تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: مقدمة عن المتتابعات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد متتابعة إلى جانب بعض الخواص المشتركة للمتتابعات.

من المفاهيم الأساسية في الرياضيات «المتتابعة» التي يمكن وصفها بصفة عامة بأنها تمثِّل قائمة مرتَّبة من الأعداد. تتضمَّن المتتابعات الشائعة الأعداد الصحيحة ١،٢،٣،٤،، والأعداد المربعة ١،٤،٩،٦١،، والمتتابعات الأخرى التي يمكن التعرُّف عليها مثل ٢،٤،٨،٦١،، والمتتابعات الأخرى ذات الصلة. هذه أمثلة على متتابعات تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر، على الرغم من أنه يمكننا أخذ أيِّ مجموعة جزئية منتهية من هذه العناصر، وتظل هذه المجموعة تمثِّل متتابعة. من المهم ملاحظة أن هذه المتتابعة ١،٢،٣،٤ ليست نفس المتتابعة ١،٢،٤،٣، ومن هذا المنظور، يختلف مفهوم أيِّ متتابعة عن ذلك الخاص بمجموعةٍ ما؛ حيث لا يهم ترتيب العناصر. هناك فرق آخر، وهو أنه على عكس المجموعة، قد تتضمَّن المتتابعة الرياضية عناصر متكرِّرة.

مفهوم المتتابعة واسع النطاق جدًّا؛ بحيث يستحق أن نحاول عرض مقدمة مناسبة له في حدود هذا الشارح. بدلًا من ذلك، سنكتفي بالتركيز على نوعين من المتتابعات الشائعة التي تظهر في الرياضيات والمجالات العديدة المتصلة بها: المتتابعات الحسابية والمتتابعات الهندسية. هذان مثالان على المتتابعات التي يكون فيها كل حدٍّ ناتجًا عن حدٍّ سابق أو مجموعة من الحدود السابقة، ويُشار إليها غالبًا باعتبارها متتابعات «تكرارية». يحتوي هذان النوعان من المتتابعات على عدد كبير من الخواص والتطبيقات التي تنشأ عن الارتباطات القوية بالعمليات الأساسية في الرياضيات، كما سنشرحها في الشارح. نبدأ بالمتتابعات الحسابية قبل الانتقال لاحقًا إلى المتتابعات الهندسية في الشارح.

تعريف: المتتابعة الحسابية

المتتابعة «الحسابية» هي متتابعة يمكن خلالها الحصول على كل حدٍّ من الحد السابق بإضافة الفرق المشترك 𞸃. بعبارة أخرى، المتتابعة 𞸇𞸊 تكون حسابية إذا كان 𞸇=𞸇+𞸃𞸍+١𞸍 لأيِّ قيمة من قيم 𞸍؛ حيث يُعَدُّ 𞸍 أحد الأعداد الطبيعية. قد يكون من الأفضل عادةً إعادة صياغة هذا الشرط على الصورة: 𞸇𞸇=𞸃𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍. بالانتقال خلال الحدين 𞸍𞸍١، يمكننا بدلًا من ذلك التعبير عن هذه الشروط على الصورة 𞸇=𞸇+𞸃𞸍𞸍١، أو على الصورة 𞸇𞸇=𞸃𞸍𞸍١؛ حيث تُستخدَم الصورة الأخيرة باعتبارها تمثيلًا قياسيًّا في بعض النصوص.

لكي تكون المتتابعة حسابية، يجب أن تنطبق الخاصية السابقة على كل حدٍّ. إذا كان هناك استثناء لهذه الخاصية، عند أي نقطة في المتتابعة، فإن المتتابعة ليست حسابية. نوضِّح ذلك بالمثال الآتي. انظر المتتابعة المنتهية ٣،٩،٥١،١٢. يمكننا كتابة الحد العام على الصورة 𞸇𞸊، ثم نكتب كل عنصر من عناصر هذه المتتابعة بالترتيب، وهو ما يعطينا: 𞸇=٣،𞸇=٩،𞸇=٥١،𞸇=١٢.١٢٣٤

يمكننا الآن البدء بتطبيق هذا الشرط لاستنتاج إذا ما كانت هذه المتتابعة حسابية أو لا. باستخدام الخاصية المذكورة في التعريف السابق، نحسب: 𞸇𞸇=٩٣=٦،𞸇𞸇=٥١٩=٦،𞸇𞸇=١٢٥١=٦.٢١٣٢٤٣

ومن ثَمَّ، نكون قد وجدنا أن 𞸇𞸇=٦𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍، وهو ما يعني أن هذه المتتابعة حسابية.

