شارح الدرس: قوة التفريق اللوني للمنشور الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب قوة التفريق اللوني لمنشور بمعلومية معاملات انكسار الألوان المختلفة للضوء المارِّ خلاله.

يُستخدَم المصطلح «تفريق» لوصْف عملية توزيع شيء ما أو نشْره على مساحة كبيرة. وعلى وجْه التحديد، سنتناول هنا تفريق الضوء أثناء مروره عبر منشور. ينحرف الضوء عن مساره الأصلي عند دخوله المنشور، وينحرف مرَّة أخرى عندما يخرج منه.

فيما يأتي مخطط لهذا النوع من التفريق. لدينا شعاع ضوء يحتوي على ضوء أحمر وبنفسجي يدخل إلى منشور. يتحلَّل الضوء داخل المنشور إلى الأشعة المكوِّنة له، وهي الضوء الأحمر النقي والضوء البنفسجي النقي.

في هذا الشارح، سنكشف كيفية قيام المنشور بهذا التفريق من خلال المعادلات. وسنرى أيضًا كيف يؤثِّر معامل الانكسار على مدى تفرُّق كلِّ لون من ألوان الضوء. على سبيل المثال، ينكسر الضوء البنفسجي بزاوية أكبر من الضوء الأحمر، كما هو موضَّح هنا.

نُطلِق على أيِّ مادة تؤثِّر على الأطوال الموجية المختلفة للضوء تأثيرًا مختلفًا «مادة مفرِّقة للضوء». ويُعَدُّ المنشور مثالًا على المواد المفرِّقة للضوء؛ لأن الأطوال الموجية المختلفة للضوء تنكسر بدرجات مختلفة.

لماذا يعمل المنشور على جعل الأطوال الموجية المختلفة من الضوء تسلك سلوكًا مختلفًا؟

لفهْم ذلك، يُمكننا تذكُّر قانون سنل:

قانون: قانون سنل

لنفترض أن لدينا شعاعَ ضوءٍ يمرُّ عبر سطح فاصل معامل الانكسار على جانبَيْه مختلف؛ حيث يكون معامل الانكسار على الجانب الأول (وهو الجانب الذي يسقط منه شعاع الضوء على السطح الفاصل) هو 𝑛، ومعامل الانكسار على الجانب الآخَر (وهو الجانب الذي يمرُّ إليه شعاع الضوء) من السطح الفاصل هو 𝑛. زاوية سقوط الضوء هي 𝜃، وزاوية انكساره هي 𝜃. تذكَّر أن زاوية السقوط هي الزاوية التي يصنعها شعاع الضوء مع العمود المُقام على السطح الفاصل عندما ينتقل من وَسَط إلى وَسَط آخَر، في حين تكون زاوية الانكسار هي الزاوية التي يصنعها الشعاع مع العمود المُقام على السطح الفاصل أثناء انتقاله عبر الوَسَط الثاني. العلاقة التي تربط هذه الزوايا هي: 𝑛𝜃=𝑛𝜃.sinsin

لاحِظ أن كلًّا من زاوية السقوط وزاوية الانكسار مقيستان من العمود المُقام على السطح الفاصل، وليس من السطح الفاصل نفسه.

كيف يُخبرنا قانون سنل أن زاوية الانكسار تختلف باختلاف الأطوال الموجية للضوء في المنشور؟

تخيَّل شعاعَ ضوءٍ يتكوَّن من جميع الأطوال الموجية للضوء يدخل إلى منشور، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

يدخل شعاع الضوء من يسار المنشور. وبما أن الشعاع يحتوي على جميع الأطوال الموجية للضوء، نلاحِظ أن جميع ألوان الضوء ستدخل المنشور بنفس زاوية السقوط.

إذا كان معامل الانكسار خارج المنشور 𝑛، يختلف عن معامل الانكسار داخل المنشور، فسنرى تأثيرًا مُثيرًا.

من قانون سنل، لدينا العلاقة: 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsin.

تذكَّر أن معامل انكسار المادة عبارة عن مقياس لمدى سرعة انتقال الضوء في هذه المادة. إذا كان معامل انكسار المادة 1، فإن الضوء ينتقل في المادة بنفس السرعة (الكبيرة جدًّا) التي ينتقل بها في الفراغ. وكلما زاد معامل الانكسار عن 1، انتقل الضوء بسرعة أقلَّ في المادة.

