في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب فرق الجهد وشدة التيار والمقاومة عند نقاط مختلفة في دوائر كهربية بسيطة موصلة على التوازي.
يوضِّح الشكل الآتي دائرة كهربية تتكوَّن من بطارية ومقاومة. فرق الجهد الذي تزوِّده البطارية هو ، وشدة التيار في الدائرة هي ، والمقاومة هي .
في الدائرة الكهربية السابقة، لا يوجد سوى مسار واحد يمكن أن تتدفَّق فيه الإلكترونات للانتقال من أحد طرفَي البطارية إلى طرفها الآخر. لكن في الدائرة الكهربية الآتية، يوجد مساران يمكن أن تتدفَّق فيهما الإلكترونات للانتقال من أحد طرفَي البطارية إلى طرفها الآخر.
ينقسم المسار بين طرفَي البطارية إلى فرعين عند النقطة A. ويلتقي المساران مرة أخرى عند النقطة B. ويحتوي كل مسارٍ منهما على مقاومة.
عند وجود عدة مسارات مختلفة يمكن أن تتخذها الإلكترونات بين طرفَي بطارية كما في هذه الحالة، فإننا نقول إن هذا الجزء من الدائرة الكهربية متصل على التوازي. إذا كانت الدائرة لها مكوِّنات متصلة على التوالي وعلى التوازي في آنٍ واحد، فإنها تُسمَّى دائرة مركبة. وعندما تكون جميع المكوِّنات في دائرة كهربية متصلة على التوازي فقط، فإنها تُسمَّى دائرة توازٍ.
نُلقي نظرة على مثال.
مثال ١: تحديد المكوِّنات المتصلة على التوازي
يوضِّح الشكل أربع دوائر كهربية. أيُّ دائرة تحتوي على مقاومتين متصلتين على التوازي؟
الحل
تكون المكوِّنات متصلة على التوازي إذا كانت في مسارات منفصلة للدائرة.
تحتوي الدائرة (أ) على مقاومتين، لكنهما على المسار نفسه، وليسا على مسارين مختلفين. ويجب أن تمر الإلكترونات التي تتدفَّق بين طرفَي البطارية عبر كلتا المقاومتين. ومن ثَمَّ، فهاتان المقاومتان متصلتان على التوالي، لا على التوازي.
والدائرة الكهربية (ب) شكلها مشابه جدًّا، والفرق الوحيد هو أن البطاريتين موجودتان على جانبين مختلفين من الشكل. ولا يؤثِّر ذلك على إذا ما كان المكوِّنان متصلين على التوالي أو على التوازي؛ فهاتان المقاومتان متصلتان على التوالي أيضًا.
في الدائرة (د)، يوجد مساران محتملان لتدفُّق الإلكترونات بين طرفَي البطارية، لكن في أحد هذين المسارين مصباح، وفي الآخر المقاومتان متصلتان على التوالي. فالمقاومتان متصلتان على التوازي مع المصباح، ولا تتصل إحداهما بالأخرى.
في الدائرة (ج)، يوجد أيضًا مساران ممكنان لتدفُّق الإلكترونات، ويحتوي كل مسار على مقاومة. هاتان المقاومتان متصلتان على التوازي.
إذن الإجابة الصحيحة هي الدائرة (ج).
يمكن أن يكون تحديد من أين تبدأ وأين تنتهي دائرة توازٍ أمرًا صعبًا. انظر إلى دائرتَي التوازي الآتيتين.
قد يبدو أن هاتين الدائرتين تبدآن وتنتهيان في مواضع مختلفة، لكنهما في الحقيقة دائرتان متكافئتان. فالمنطقتان الواقعتان داخل دائرة في كلتيهما متطابقتان: هنالك نقطة تفرُّع تضع على مسار، وتضع على المسار الآخر، ثم يلتقي المساران في النهاية.
وما دام المساران متساويين في شدة التيار، تكون الدائرتان متكافئتين. يوجد بالشكل الآتي أيضًا دائرتان متكافئتان.
ولا يهم اتجاه مكوِّنات الدائرة ما دام يمكن وصف الدائرة بالطريقة نفسها؛ ففي هذه الحالة، تنقسم الدائرة إلى مسارين أحدهما يحتوي على ، والآخر على ، ثم يلتقي المساران مجددًا بعد ذلك.
يوضِّح الشكل الآتي أربع دوائر كهربية متكافئة تمامًا، فيها مقاومتان ومصباح.
هذه الدوائر متكافئة؛ لأن مكوِّناتها متصلة على التوازي بالطريقة نفسها. وجميعها يمكن وصفها بأنها تحتوي على نقطة تفرُّع تقسم المسار إلى مسارين، أحدهما يحتوي على مقاومتين، والآخر يحتوي على مصباح، ثم يلتقي المساران مجددًا بعد ذلك. ويوضِّح الشكل الآتي هذا الوصف بصريًّا، باستخدام دائرتين من الدوائر.