يمكننا نقض هذه الخاصية بسهولة بإضافة حدٍّ آخر إلى المتتابعة ينتهك الشروط المطلوبة. على سبيل المثال، يمكننا إضافة القيمة الآتية إلى المتتابعة: 𞸇=٢٢،٥ لتصبح الآن الصيغة الكاملة للمتتابعة ٣،٩،٥١،١٢،٢٢. في هذه الحالة، نجد أن: 𞸇𞸇=٢٢١٢=١.٥٤

من الواضح أن هذه الحالة لا ينطبق عليها 𞸇𞸇=٦𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍؛ ومن ثَمَّ، هذه المتتابعة الجديدة ليست حسابية.

من الطبيعي أن يسمح تعريف المتتابعة الحسابية بأن يكون الفرق المشترك 𞸃 عددًا سالبًا، وفي هذه الحالة، سيكون كل حدٍّ في المتتابعة أقل من الحد الذي يسبقه. إذن يتضمَّن هذا التعريف جميع المتتابعات التكرارية التي تتعلَّق فيها الحدود بعضها ببعض مباشرةً بإضافة حدٍّ ثابت؛ ومن ثَمَّ، يتضمَّن عمليتين من العمليات الأساسية. ننتقل الآن إلى نوع مختلف من المتتابعات؛ حيث يمكننا الحصول على كل حدٍّ عن طريق ضرب الحد السابق (وهو ما يشمل ضمنيًّا مفهوم القسمة).

تعريف: المتتابعة الهندسية

المتتابعة الهندسية هي متتابعة يمكن خلالها الحصول على كل حدٍّ من الحد السابق عن طريق الضرب في النسبة المشتركة 𞸓. بعبارة أخرى، المتتابعة 𞸇𞸊 هي متتابعة هندسية إذا كان 𞸇=𞸇×𞸓𞸍+١𞸍 لأيِّ قيمة 𞸍؛ حيث 𞸍 أحد الأعداد الطبيعية. ويمكن بدلًا من ذلك التعبير عن هذا الشرط على الصورة: 𞸇𞸇=𞸓𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍. بالانتقال خلال الحدين 𞸍𞸍١، يمكننا بدلًا من ذلك التعبير عن هذه الشروط على الصورة 𞸇=𞸇×𞸓𞸍𞸍١، أو على الصورة 𞸇𞸇=𞸓𞸍𞸍١؛ حيث تُستخدَم الصورة الأخيرة باعتبارها تمثيلًا قياسيًّا في بعض النصوص.

كما هو الحال مع المتتابعات الحسابية، سنوضِّح تعريف المتتابعة الهندسية عن طريق مثال. انظر المتتابعة المنتهية ١،٢،٤،٨ التي نَعرِفها باعتبارها القوى الأربع الأولى للعدد ٢ (ومنها القوة الصفرية). سنكتب الحد العام على الصورة 𞸇𞸊 (كما هو موضَّح في الأعلى)، ثم نكتب كل عنصر من عناصر هذه المتتابعة بالترتيب، وهو ما يعطينا: 𞸇=١،𞸇=٢،𞸇=٤،𞸇=٨.١٢٣٤

والآن، نبدأ في التحقُّق ممَّا إذا كان هناك أيُّ نسبة مشتركة 𞸓 يمكننا استخدامها للحصول على كل حدٍّ من الحد السابق، وفقًا للتعريف السابق للمتتابعة الهندسية. نحسب: 𞸇𞸇=٢١=٢،𞸇𞸇=٤٢=٢،𞸇𞸇=٨٤=٢.٢١٣٢٤٣

نلاحظ أن 𞸇𞸇=٢𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍، ما يعني أننا نتعامل مع متتابعة هندسية لها نسبة مشتركة 𞸓=٢.