لنفترض أن معامل الانكسار خارج المنشور هو نفسه لجميع الأطوال الموجية للضوء. يُعَدُّ الهواء مثالًا على مادة ينطبق عليها ذلك. وهذا يعني، وفقًا لقانون سنل، أن 𝑛 هو نفسه لجميع الأطوال الموجية للضوء.

لكننا نعلم أن المنشور يتسبَّب في انكسار الأطوال الموجية المختلفة للضوء بدرجات مختلفة. على سبيل المثال: ينكسر الضوء الأحمر أقلَّ من الضوء البنفسجي. وهذا يعني أن زاوية انحراف الضوء الأحمر، التي سنُطلِق عليها 𝛼R، أصغر من زاوية انحراف الضوء البنفسجي، التي سنُطلِق عليها 𝛼V.

والسبب في ذلك هو أن معامل انكسار المنشور يختلف باختلاف الأطوال الموجية للضوء. يُمكننا ملاحَظة ذلك بمقارنة حالتي الضوء الأحمر والبنفسجي. يوضِّح الشكل الآتي كيف تنكسر الألوان المختلفة من الضوء بدرجات مختلفة. لقد أطلقنا على معامل الانكسار خارج المنشور 𝑛، وزاوية السقوط 𝜃. وأطلقنا أيضًا على زاويتي انكسار الضوء الأحمر والبنفسجي 𝜃R، 𝜃V على الترتيب.

قبل دخول الطولين الموجيين للونين الأحمر والبنفسجي إلى المنشور، كان لهما معامل الانكسار نفسه وزاوية السقوط نفسها. هذا يعني أن الطرف الأيسر من قانون سنل، 𝑛𝜃sin، هو نفسه للطولين الموجيين.

بالنسبة إلى الطرف الأيمن من قانون سنل، نعلم أن زاوية الانكسار مختلفة للطولين الموجيين. ولكي تظلَّ المعادلتان 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsinR، 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsinV صحيحتين، يجب أن يكون 𝑛 مختلفًا للطولين الموجيين المختلفين.

هذا يعني أن لدينا معامل انكسار للضوء الأحمر، 𝑛R، ومعامل انكسار آخَر للضوء البنفسجي، 𝑛V. من ثَم، يجب أن يكون قانون سنل للطولين الموجيين هو 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsinRR، 𝑛𝜃=𝑛𝜃sinsinVV.

في الواقع، بما أن كلَّ طول موجي مختلف للضوء له زاوية انكسار مختلفة في المنشور، فإننا نعلم أن كلَّ طول موجي له معامل انكسار مختلف.

يُمكننا استخدام هذه الخاصية باعتبارها طريقة لتعريف المادة المفرِّقة للضوء.

تعريف: المادة المفرِّقة للضوء

المادة المفرِّقة للضوء هي المادة التي يتغيَّر معامل انكسارها بتغيُّر الطول الموجي.

سنستكشف الآن طريقة لتحديد مدى تفريق الضوء في المنشور.

لنَعُد إلى المنشور، ولكننا سنهتمُّ بمسارَيِ الضوء الأحمر والبنفسجي فقط. اخترنا هذين الطولين الموجيين للضوء لأن الضوء الأحمر هو الطول الموجي الأطول للضوء المرئي، والضوء البنفسجي هو الطول الموجي الأقصر للضوء المرئي. هذا يعني أننا نتناول الحالتين القصوى والدنيا، وندرس أكبر مدًى مُمكِن من الأطوال الموجية.

في الشكل الآتي، يُمكننا أن نلاحِظ أن كلًّا من هذين الطولين الموجيين للضوء قد انحرف عن المسار الذي يتبعه نتيجة مروره بالمنشور. وإذا لم يتغيَّر مساراهما، لاستمرَّ كلٌّ منهما في التحرُّك على امتداد السهم الأسود الموضَّح هنا.

يُمكننا أن نُطلِق على الزاوية التي ينحرف بها الشعاع الأحمر عن المسار الأسود 𝛼اى؛ إذ إنها أصغر زاوية ينحرف بها أيُّ ضوء مرئي. هذا الرمز هو الحرف اليوناني «ألفا».

وبالمثل، يُمكننا أن نُطلِق على زاوية انحراف الضوء البنفسجي 𝛼اُ؛ لأنها أكبر زاوية ينحرف بها أيُّ ضوء مرئي.

يُمكننا تحديد مقدار التفريق الذي يسبِّبه منشور معيَّن باستخدام زاويتَيِ الانحراف: 𝛼اى و𝛼اُ.

