎٢١٤𞸎.٢٢

لقد حسبنا الآن مشتقات مقلوبات الدوال الثلاث، وحلَلْنا بعض المسائل باستخدام كلِّ صيغة. قد يبدو حفظ هذه الصيغ صعبًا في البداية، لكن هناك أنماطًا مفيدة علينا أن نضعها في الاعتبار للمساعدة في تقليل الأخطاء. نناقش بالتحديد نمطًا مهمًّا مستنبَطًا من المتطابقات المثلثية للزاويتين المتتامتين. نبدأ بكتابة جميع المشتقات الست هنا: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.؛؛٢٢

المشتقات الثلاث الموجودة في الطرف الأيسر هي مشتقات الدوال المتمِّمة المناظرة للمشتقات الثلاث الموجودة في الطرف الأيمن. على سبيل المثال، 𞸎 هي الدالة المتمِّمة للدالة 𞸎، وهو ما يعني أن 𞸎=󰂔𝜋٢𞸎󰂓. من خلال القائمة السابقة، يمكننا ملاحظة الخاصية المفيدة الآتية.

خاصية: مشتقات الدوال المتمِّمة

إذا كان لدينا مشتقة دالة مثلثية، فسنحصل على مشتقة الدالة المتمِّمة لها من خلال ضرب المشتقة الأصلية في ١، واستبدال كل دالة مثلثية في المشتقة بالدالة المتمِّمة لها.

على سبيل المثال، إذا كنا نعلم أن (𞸎)=𞸎𞸎، فإننا نحصل على مشتقة الدالة المتمِّمة 𞸎 من خلال وضع إشارة سالب أمامها، ثم استبدال 𞸎، 𞸎 بالدالتين المتمِّمتين لهما 𞸎، 𞸎، لنحصل على (𞸎)=𞸎𞸎.

باستخدام هذه الخاصية، يكفي أن نعرف ثلاث مشتقات فقط بدلًا من ست. وبحفظ مشتقات دوال الجيب والظل والقاطع، يمكننا بسهولة تحديد مشتقات جميع الدوال المثلثية ومقلوبات الدوال المثلثية الست.

في المثال الأخير، سنستخدم صيغًا متعدِّدة لمشتقات مقلوب الدوال المثلثية لإيجاد مشتقة.

مثال ٦: إيجاد المشتقة الأولى لدالة مثلثية مرفوعة إلى أس سالب

إذا كانت 𞸑=(٧٥𞸎+٣٦𞸎)١، فأوجِد 𞸃𞸑𞸃𞸎.

الحل

تتضمَّن الدالة التي نريد اشتقاقها دالتَي ظل التمام وقاطع التمام؛ لذا، يمكننا البدء بتذكُّر هاتين المشتقتين: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.٢

لإيجاد المشتقة 𞸃𞸑𞸃𞸎، علينا اشتقاق الدالة (٧٥𞸎+٣٦𞸎)١. يمكننا حلُّ هذا الاشتقاق باستخدام طريقتين مختلفتين. الطريقة الأولى هي تطبيق قاعدة السلسلة على هذه الدالة؛ حيث إن الدالة الخارجية هي 𞸏١، والدالة الداخلية هي ٧٥𞸎+٣٦𞸎. والطريقة الثانية هي إعادة كتابة هذا المقدار على صورة خارج قسمة وتطبيق قاعدة القسمة. سنختار الطريقة الثانية؛ أيْ إننا سنكتب هذا المقدار على صورة خارج قسمة. لذا، علينا حساب: 𞸃𞸑𞸃𞸎=𞸃𞸃𞸎󰃁١٧٥𞸎+٣٦𞸎󰃀.