لإلغاء هذه الخاصية، نُضيف قيمة خامسة إلى هذه المتتابعة كالآتي: 𞸇=٢١.٥

المتتابعة الجديدة هي ١،٢،٤،٨،٢١. إذا أوجدنا النسبة بين الحدين الخامس والرابع، فسنجد أنها: 𞸇𞸇=٢١٨=٣٢.٥٤

وهذا لا يساوي النسبة المشتركة 𞸓=٢؛ ومن ثَمَّ، نكون قد وجدنا مثالًا لا ينطبق عليه 𞸇𞸇=٢𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍. وهذا يعني أن المتتابعة الجديدة ليست هندسية.

في حالة المتتابعات الحسابية، يكون كل حدٍّ أكبر من الحد السابق أو أصغر منه (بناءً على إذا ما كان حدُّ الفرق المشترك 𞸃 موجبًا أو سالبًا على الترتيب). لكن في حالة المتتابعات الهندسية لا يكون هذا صحيحًا. كما سنرى في أمثلة لاحقة، يمكن أن تتناوب المتتابعة الهندسية بين القيم الموجبة والسالبة إذا كانت قيمة النسبة سالبة.

عند محاولة استنتاج إذا ما كانت المتتابعة حسابية أو هندسية، تكون هناك اختبارات قليلة أكثر فاعليةً من التطبيق المباشر للتعريفين اللذين ذكرناهما سابقًا. مع التدريب، يُصبح من السهل إلى حدٍّ ما التعرُّف على المتتابعات الشائعة وتصنيفها بشكل صحيح. وإذا كان الأمر محل شك في أي وقت، فيجب استخدام التعريفات، كما سنوضِّح في المثال الآتي.

مثال ١: تحديد متتابعة بأنها ليست حسابية ولا هندسية

أيُّ المتتابعات الآتية لا تصنَّف متتابعة حسابية ولا متتابعة هندسية؟

  1. ١٢،١،٣٢،٢،
  2. ١٢،١٣،١٤،١٥،
  3. ١٢،١٤،١٨،١٦١،
  4. ١٣،١٣،١،٥٣،
  5. ١،١٢،٠،١٢

الحل

لكلٍّ ممَّا يلي، سنكتب وصفًا مُوجزًا لطرق تحديد إذا ما كانت المتتابعات هندسية أو حسابية أو ليست هندسية أو حسابية. سنفترض أن المتتابعة تستمر إلى ما لا نهاية بطريقة تراعي الخواص الأوَّلية التي لاحظناها.

  1. سنكتب هذه المتتابعة على الصورة 󰏡𞸊؛ حيث 󰏡=١٢١، 󰏡=١٢، 󰏡=٣٢٣، 󰏡=٢٤. سنختبر أولًا إذا ما كانت هذه المتتابعة حسابية من خلال إجراء العمليات الحسابية الآتية: 󰏡󰏡=١١٢=١٢،󰏡󰏡=٣٢١=١٢،󰏡󰏡=٢٣٢=١٢.٢١٣٢٤٣ في هذه الحالة، يمكننا ملاحظة أن هناك فرقًا مشتركًا قيمته 𞸃=١٢، إذا كان 󰏡󰏡=١٢𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍. وبناءً على ذلك، فإن هذه المتتابعة حسابية.
  2. سنكتب هذه المتتابعة على الصورة 𞸁𞸊؛ حيث 𞸁=١٢١، 𞸁=١٣٢، 𞸁=١٤٣، 𞸁=١٥٤. يمكننا أولًا اختبار إذا ما كانت هذه المتتابعة حسابية بفحص الفروق بين الحدود الأولى. في هذه الحالة، نجد أن: 𞸁𞸁=١٣١٢=١٦،𞸁𞸁=١٤١٣=١٢١،𞸁𞸁=١٥١٤=١٠٢.٢١٣٢٤٣ حتى من أول عمليتين حسابيتين، يتضح أن هذه المتتابعة ليست حسابية؛ لأنه لا ينطبق عليها 𞸁𞸁=𞸃𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍. سنتحقَّق الآن ممَّا إذا كانت المتتابعة هندسية باستكمال العمليات الحسابية: 𞸁𞸁==٢٣،𞸁𞸁==٣٤،𞸁𞸁==٤٥.٢١١٣١٢٣٢١٤١٣٤٣١٥١٤ هذه المتتابعة ليست هندسية؛ لأنه لا ينطبق عليها 𞸁𞸁=𞸓𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍. إذن هذه المتتابعة ليست حسابية ولا هندسية.
  3. نشير إلى هذه المتتابعة بالرمز 𞸢𞸊، وقيمها 𞸢=١٢١، 𞸢=١٤٢، 𞸢=١٨٣، 𞸢=١٦١٤. بما أن مقامات هذه الحدود مرتبطة بقوى العدد اثنين، إذن نفترض أن هذه متتابعة هندسية. لاختبار هذه الفرضية، نحسب الآتي: 𞸢𞸢==١٢،𞸢𞸢==١٢،𞸢𞸢==١٢.٢١١٤١٢٣٢١٨١٤٤٣١٦١١٨ في هذه الحالة، نلاحظ أن هذه الحدود تُشكِّل متتابعة هندسية لها نسبة مشتركة 𞸓=١٢.
  4. سنكتب هذه المتتابعة على الصورة 𞸃𞸊، والحدود الأربعة الأولى هي 𞸃=١٣١، 𞸃=١٣٢، 𞸃=١٣، 𞸃=٥٣٤. يبدو أن المتتابعة قد تكون حسابية؛ لذا، سنُكمل العمليات الحسابية الآتية: 𞸃𞸃=١٣١٣=٢٣،𞸃𞸃=١󰂔١٣󰂓=٢٣،𞸃𞸃=٥٣(١)=٢٣.٢١٣٢٤٣ هذه المتتابعة حسابية، إذا كان 𞸃𞸃=٢٣𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍.
  5. قد يبدو أن هذه المتتابعة حسابية عند فحص الحدود الثلاثة الأولى. بالإشارة إلى المتتابعة بالرمز 𞸤𞸊 نجد أن 𞸤=١١، 𞸤=١٢٢، 𞸤=٠٣، 𞸤=١٢٤. بافتراض أن المتتابعة حسابية، نحسب الآتي: 𞸤𞸤=١٢١=١٢،𞸤𞸤=٠١٢=١٢،𞸤𞸤=١٢٠=١٢.٢١٣٢٤٣ هذه المتتابعة حسابية أيضًا، إذا كان 𞸤𞸤=١٢𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍.