سنفعل ذلك عن طريق تعريف كمية تُسمَّى «قوة التفريق اللوني» للمنشور، التي نرمز لها بالرمز 𝜔؛ حيث 𝜔 هو الحرف اليوناني «أوميجا». يُمكن حساب قوة التفريق اللوني من خلال المعادلة: 𝜔=𝛼𝛼.اُاىاُاى

قد تبدو هذه المعادلة معقَّدة إلى حدٍّ ما، لكنْ إذا فحصناها، فسيكون من السهل فهْمها.

في بسط هذا الكسر، لدينا الفرق بين زاوية الانحراف العُظمى وزواية الانحراف الصُّغرى؛ أيْ 𝛼𝛼اُاى. وهذا يوضِّح لنا نطاق زوايا انحراف الضوء الذي يمرُّ بالمنشور.

وفي مقام الكسر، لدينا متوسط قيمتَيْ 𝛼اُ و𝛼اى؛ أيْ متوسط الانحراف الزاوي الذي يسبِّبه المنشور. وهذا هو ما نحصل عليه عند حساب الكمية 𝛼+𝛼2اُاى. وهذا يُناظِر أيضًا زاوية انحراف الطول الموجي «المتوسط» للضوء الذي يدخل إلى المنشور. من جهة ألوان الضوء، إذا كان الضوء الأبيض هو الذي يدخل المنشور، فسيكون هذا اللون بين الأصفر والأخضر.

للحصول على قوة التفريق اللوني للمنشور، علينا إيجاد هاتين القيمتين، ثم إيجاد قيمة الكسر الموضَّح السابق. لنلاحِظ أيضًا أن قوة التفريق اللوني للمنشور ليس لها وحدة. هذا يعني أنها «عدد لا بُعد له». فالزاويتان 𝛼اى و𝛼اُ وحدتهما الدرجة، ولكنْ في معادلة قوة التفريق اللوني، تُلغَى جميع هذه الوحدات؛ ومن ثَمَّ لا يتبقَّى أيُّ وحدات.

تعريف: قوة التفريق اللوني

قوة التفريق اللوني للمنشور، 𝜔، مقياس للفرق في انكسار الضوء بين أطول طول موجي وأقصر طول موجي يدخلان المنشور. ويُمكن حسابها من خلال: 𝜔=𝛼𝛼𝛼+𝛼2اُاىاُاى حيث 𝛼اُ زاوية انحراف أقصر طول موجي للضوء يدخل إلى المنشور، 𝛼اى زاوية انحراف أطول طول موجي للضوء يدخل إلى المنشور.

لاحِظ أنه إذا كانت قيمتا 𝛼اُ و𝛼اى متساويتين، فإن 𝜔=0. هذا يعني أن أكبر زاوية انحراف وأصغر زاوية انحراف متساويتان، وحينها يكون المنشور مادة غير مفرِّقة للضوء على الإطلاق. إذن أصغر قيمة لـ 𝜔 هي صفر (للمادة غير المفرِّقة)، وتزيد هذه القيمة مع المنشور الذي يُفرِّق الضوء بدرجات كبيرة. لكن القِيَم القياسية لمعظم المناشير الزجاجية أو ما يُشبهها تقع بين 0.01 و0.1.

من المُهِمِّ أن نتذكَّر أنه على الرغم من أن المصطلح «قوة التفريق اللوني» تدخل فيه كلمة «قوة»، فإنها لا تحمل المعنى المُعتاد الذي تحمله في الفيزياء من كونها مؤثِّرًا خارجيًّا يعمل على تغيير السرعة المتجهة للجسم. إنها مجرد مصطلحات صادف أن تتكرَّر فيها كلمة «قوة». قوة التفريق اللوني ليست إلَّا وصفًا لمدى تفريق المنشور للضوء.

كلما زادتْ قيمة 𝜔، زاد نطاق التفريق الذي يتعرَّض له الضوء خلال المنشور. وكلما قلَّتْ قيمة 𝜔، قلَّ نطاق التفريق الذي يتعرَّض له الضوء خلال المنشور.

وهذا موضَّح في الشكل الآتي. المنشور الموجود على اليسار له قوة تفريق لوني صغيرة؛ ولذا لا تنتشر الألوان المختلفة للضوء انتشارًا كبيرًا. أمَّا المنشور الموجود على اليمين، فله قوة تفريق لوني كبيرة؛ ومن ثَمَّ تنتشر الألوان المختلفة للضوء انتشارًا كبيرًا.

هذا يعني أن المنشورين يجب أن يكونا مصنوعين من مادتين مختلفتين؛ لأن لهما معاملَيِ انكسار مختلفين. هذا موضَّح هنا من خلال اللونين المختلفين للمنشورين.