نُلقي نظرة على مثال.
مثال ٢: تحديد مخططات الدوائر المتكافئة
يوضِّح الشكل أربع دوائر مكوِّناتها موصلة على التوازي. أيُّ دائرتَيْن من الدوائر متكافئتان؟
الحل
ننظر إلى المسارات في هذه الدوائر. تنقسم الدائرة (أ) إلى مسارين؛ أحدهما به مقاومة مقدارها 10 Ω، والآخر به مصباح ومقاومة مقدارها 20 Ω.
وتنقسم الدائرة (ب) إلى مسارين؛ أحدهما به مقاومة مقدارها 20 Ω، والآخر به مصباح ومقاومة مقدارها 10 Ω.
وتحتوي الدائرة (ج) أولًا على مقاومة مقدارها 20 Ω، قبل أن تنقسم إلى مسارين؛ أحدهما به مصباح والآخر به مقاومة مقدارها 10 Ω. ومن الجدير بالملاحظة أن تلك ليست دائرة توازٍ حقيقية، بل هي دائرة مركبة؛ حيث توجد بها مكوِّنات متصلة على التوالي، وأخرى متصلة على التوازي في آنٍ واحد.
وتنقسم الدائرة الكهربية (د) إلى مسارين؛ أحدهما به مقاومة مقدارها 10 Ω، والآخر به مصباح ومقاومة مقدارها 20 Ω.
إذا كان التيار يتبع المسار نفسه في دائرتين ويمر بالمكوِّنات نفسها، تكون هاتان الدائرتان متكافئتين. إذن الدائرتان اللتان لهما الوصف نفسه هما (أ) و(د).
في دائرة التوازي، تكون قيم فرق الجهد عبر كل فرع متوازٍ متساوية. ودون النظر إلى قيم المقاومة للمكوِّنات على امتداد هذه المسارات، يتساوى فرق الجهد عبر كل مسارٍ منها. يوضِّح الشكل الآتي جهازَي فولتميتر يقيسان فرق الجهد عبر مقاومتين.
إذا كان يُساوي 1 Ω، يساوي 1 000 Ω، فهذا لا يحدث فارقًا. سيساوي فرق الجهد عبر كليهما 20 V.
قاعدة: فرق الجهد عبر مكوِّنات متصلة على التوازي
فرق الجهد عبر كل فرع من فروع دائرة التوازي متساوٍ:
نُلقي نظرة على مثال.
مثال ٣: إيجاد فروق الجهد عبر مكونات متصلة على التوازي
يوضِّح الشكل مقاومتين متصلتين على التوازي مع بطارية. إذا كان فرق الجهد عَبْر المقاومة التي مقدارها 3 Ω يساوي 18 V، فما فرق الجهد عَبْر المقاومة التي مقدارها 6 Ω؟
الحل
يُعطى فرق الجهد عبر مكوِّنات متصلة على التوازي بالقاعدة:
بالنسبة إلى هذه الدائرة التي تحتوي على مكوِّنين، ستبدو القاعدة هكذا
ولدينا قيمة فرق الجهد عبر المقاومة التي مقدارها 3 Ω، وتساوي 18 V. وفرق الجهد عبر المقاومة التي مقدارها 6 Ω يجب أن يساوي القيمة نفسها: 18 V.
وعلى العكس من فرق الجهد عبر الفروع المختلفة، وهو متساوٍ في كل الفروع، قد تختلف شدة التيار في كل فرع.
تذكَّر أن المقاومة تعرقل تدفُّق الشحنة الكهربية. فإذا كانت مقاومة فرعٍ أكبر من فرعٍ آخر، سيكون تدفُّق الشحنة فيه أصعب؛ ومن ثَمَّ، ستكون شدة التيار فيه أضعف وشدة التيار في الفرع الآخر أقوى.
لكن، لا بد أن تمر جميع الإلكترونات الصادرة من البطارية بفرعٍ من الفرعين. ومن ثَمَّ، فإن شدة التيار الكُلِّية عبر جميع الفروع ستساوي شدة التيار قبل انقسام المسار.
في الشكل الآتي، شدة التيار الكُلِّية تساوي مجموع شدة التيارات في الفروع، ، .
قاعدة: شدة التيار الكُلِّية في المسارات المتوازية بدائرة كهربية
شدة التيار الكُلِّية للمكوِّنات المتصلة على التوازي، ، تُساوي مجموع شدة التيارات في كل مسار: حيث ، ، ، وكذلك التيارات في أي مسار محدَّد.
وتعتمد طريقة انقسام شدة التيار الكُلِّية بين المسارات على مقاومة كل مسار. يوضِّح الشكل الآتي دائرة كهربية تنقسم إلى ثلاثة مسارات، لكلٍّ منها تيارٌ.
ولدينا شدة التيار الكُلِّية، ، وشدة التيار في مسارين بهما المقاومتان ، . يمكننا استخدام هذه القيم لإيجاد شدة التيار في المسار الأيسر، .