لعلنا نتذكَّر قاعدة القسمة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎󰃁󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)󰃀=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎)٠.٢إذان

بتطبيق قاعدة القسمة، يمكننا كتابة: 𞸃𞸑𞸃𞸎=(١)(٧٥𞸎+٣٦𞸎)١(٧٥𞸎+٣٦𞸎)(٧٥𞸎+٣٦𞸎).٢

وفقًا لقاعدة مشتقة الدالة الثابتة، نعلم أن (١)=٠. بالنسبة إلى المشتقة (٧٥𞸎+٣٦𞸎)، يمكننا تطبيق قاعدة المجموع والفرق لتقسيم المجموع إلى جزأين، ثم تطبيق قاعدة الضرب في عدد ثابت أيضًا لأخذ العددين ٧ و٣ خارج المشتقتين: (٧٥𞸎+٣٦𞸎)=(٧٥𞸎)+(٣٦𞸎)=٧(٥𞸎)+٣(٦𞸎).

الآن، علينا حساب المشتقتين (٥𞸎)، (٦𞸎)؛ ونلاحظ أن هاتين الدالتين عبارة عن تركيبين، وهو ما يتطلَّب استخدام قاعدة السلسلة. ولعلنا نتذكَّر قاعدة السلسلة التي تنص على أنه بمعلومية الدالتين القابلتين للاشتقاق 󰎨(𞸏)، 𞸓(𞸎)، فإن: 𞸃𞸃𞸎𝑓(𞸓(𞸎))=󰎨(𞸓(𞸎))𞸓(𞸎).

بالنسبة إلى ٥𞸎، الدالة الخارجية هي 󰎨(𞸏)=𞸏، أما الدالة الداخلية فهي 𞸓(𞸎)=٥𞸎. بما أننا نعلم أن 󰎨(𞸏)=𞸏٢، وأن 𞸓(𞸎)=٥ وفقًا لقاعدة القوى، إذن يمكننا كتابة الآتي باستخدام قاعدة السلسلة: (٥𞸎)=٥𞸎×٥=٥٥𞸎.٢٢

بالنسبة إلى ٦𞸎، الدالة الخارجية هي 󰎨(𞸏)=𞸏، أما الدالة الداخلية فهي 𞸓(𞸎)=٦𞸎. باستخدام 󰎨(𞸏)=𞸏𞸏، 𞸓(𞸎)=٦، نجد أن: (٦𞸎)=٦𞸎٦𞸎×٦=٦٦𞸎٦𞸎.

بالتعويض بهذين المقدارين، يصبح لدينا: (٧٥𞸎+٣٦𞸎)=٧󰁓٥٥𞸎󰁒+٣(٦٦𞸎٦𞸎)=٥٣٥𞸎٨١٦𞸎٦𞸎.٢٢

وأخيرًا، يمكننا التعويض بهذا المقدار في قاعدة القسمة السابقة للحصول على: 𞸃𞸑𞸃𞸎=٠(٧٥𞸎+٣٦𞸎)١󰁓٥٣٥𞸎٨١٦𞸎٦𞸎󰁒(٧٥𞸎+٣٦𞸎)=٥٣٥𞸎+٨١٦𞸎٦𞸎(٧٥𞸎+٣٦𞸎)=٨١٦𞸎٦𞸎+٥٣٥𞸎(٧٥𞸎+٣٦𞸎).٢٢٢٢٢٢

نختتم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا الحصول على مشتقات مقلوبات الدوال المثلثية من خلال تطبيق قاعدة القسمة على قواعد اشتقاق دوال الجيب وجيب التمام والظل.
  • مشتقات مقلوبات الدوال المثلثية هي كالآتي: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎𞸎𝜋٢+𞸍𝜋𞸍𞹑،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎𞸎𞸍𝜋𞸍𞹑،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎𞸍𝜋𞸍𞹑.إذانيإذانيإذاني٢
  • إذا كان لدينا مشتقة دالة مثلثية، نحصل على مشتقة الدالة المتمِّمة لها بضرب المشتقة الأصلية في ١، واستبدال كل دالة مثلثية في المشتقة بالدالة المتمِّمة لها. ويمكن ملاحظة هذا النمط في قائمة المشتقات الآتية: 𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎،𞸃𞸃𞸎𞸎=𞸎𞸎.؛؛٢٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.