يُفرِّق المنشور ذو قوة التفريق اللوني الأكبر الضوء تفريقًا أكبر، ويُفرِّق المنشور ذو قوة التفريق اللوني الأصغر الضوء تفريقًا أقلَّ.

مثال ١: حساب قوة التفريق اللوني من زوايا الانحراف

يتفرَّق ضوء أبيض بواسطة منشور إلى أطوال موجية تتراوح بين 400 nm و700 nm. زاوية النهاية الصُّغرى لانحراف الضوء الذي طوله الموجي 400 nm تساوي 22.9، وزاوية النهاية الصُّغرى لانحراف الضوء الذي طوله الموجي 700 nm تساوي 22.1، وزاوية النهاية الصُّغرى لانحراف الضوء الذي طوله الموجي 550 nm تساوي 22.5. ما قوة التفريق اللوني للمنشور؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

لدينا هنا منشور يفرِّق الضوء الأبيض، وقد أعطانا السؤال زاوية النهاية الصُّغرى للانحراف لبعض الأطوال الموجية في الضوء الأبيض.

أخبرنا السؤال أن أطول طول موجي للضوء الذي يدخل إلى المنشور هو 700 nm، وزاوية النهاية الصُّغرى لانحراف هذا الطول الموجي هي 22.1. هذا الطول الموجي يُناظِر الضوء الأحمر، وهو أطول طول موجي هنا؛ لذا نعلم أنه سيكون له أصغر زاوية انحراف؛ فيُمكننا القول: إن 𝛼=22.1اى.

أقصر طول موجي للضوء الذي يدخل إلى المنشور هو 400 nm، وزاوية النهاية الصُّغرى لانحراف هذا الطول الموجي هي 22.9. هذا الطول الموجي يُناظِر الضوء البنفسجي، وهو أقصر طول موجي هنا؛ لذا يُمكننا القول: إن 𝛼=22.9اُ.

يُمكننا حلُّ هذا السؤال باستخدام هذه المُعطيات فحسب. طُلِبَ منَّا حساب قوة التفريق اللوني لهذا المنشور؛ لذا دعونا نتذكَّر أن معادلة قوة التفريق اللوني هي: 𝜔=𝛼𝛼𝛼+𝛼2.اُاىاُاى

علينا الآن التعويض بقيمتَيْ 𝛼اى، 𝛼اُ التي نعرفها. إذا فعلنا ذلك نجد أن: 𝜔=22.922.1.

دعونا نحسب بسط الكسر أولًا، وهو الفرق بين زاويتَيِ الانحراف العُظمى والصُّغرى. هذا يُعطينا: 22.922.1=0.8.

يوضِّح مقام الكسر متوسط زاوية الانحراف التي يتعرَّض لها الضوء بمروره من المنشور. نجد أن هذا يساوي: 22.9+22.12=452=22.5.

يُمكننا الآن التعويض بهاتين القيمتين في المعادلة، فنجد أن قوة التفريق اللوني تساوي: 𝜔=0.822.5=0.03555.

لاحِظ أنه في السطر الأخير، تُحذَف وحدة الدرجة في كلٍّ من البسط والمقام، ويتبقَّى لدينا عدد بلا وحدة. مطلوبٌ منَّا تقريب الناتِج لأقرب ثلاث منازل عشرية، إذن الإجابة النهائية هي: 𝜔=0.036.

لاحِظ أننا لم نستخدِم المعلومة الواردة في السؤال بأن زاوية النهاية الصُّغرى لانحراف الضوء الذي طوله الموجي 550 nm تساوي 22.5. على الرغم من أننا لم نكن بحاجة إلى هذا الجزء لحلِّ السؤال، فقد كان بإمكاننا استخدامُه لحلِّ السؤال بشكل أسرع.

نعلم أن أقصر طولٍ موجي هو 400 nm، وأطول طول موجي هو 700 nm، وأن 550 nm هو الطول الموجي المتوسط. يُخبرنا السؤال أيضًا بأن زاوية انحراف هذا الطول الموجي المتوسط هي 22.5. يُمكننا ملاحَظة أن هذه هي النتيجة نفسها بالضبط التي أوجدناها لمتوسط الانحراف الذي يُمثِّل مقام كسر معادلة قوة التفريق اللوني.