هذا يعني أن الخيار الصحيح هو (ب)؛ لأن هذه هي المتتابعة الوحيدة التي ليست حسابية ولا هندسية.

من المفترض أن يُعطِي مدى المتتابعات في المثال السابق إشارةً صحيحةً لكيفية التعامل مع هذا النوع من المسائل. بوجه عام، يمكننا عادةً طرح افتراض منطقي لنوع المتتابعة الأساسي بالنظر إلى الحدود الأولى، ثم تخمين إذا ما كانت متتابعة حسابية أو هندسية أو غير ذلك. بمجرد التخمين، يمكننا فحص الحدود لمعرفة إذا ما كان توقُّعنا صحيحًا. سنرى مثالًا آخر على ذلك في السؤال الآتي.

مثال ٢: تحديد نوع المتتابعة بمعلومية الحدود

ما نوع المتتابعة الآتية: ١،١٠١،١٠٠١،١٠٠٠١،؟

  1. ليست هندسية أو حسابية
  2. هندسية وحسابية
  3. هندسية فقط
  4. حسابية فقط

الحل

المقامات في هذه المتتابعة مرتبطة بوضوح بقوى العدد ١٠؛ لذا، نفترض عن يقين منطقي أن هذه المتتابعة هندسية. نُشير للمتتابعة بالرمز 𞸇𞸊؛ ومن ثَمَّ، نكتب الحدود الأربعة الأولى على الصورة 𞸇=١١، 𞸇=١٠١٢، 𞸇=١٠٠١٣، 𞸇=١٠٠٠١٤. يمكننا التحقُّق من أن هذه المتتابعة هندسية بحساب 𞸇𞸇𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍، ومعرفة إذا ما كان يَنتج عن هذا نسبة مشتركة. العمليات الحسابية هي: 𞸇𞸇=١=١٠١،𞸇𞸇==١٠١،𞸇𞸇==١٠١.٢١١٠١٣٢١٠٠١١٠١٤٣١٠٠٠١١٠٠١

كما توقَّعنا، هذه المتتابعة هندسية؛ لأن 𞸇𞸇=𞸓𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍؛ حيث النسبة المشتركة هي 𞸓=١٠١.