كان بإمكاننا التعويض بهذه النتيجة مباشرة من السؤال من خلال معرفة أن زاوية انحراف الطول الموجي المتوسط هي متوسط الانحراف لأطول طول موجي وأقصر طول موجي. هذا يعني أننا لم نكن بحاجة إلى حساب المتوسط بأنفسنا، وكنا سنوفِّر بعض الوقت.

وفي كلتا الحالتين، نحصل على الناتِج نفسه.

تذكَّر أننا قلنا إن المادة المفرِّقة يُمكن تعريفها بأنها مادة يتغيَّر معامل انكسارها بتغيُّر الطول الموجي للضوء. سنرى الآن أن بإمكاننا إعادة كتابة معادلة قوة التفريق اللوني للمنشور بدلالة معاملات انكسار المنشور.

يُمكننا عمل ذلك لأن هناك معامل انكسار يُقابل الطول الموجي للضوء الذي ينحرف بالزاوية 𝛼اُ، ومعامل انكسار آخَر يُقابل الطول الموجي للضوء الذي ينحرف بالزاوية 𝛼اى.

السبب في أن الضوء البنفسجي يتعرَّض لزاوية الانحراف الكبرى، 𝛼اُ، هو أن الضوء البنفسجي يُواجِه أكبر فرق في معامل الانكسار عند مروره بالمنشور. هذا يعني أن معامل انكسار الضوء البنفسجي هو الأكبر من بين جميع معاملات الانكسار التي يُمكن أن يواجهها الضوء المرئي. وللتعبير عن ذلك، نُسمِّي معامل انكسار الضوء البنفسجي 𝑛ا. وهذا يعني أن زاوية الانحراف الكبرى 𝛼اُ تُناظِر معامل الانكسار الأكبر.

وبالمثل، يكون للضوء الأحمر أصغر زاوية انحراف 𝛼اى؛ لأن الضوء الأحمر يُواجِه أصغر تغيُّر في معامل الانكسار عند مروره بالمنشور. هذا يعني أن معامل انكسار الضوء الأحمر هو الأصغر من بين جميع معاملات الانكسار التي يُمكن أن يواجهها الضوء المرئي. سنُسمِّي معامل انكسار الضوء الأحمر، 𝑛ا؛ حيث تُناظِر الزاوية الصُّغرى للانحراف معامل الانكسار الأصغر. يوضِّح الشكل الآتي ذلك؛ حيث يكون لألوان الضوء المختلفة معاملات انكسار مختلفة.

لكي نُعِيد كتابة معادلة قوة التفريق اللوني بدلالة معامل الانكسار بدلًا من زاوية الانحراف، لا يتطلَّب الأمر سوى أن نحذف 𝛼اُ ونكتب بدلًا منها 𝑛ا ونحذف 𝛼اى ونكتب بدلًا منها 𝑛ا. ولكن ثَمَّة خطوة إضافية صغيرة علينا تذكُّرها أيضًا.

يُمكن كتابة معادلة قوة التفريق اللوني للمنشور بدلالة معاملَيِ الانكسار الأعظم والأصغر على الصورة: 𝜔=𝑛𝑛𝑛+𝑛21.اااا

يُمكننا ملاحَظة أن هذه المعادلة تُشبه إلى حدٍّ كبير المعادلة السابقة لقوة التفريق اللوني. الفرق بينهما هو أن علينا إضافة 1 في المقام. يمثِّل هذا اصطلاحًا يعني أن المناشير غالبًا مُحاطة بالهواء الذي يكون معامل انكساره قريبًا جدًّا من 1.

هذا يعني أنه سواء عرَفنا زاويتَيِ الانحراف العُظمى والصُّغرى لانحراف المنشور أو عرَفنا معاملَيِ الانكسار الأعظم والأصغر للمنشور، يُمكننا حساب قوة التفريق اللوني لهذا المنشور. وهو ما يُخبرنا بمدى انتشار الضوء أثناء مروره عبر المنشور.

مثال ٢: تحديد العلاقة بين الطول الموجي وزاوية الانحراف

يمثِّل الشكل ضوءًا أحمر، وضوءًا أخضر، وضوءًا أزرق، ينحرف كلٌّ منها بالزاوية 𝛼 بواسطة منشور. أيٌّ من الآتي يَصِف بشكلٍ صحيح العلاقة بين الطول الموجي للضوء، 𝜆، والزاوية 𝛼؟

  1. كلما زاد 𝜆، قلَّتْ 𝛼.
  2. كلما زاد 𝜆، زادتْ 𝛼.
  3. 𝜆، 𝛼 غير مرتبطين.

الحل

نعلم أن الضوء الأحمر له أطول طول موجي من بين ألوان الضوء المرئي جميعها. ومن بين الألوان الموضَّحة على الشكل، اللون الذي له أقصر طول موجي هو الأزرق.

هذا يعني أن 𝜆 أكبر للضوء الأحمر، في حين يكون 𝜆 أصغر للضوء الأزرق. إذن بانتقالنا من الضوء الأحمر إلى الأخضر إلى الأزرق، يقلُّ 𝜆.

يُمكننا أن نلاحِظ أيضًا أن انحراف الضوء الأحمر هو الأقلُّ من بين جميع الألوان في الشكل، وانحراف الضوء الأخضر أكبر قليلًا، أمَّا انحراف الضوء الأزرق فهو الأكبر. وهذا يعني أن أصغر قيمة لـ 𝛼، وهي زاوية الانحراف، تتحقَّق مع الضوء الأحمر. وتكون هذه الزاوية، 𝛼، أكبر مع الضوء الأخضر، وتَصِل 𝛼 إلى قيمتها العُظمى مع الضوء الأزرق.

بذلك نكون قد رأينا أنه بالانتقال من الضوء الأحمر إلى الضوء الأخضر إلى الضوء الأزرق، يقلُّ الطول الموجي، 𝜆، لكن تزداد زاوية الانحراف، 𝛼. هذا يعني أنه إذا تحرَّكنا في الاتجاه الآخَر، من الضوء الأزرق إلى الضوء الأخضر إلى الضوء الأحمر، يزداد الطول الموجي، 𝜆، لكنْ تقلُّ زاوية الانحراف، 𝛼.

يُمكننا تلخيص ما قلناه بالعبارة الآتية، وهي إجابتنا: كلما زاد 𝜆، قلَّتْ 𝛼.

دعونا نلاحِظ هنا أننا نعرِف أيضًا أن معامل الانكسار 𝑛 يزداد إذا زادتْ 𝛼، وينقص إذا نقصتْ. إذن نعرف أيضًا أنه كلما زاد 𝜆، قلَّ 𝑛.

مثال ٣: حساب قوة التفريق اللوني من معامل الانكسار

تفرَّق ضوء أبيض بواسطة منشور. معامل انكسار المنشور للطول الموجي الأقصر للضوء الأبيض 1.48، معامل انكسار المنشور للطول الموجي الأطول للضوء الأبيض 1.44. ما قوة التفريق اللَّوني للمنشور؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

في هذا السؤال، مطلوبٌ منَّا إيجاد قوة التفريق اللوني لمنشور بمعلومية معاملَيِ انكسار الطول الموجي الأطول والأقصر للضوء.

علمنا أن معامل انكسار أطول طول موجي للضوء 1.44 في المنشور. وعلمنا أيضًا أن معامل انكسار أقصر طول موجي للضوء 1.48 في المنشور.

بالنسبة إلى الضوء الأبيض، نعلم أن الضوء الأحمر له أطول طول موجي، ويُواجِه معامل الانكسار الأقلَّ، وأن الضوء البنفسجي له أقصر طول موجي، ويُواجِه معامل الانكسار الأكبر. هذا يعني أن بإمكاننا تحديد معامل الانكسار الأعظم والأصغر بالطريقة نفسها.

أطول طول موجي للضوء سيكون له معامل الانكسار الأصغر؛ لذا يُمكننا القول: إن 𝑛=1.44ا. ونعلم أيضًا أن أقصر طول موجي للضوء سيكون له أكبر معامل انكسار؛ ومن ثَمَّ يُمكننا القول: إن 𝑛=1.48ا.

يُمكننا أن نتذكَّر أن قوة التفريق اللوني للمنشور يُمكن حسابها بدلالة معامل الانكسار من المعادلة: 𝜔=𝑛𝑛𝑛+𝑛21.اااا

لنحسب أولًا بسط هذا الكسر، وهو يساوي: 𝑛𝑛=1.481.44=0.04.اا

يُمكننا بعد ذلك حساب مقام الكسر، وهو يساوي: 𝑛+𝑛21=1.48+1.4421=2.9221=1.461=0.46.اا

يُمكننا حساب قوة التفريق اللوني لهذا المنشور بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة: 𝜔=0.040.46=0.0869565.

بما أن السؤال يطلب منَّا تقريب الناتِج لأقرب ثلاث منازل عشرية، تكون الإجابة النهائية هي أن قوة التفريق اللوني للمنشور هي: 𝜔=0.087.