أشار السؤال السابق إلى متتابعة تَمثَّل فيها نمطٌ لتشابه قوى العدد في مقام الحدود. وبوجه عام، إذا وُجِد نمطٌ لتشابه قوى العدد في متتابعة، فإنه يتعلَّق على الأرجح بالمتتابعة الهندسية بدلًا من المتتابعة الحسابية. وهذا ليس مبدأً توجيهيًّا مضمونًا لتحديد المتتابعات الهندسية؛ حيث تكون الأنماط الدقيقة لهذه المتتابعات مخفية غالبًا إذا كانت حدود البسط والمقام معقَّدة للغاية.

تناولنا حتى الآن في هذا الشارح فكرةً بسيطة عن مجال المتتابعة ومداها. يجب أن نكون على دراية بمجال الدالة ومداها؛ حيث يُشير المجال إلى مجموعة القيم «المُدخَلة»، ويُشير المدى إلى مجموعة القيم «المُخرَجة». عند التعامل مع الدوال المتصلة، ما يعنينا عادةً هو معرفة مدى القيم بمعلومية مجال مُعطى. في الدوال عادةً، ما يعنينا هو استخدام مجال يحتوي على عدد لا نهائي من القيم المتصلة على فترةٍ ما من الأعداد الحقيقية (يمكن أن تتضمَّن جميع الأعداد الحقيقية). عندما نتعامل مع المتتابعات بدلًا من الدوال، يجب أن يكون المجال والمدى مجموعات من القيم المتقطِّعة بدلًا من ذلك. في كثير من الأحيان، قد يكون من المفيد التعامل مع المسألة بيانيًّا، وسيسمح لنا ذلك بالاستفادة من فهمنا للدوال بدلالة مجالها ومداها وتمثيلاتها البيانية. سنشرح ذلك في المثال الآتي.

مثال ٣: فهم مدى متتابعة غير منتهية ممثَّلة على التمثيل البياني

أوجد مدى المتتابعة الحسابية غير المنتهية الموجودة في الشكل الآتي.

  1. 𞹇
  2. {١،٢،٣،٤،}
  3. [٨،٤]
  4. {٤،٠،٤،٨}
  5. {٤،٠،٤،٨،}

الحل

يوضِّح السؤال أن المتتابعة المُعطاة هي متتابعة حسابية غير منتهية، ما يعني أن المدى (أي المجموعة التي تضم جميع النواتج الممكنة) لا بد أن يكون أيضًا غير منتهٍ. النقاط على التمثيل البياني مُعطاة على صورة الإحداثيات (١،٤)،(٢،٠)،(٣،٤)،(٤،٨)،، والمتتابعة ناتجة عن قيم الإحداثي 𞸑 في كل حدٍّ منها. إذا كتبنا الحد العام على الصورة 𞸇𞸊، يصبح لدينا:

𞸇=٤،𞸇=٠،𞸇=٤،𞸇=٨،.١٢٣٤()١

في هذه المرحلة، يكون من المفيد ذكر أن المتتابعات الحسابية يُطلَق عليها أحيانًا «متتابعات خطية»، إذا كانت نقاطها تتبع خطًّا مستقيمًا عند رسمها في المستوى الكارتيزي. في هذه الحالة، نلاحظ أن الإحداثيات المُعطاة بالأعلى يمكن أن تَنتج عن معادلة الخط المستقيم:

𞸑=٨٤𞸎،()٢

حيث يأخذ 𞸎 القيم ١، ٢، ٣، ٤. ويمكن بعد ذلك استخدام هذا الخط المستقيم لاستنتاج نقاط أخرى ضمن المتتابعة عندما يكون 𞸎 عددًا طبيعيًّا.

مدى المتتابعة هو جميع القيم الممكنة، وقد علمنا من السؤال أن هذه المتتابعة غير منتهية. لكي نبدأ في الإجابة عن السؤال، يمكننا حذف جميع الخيارات المنتهية، بمعنى أننا سنحذف الخيارين (ج) و(د) على الفور، علمًا بأنهما يتكوَّنان من حدَّين وأربعة حدود على الترتيب. ويتبقَّى لدينا الخيارات (أ) و(ب) و(هـ)، التي سنتناولها الآن بالترتيب.