دعونا نرمز لمتوسط زاوية انحراف المنشور، ومتوسط معامل انكسار المنشور كالآتي: 𝛼=𝛼+𝛼2,𝑛=𝑛+𝑛2.ااُاىااا

تذكَّر أن «زاوية رأس» المنشور هي الزاوية الموجودة عند قمة المنشور أو رأسه. في الشكل الآتي، نرى منشورين لهما زاويتا رأس مختلفتان، هما 𝐴، 𝐴. لهذين المنشورين معامل الانكسار نفسه.

المنشور الموجود على اليسار له زاوية رأس صغيرة، هي 𝐴، والمنشور الموجود على اليمين له زاوية رأس كبيرة، هي 𝐴. كلما زادتْ زاوية رأس المنشور، زادتْ زاوية الانحراف لكلِّ طول موجي من الضوء. هناك طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أنه إذا زادتْ زاوية رأس المنشور، زاد متوسط زاوية الانحراف، 𝛼ا، أيضًا.

في الشكل الآتي، لدينا منشوران لهما زاوية الرأس نفسها، 𝐴، ولكن لهما معاملات انكسار مختلفة. وهذا موضَّح باللونين المختلفين للمنشورين.

يُمكننا أن نلاحِظ أنه إذا زاد معامل انكسار المنشور، تزداد زاوية انحراف الضوء أيضًا. إذا كان المنشور مصنوعًا من مادة مفرِّقة للضوء، وزدنا متوسط معامل الانكسار، 𝑛ا، فإن متوسط زاوية الانحراف، 𝛼ا، يزداد.

من الآن فصاعدًا، سنتناول «المنشور الرقيق»، وهو المنشور الذي تكون زاوية رأسه، 𝐴، صغيرة. وفي هذا السياق، فإن زاوية الرأس، 𝐴، التي تساوي 10 تقريبًا أو أقلَّ تُعَدُّ صغيرة.

دعونا نفكِّر في الكمية 𝛼𝑛1اا في حالة المنشور الرقيق. إذا أردنا زيادة هذه الكمية، فما الذي علينا تغييره في المنشور لجعْل هذه الكمية أكبر؟

نعرف أنه إذا زاد 𝑛ا، فهذا يؤدِّي إلى زيادة 𝛼ا. لكننا نتعامل مع الكسر 𝛼𝑛1اا، وليس مع 𝛼ا فقط. هذا يعني أنه إذا زاد 𝑛ا، فهذا يجعل 𝛼ا أكبر، لكن الكسر الكلي لا يصبح أكبر؛ لأن زيادة مقام الكسر تجعل الكسر بأكمله أصغر. هذا يعني أن زيادة 𝑛ا لا يُمكن أن تكون الإجابة.

بدلًا من ذلك، فإن الإجابة هي زاوية رأس المنشور، 𝐴. فإذا زدنا 𝐴، فإن الكمية 𝛼𝑛1اا ستزداد أيضًا. وفي الواقع، إذا كان المنشور رقيقًا، فيُمكننا بالفعل مساواة كلٍّ منهما بالآخَر: 𝐴=𝛼𝑛1.اا

هيَّا نتأكَّد من أن وحدات هذه المعادلة متَّسِقة. في الطرف الأيسر، 𝐴 زاوية، إذن وحدتها هي الدرجة. لدينا في الطرف الأيمن كسر. بسْطُ هذا الكسر هو متوسط زاوية الانحراف، وهي زاوية؛ ومن ثَمَّ وحدتها هي أيضًا الدرجة. مقام الطرف الأيمن هو متوسط معامل الانكسار، وهو عدد لا بُعد له أو ليس له وحدة. هذا يعني أن الطرف الأيمن من المعادلة وحدته الدرجة؛ لذا فإن جميع الوحدات في المعادلة متَّسِقة.

رأينا أيضًا تعبيرين مختلفين لقوة التفريق اللوني للمنشور، واحد بدلالة زوايا الانحراف والآخَر بدلالة معامل الانكسار. وبما أن هذين التعبيرين متكافئان، يُمكننا دمجهما لإيجاد علاقة تربط زوايا الانحراف بمعامل الانكسار.

بذلك يصبح لدينا: 𝜔=𝛼𝛼𝛼+𝛼2=𝑛𝑛𝑛+𝑛21.اُاىاُاىاااا

يُمكننا إعادة كتابة ذلك بالترميز الجديد لمتوسط زاوية الانحراف ومتوسط معامل الانكسار. وبذلك يكون لدينا: 𝜔=𝛼𝛼𝛼=𝑛𝑛𝑛1.اُاىاااا

دعونا نتناول الآن المعادلة الثانية هنا: 𝛼𝛼𝛼=𝑛𝑛𝑛1,اُاىاااا نضرب طرفَيِ المعادلة في 𝛼ا. فنحصل على: 𝛼𝛼=𝛼×𝑛𝑛𝑛1.اُاىاااا

يُمكننا إعادة كتابة الطرف الأيمن كما يأتي: 𝛼𝛼=𝛼𝑛1𝑛𝑛=𝐴𝑛𝑛.اُاىاااااا

في السطر الثاني هنا، استخدمنا معادلة زاوية رأس المنشور، 𝐴، بدلالة 𝛼ا و𝑛ا، وهذا لا ينطبق إلا على المنشور الرقيق؛ لذا نفترض أن 𝐴 هنا صغيرة.

دعونا نفكِّر كيف يُمكننا استخدام هذه المعادلة الجديدة للمنشور الرقيق: 𝛼𝛼=𝐴𝑛𝑛اُاىاا.

افترض أن لدينا منشورًا زاوية رأسه 8، وهي زاوية صغيرة بما يكفي لاعتبار المنشور رقيقًا. لهذا المنشور معاملات انكسار مختلفة للأطوال الموجية المختلفة للضوء التي يمرُّ عبر المنشور. معامل انكسار أطول طول موجي للضوء يساوي 1.512، ومعامل انكسار أقصر طول موجي للضوء يساوي 1.535. نُطلِق على الفرق بين زاوية الانحراف للشعاعين الأكثر انحرافًا والأقلِّ انحرافًا اللذين يمرَّان عبر المنشور «الانفراج الزاوي». ويُمكننا حسابه كما يأتي.

يوضِّح الشكل الآتي انكسار الضوء في هذا المنشور الرقيق.

الانفراج الزاوي هو الفرق بين زاويتَيِ الانحراف العُظمى والصُّغرى في المنشور. نُسمِّي الانفراج الزاوي، Δ𝛼؛ حيث Δ هو الحرف اليوناني دلتا. نلاحِظ هنا أن Δ𝛼 يجب أن تُقرَأ باعتبارها كمية واحدة، فهي لا تمثِّل Δ ضرب 𝛼. هذا يعني أن Δ𝛼=𝛼𝛼اُاى.

هيَّا نستخدِم المعادلة التي تربط بين معامل الانكسار والانفراج الزاوي، وهي 𝛼𝛼=𝐴𝑛𝑛اُاىاا. يُمكننا وضْع الانفراج الزاوي بدلَ الطرف الأيسر في هذه المعادلة، وهكذا يصبح لدينا: Δ𝛼=𝐴𝑛𝑛.اا

يُمكننا الآن التعويض بالقِيَم المُعطاة، وهي 𝐴=8، 𝑛=1.535ا، 𝑛=1.512ا. هذا يعطينا: Δ𝛼=8×(1.5351.512)=8×(0.023)=0.184.

هذا يعني أن الانفراج الزاوي للمنشور يساوي Δ𝛼=0.184.

هيَّا نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يُحلِّل المنشور الضوء الأبيض ويفرِّقه حسب الأطوال الموجية المختلفة لألوان الضوء المختلفة.
  • يحدث تفريق الضوء هذا لأن معامل انكسار المادة المصنوع منها المنشور يتغيَّر بتغيُّر الطول الموجي.
  • يُمكن تحديد مقدار تفريق الضوء بواسطة المنشور باستخدام كمية تُسمَّى «قوة التفريق اللوني» للمنشور، ويُشار إليها بالرمز 𝜔.
  • إذا كانت 𝛼اُ و𝛼اى هما زاويتَيِ الانحراف العُظمى والصُّغرى لمختلف الأطوال الموجية للضوء الذي يمرُّ عبر المنشور، فإن: 𝜔=𝛼𝛼𝛼+𝛼2.اُاىاُاى
  • إذا كان 𝑛ا و𝑛ا هما معاملَيِ الانكسار الأعظم والأصغر لمختلف لأطوال الموجية المختلفة للضوء الذي يمرُّ عبر المنشور، فإن: 𝜔=𝑛𝑛𝑛+𝑛21.اااا
  • في المنشور الرقيق الذي له زاوية رأس صغيرة، هي 𝐴، يُمكننا ربط الانفراج الزاوي للمنشور بزاوية رأس المنشور ومعاملات انكسار المنشور باستخدام المعادلة: 𝛼𝛼=𝐴𝑛𝑛.اُاىاا

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.