الخيار (أ) يُشير إلى مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، وهي مجموعة متصلة من القيم عكس القائمة المتقطِّعة. ولهذا السبب فقط، يتضح أن الخيار (أ) لا يمكن أن يمثِّل مدى المتتابعة المُعطاة. من السهل علينا إثبات صحة ذلك بدقة عن طريق أخذ أيِّ عدد حقيقي لا يظهر كجزءٍ من المتتابعة. على سبيل المثال، افترض أننا اخترنا العدد الحقيقي ٣. بمعلومية معادلة الخط المستقيم المُعطاة في (٢)، لا يوجد عدد طبيعي 𞸎 يمكن أن يُعطي القيمة المُخرَجة ٣. إذن هذا العدد ليس عنصرًا في مدى المتتابعة.

على الرغم من أن الخيار (ب) يُشير إلى مجموعة متقطِّعة من الأعداد، وليست متصلة، فيمكننا تجاهله باستخدام المنطق نفسه الذي استخدمناه مع الخيار (أ) باستخدام العدد الحقيقي ٣، أو أيِّ عدد صحيح موجب لا يظهر في المتتابعة. وهناك طريقة أخرى لمعرفة ذلك، وهي ملاحظة أن الخيار (ب) يبدو أنه يمثِّل مجال المتتابعة، وليس المدى.

بحذف جميع الخيارات الأخرى، لا بد أن يكون الخيار (هـ) هو الخيار الصحيح. وهذا يتطابق مع حدود المتتابعة المُعطاة في المعادلة (١)، وتُشير علامة الحذف إلى أن المتتابعة تستمر إلى ما لا نهاية.

مجال المتتابعة هو القيم المستخدَمة في تكوين المدى. يجب أن تكون هذه القيم قائمة متقطِّعة من الأعداد الصحيحة؛ حيث يُكتَب الحد الأول من المتتابعة 𞸇𞸊 على الصورة 𞸇١ كما هو مُتعارَف عليه. وليس من الواجب أن يكون هذا صحيحًا دائمًا، ويمكن تكوين حدود المتتابعة باستخدام أيِّ قيم مناسبة للبداية والنهاية. ولكن يجب أن تكون جميع عناصر المجال أعدادًا صحيحة تفصل بينها الزيادة نفسها وقيمتها ١، ما يعني أن الأعداد الصحيحة الموجبة تكون الاختيار الطبيعي للمجال في معظم الظروف.

مثال ٤: فَهمْ مجال ومدى متتابعة غير منتهية ممثَّلة على التمثيل البياني

انظر المتتابعة المنتهية {٠٢،٤١،٨،٢،٤،،،٢٢}؛ حيث تُوجَد قيمتان ناقصتان. يمكن أن نفكِّر في هذه المتتابعة باعتبارها الدالة الممثَّلة بيانيًّا.

  1. ما مجال الدالة؟
  2. ما مدى الدالة؟

الحل

الجزء الأول

المجال هو مجموعة القيم المُدخَلة الممكنة كلها. من الواضح أننا نتعامل مع متتابعة خطية، ما يعني أن القيم المُخرَجة يمكن تمثيلها بمعادلة الخط المستقيم 𞸑=𞸌𞸎+𞸢. من رسم التمثيل البياني، يمكننا استنتاج أن كل نقطة لها إحداثي 𞸎 موجب. علاوةً على ذلك، تبدو المسافة بين المحور 𞸑 والإحداثي عند نهاية الطرف الأيسر كما هي بين النقاط المرسومة. وهذا يعني أن قيم 𞸎 للإحداثيات تأخذ الصورة 𞸢،٢𞸢،٣𞸢،٤𞸢،٥𞸢،٦𞸢،٧𞸢،٨𞸢؛ حيث 𞸢 عددٌ ما موجب. على نحو منفصل قليلًا، نعلم أن المتتابعات يُحدِّدها عادةً العنصر الأول، يليه العنصر الثاني، يليه العنصر الثالث، وهكذا. بعبارة أخرى، بالنسبة إلى المتتابعة 𞸇𞸊، نشير إلى العناصر بالرموز 𞸇،𞸇،𞸇١٢٣، وهكذا. وبوضعها معًا، يُشير هذا إلى أن مجال المتتابعة هو {١،٢،٣،٤،٥،٦،٧،٨}.

الجزء الثاني

يمكننا استخدام الإحداثيات المعروفة (الآن) لإيجاد معادلة الخط المستقيم. وإذا كان المجال معروفًا الآن، فإنه يمكننا كتابة الإحداثيات كالآتي: (١،٠٢)،(٢،٤١)،(٣،٨)،(٤،٢)،(٥،٤)،(٦،)،(٧،)،(٨،٢٢).

يمكننا استخدام أيِّ إحداثيين من هذه الإحداثيات لاستنتاج معادلة الخط المستقيم. على سبيل المثال، افترض أننا اخترنا الإحداثيين (١،٠٢) و(٢،٤١) اللذين نكتبهما، بالترتيب، على الصورتين 󰁓𞸎،𞸑󰁒٠٠ و󰁓𞸎،𞸑󰁒١١. هناك طرق متعدِّدة لحساب معادلة هذا الخط المستقيم، لكن إحدى الطرق هي حل: 𞸑𞸑𞸑𞸑=𞸎𞸎𞸎𞸎٠١٠٠١٠ لإيجاد قيمة 𞸑. بالتعويض بالقيم المُعطاة تُعطينا: 𞸑٠٢٤١٠٢=𞸎١٢١ وبإيجاد قيمة 𞸑، نحصل على:

𞸑=٦٢٦𞸎.()٣

يمكننا ملاحظة أن هذا الخط المستقيم، عندما يكون 𞸎 عددًا طبيعيًّا، يُعطينا إحداثيات عناصر المتتابعة المُعطاة في نص السؤال. لقد أثبتنا بالفعل أن مجال الدالة هو {١،٢،٣،٤،٥،٦،٧،٨}، ويمكننا الآن التعويض بعناصر هذه المجموعة في الخط المستقيم المحدَّد في المعادلة (٣). على سبيل المثال، بالتعويض بقيمة 𞸎=١ في هذه المعادلة، نحصل على 𞸑=٠٢؛ ومن ثَمَّ الإحداثي (١،٠٢). وبالمثل، بالتعويض بقيمة 𞸎=٢، نحصل على 𞸑=٤١؛ ومن ثَمَّ الإحداثي (٢،٤١). يمكننا الاستمرار في هذه العملية لتكوين جميع عناصر المتتابعة المحدَّدة في السؤال.

العنصران المجهولان المتبقيان في المتتابعة هما العنصران السادس والسابع، اللذان يمكننا إيجادهما باستخدام المعادلة (٣). أولًا، نعوِّض بقيمة 𞸎=٦، لنحصل على 𞸑=٠١، ثم نعوض بقيمة 𞸎=٧، لنحصل على 𞸑=٦١. هذا يُعطينا الإحداثيين (٦،٠١) و(٧،٦١) بالترتيب. بعد أن حسبنا هذين العنصرين، يتضح أن مدى المتتابعة هو {٠٢،٤١،٨،٢،٤،٠١،٦١،٢٢}.

كما رأينا في أول المثالين السابقين، هناك خطوة مفيدة في كثير من الأحيان لحل مثل هذه الأسئلة، وهي تبديل مجموعة النقاط المُعطاة في إحداثياتها الدقيقة. في حالة المتتابعة الحسابية، نتوقَّع أن يوضِّح الرسم البياني للإحداثيات نقاط خط مستقيم، وهو ما لا بد أن يكون صحيحًا؛ لأن كل حدٍّ تالٍ في متتابعة حسابية يختلف عن الحد السابق بإضافة فرق مشترك ثابت. هذا يعني أن «ميل» الدالة يكون ثابتًا من نقطة إلى أخرى، وهو ما يدل على أن النقاط تقع على خط مستقيم. هذا يختلف عن المتتابعة الهندسية؛ حيث يختلف كل حدٍّ فيها عن الحد السابق بعد ضربه في النسبة المشتركة. إذا رسمنا حدود هذه المتتابعة على صورة إحداثيات، فسيتخذ الشكل منحنى دالة أسية (بشرط أن يكون حد النسبة موجبًا ولا يساوي ١).

مثال ٥: فَهْم المتتابعات الممثَّلة على صورة أنماط

انظر النمط الموضَّح.

  1. أيُّ المتتابعات الآتية تمثِّل عدد المثلثات الزرقاء المصمتة في كل حدٍّ تالٍ من النمط؟
    1. ٢،٨،٦٢،٠٨،
    2. ١،٣،٩،٧٢،
    3. ٢،٦،٨١،٤٥،
    4. ٢،٤،٢١،٦٣،
    5. ٢،٤،٨،٦١،
  2. ما نوع المتتابعة الموجودة عند عدِّ عدد المثلثات الزرقاء المصمتة في النمط الموضَّح سابقًا؟

الحل

الجزء الأول

عند المعاينة، نلاحظ أن الحد الأول من المتتابعة يحتوي على مثلثين، والحد الثاني يحتوي على ٦ مثلثات، والحد الثالث يحتوي على ١٨ مثلثًا، والحد الرابع يحتوي على ٥٤ مثلثًا. من ثَمَّ، فإن الخيار الصحيح للجزء الأول من المتتابعة هو الخيار (ج)، وهو المتتابعة ٢،٦،٨١،٤٥،. سنختار الإشارة إلى هذه المتتابعة بالرمز 𞸇𞸊؛ حيث تتضمَّن الحدود الأولى 𞸇=٢١، 𞸇=٦٢، 𞸇=٨١٣، 𞸇=٤٥٤.

الجزء الثاني

من الواضح أن هذه المتتابعة ليست حسابية؛ لأن الفرق بين كل حدٍّ يزيد في القراءة من اليمين إلى اليسار. هذا السلوك يعني صورة من صور النمو الأسي، وهو ما يُشير إلى أننا نتعامل مع متتابعة هندسية. للتحقُّق من هذا الافتراض، سنُجري العمليات الحسابية الآتية: 𞸇𞸇=٦٢=٣،𞸇𞸇=٨١٦=٣،𞸇𞸇=٤٥٨١=٣.٢١٣٢٤٣

لقد أوضحت هذه العمليات الحسابية أن 𞸇𞸇=𞸓𞸍+١𞸍 لجميع القيم الممكنة لـ 𞸍؛ حيث 𞸓=٣ النسبة المشتركة. وهذا يؤكِّد أن المتتابعة هندسية.

في هذا الشارح، تناولنا باختصار خواص المتتابعات الحسابية والهندسية؛ تظهر هذه المفاهيم بشكل متكرِّر عند التعامل مع أيِّ نوع من المتتابعات. في بعض الأحيان، ما يعنينا هو جمع كل الحدود المنفردة لمثل هذه المتتابعات، التي يُشار إليها عندئذٍ باسم «المتسلسلات» الحسابية والهندسية. يظهر كلٌّ من هذين المفهومين بشكل كبير في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم. تُعَد القدرة على التعرُّف على كلا النوعين من المتتابعات، وتصنيفهما مهارة بالغة الأهمية ضمن أدوات أيِّ عالم رياضيات؛ حيث تُطبَّق على نطاق واسع ولا يجب التقليل منها على الإطلاق!

النقاط الرئيسية

  • المتتابعة 𞸇𞸊 تكون حسابية إذا كان 𞸇𞸇=𞸃𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍. قيمة 𞸃 تُسمَّى الفرق المشترك.
  • المتتابعة 𞸇𞸊 تكون هندسية إذا كان 𞸇𞸇=𞸓𞸍+١𞸍 لجميع قيم 𞸍. قيمة 𞸓 تُسمَّى النسبة المشتركة، أو حدِّ النسبة.
  • إذا كانت الحدود المتتالية للمتتابعة تتناوب في إشارتها، فلا يمكن أن تكون هذه المتتابعة حسابية. وتكون المتتابعة على الأرجح هندسية، لكن هذا ليس مضمونًا، ومن المحتمل أنه سيلزم إجراء المزيد من العمليات الحسابية.
  • إذا كانت حدود البسط أو المقام في المتتابعة تُظهِر نمطًا لتشابه قوى العدد، فمن غير المحتمل أن تكون هذه المتتابعة حسابية، وتكون على الأرجح متتابعة هندسية.
  • عادةً ما يكون مجال المتتابعة هو مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة.
  • وعند رسمها مقابل قيم المجال، سيوضِّح شكل الإحداثيات إذا ما كانت المتتابعة حسابية أو هندسية. إذا كان شكل الإحداثيات خطًّا مستقيمًا، فمن المحتمل أن تكون المتتابعة حسابية، وإذا كان الشكل دالة أسية، فمن المحتمل أن تكون المتتابعة هندسية (لها حد نسبة موجب لا يساوي ١).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.