شدة التيار الكُلِّية في الدائرة 9 A. يمكن أن نُسمِّي المسار الأوسط ، والمسار الأيمن ، وشدة التيار فيهما 5 A، 1 A، على الترتيب. يمكننا استخدام قاعدة شدة التيار الكُلِّية عبر مسارات متوازية لتمثيل ذلك بمعادلة:
نعوِّض بالقيم المعلومة لشدة التيار، لتصبح المعادلة:
لإيجاد ، علينا طرح 6 A من الطرفين:
إذن شدة التيار في المسار الأيسر، تساوي 3 A.
نفترض الآن أننا لا نعرف شدة التيار في مسار معيَّن، كما في الشكل الآتي.
يمكننا تحديد مقدار شدة التيار المار في كل مسار عن طريق المقارنة بين قيم المقاومة. في الشكل الآتي، هاتان المقاومتان لهما المقدار نفسه، . وهذا يعني أن شدة التيار ستنقسم بالتساوي بين المسارين:
إذن، بالنظر إلى شدة التيار الكُلِّية:
بالتعويض عن قيمتَي التيار بـ ، بما أنهما متساويتان، نحصل على:
ولإيجاد ، نقسم كلا الطرفين على 2:
إذن يحتوي كل مسار من المسارين على نصف شدة التيار الكُلِّية. وشدة التيار الكُلِّية تساوي 8 A، إذن:
وبما أن ، متساويان، إذن فكلٌّ منهما يُساوي 4 A.
هيا نُلقِ نظرة على بعض الأمثلة.
مثال ٤: إيجاد شدة التيار عبر مكوِّنات متصلة على التوازي
تتكوَّن الدائرة الموضَّحة في الشكل من مقاومتين موصَّلتين على التوازي مع بطارية. قيمة تساوي 30 A. ما قيمة ؟
الحل
تُعطى شدة التيار الكُلِّية في دائرة كهربية بها مكوِّنات متصلة على التوازي بالقاعدة:
ولمكوِّنين فقط في مسارين منفصلين، تصبح هذه القاعدة:
المقاومتان في مسارَي هذه الدائرة الكهربية متساويتان؛ لذا، ينقسم التيار بينهما بالتساوي. وهذا يعني أن شدة التيار هي نفسها :
بالتعويض بهذه العلاقة في قاعدة شدة التيار الكُلِّية، نحصل على:
الآن، لإيجاد قيمة ، نقسم كلا الطرفين على 2:
يؤدي ذلك إلى حذف الرقم 2 في الطرف الأيمن من المعادلة، فيتبقَّى لدينا:
شدة التيار الكُلِّية تُساوي 30 A. وبالتعويض في هذه القيمة، نحصل على قيمة :
إذن قيمة هي 15 A.
لكي نلاحظ كيف تتغيَّر شدة التيار بتغيُّر مقاومة مسار ما، علينا أولًا أن ننظر إلى كيفية إيجاد المقاومة الكُلِّية للمكوِّنات المتصلة على التوازي.
قاعدة: المقاومة الكُلِّية لمكوِّنات متصلة على التوازي
لعدد من المكوِّنات على مسارات متوازية، المقاومة الكُلِّية تُساوي: حيث مقاومة المكوِّن الأول، و مقاومة المكوِّن الثاني، وهكذا.
هيا نطبِّق هذه المعادلة على مقاومتين فقط، هما ، ، لشرح كيفية إيجاد في طرفٍ بمفردها. وهذا يجعل المعادلة:
ويمكننا أخذ مقلوب كلا الطرفين للحصول على في الطرف الأيسر:
والقسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقام هذا الكسر، وبذلك يصبح الطرف الأيسر:
وبذلك تصبح المعادلة:
والآن نضرب كلا الطرفين في ؛ وبما أن هذا يساوي واحدًا، إذن يظل الحد موجودًا على الطرف الأيسر:
والكسر يعني أن البسط والمقام يتوزَّعان على الكسر في الطرف الأيمن:
مقسوم على يساوي واحدًا، إذن المعادلة الآن:
والآن، هيا نضرب كلا الطرفين في :
وبضرب في أعلى وأسفل الكسر الأيمن، نحصل على:
وتتوزَّع في المقام:
في المقام يساوي واحدًا، ما يُعطينا:
إذن، عند وجود مقاومتين، يمكن استخدام هذه المعادلة لتحديد المقاومة الكُلِّية للدائرة.
قاعدة: المقاومة الكُلِّية لدائرة توازٍ من مكوِّنين
عندما يوجد مكوِّنان على مسارين متوازيين، فإن المقاومة الكُلِّية تُساوي: حيث مقاومة المكوِّن الأول، و مقاومة المكوِّن الثاني.
في الدائرة الكهربية الآتية، يمكننا حساب باستخدام هذه القاعدة.
نعتبر أن يُساوي 5 Ω، وأن يُساوي 20 Ω. بالتعويض بهذه القيم في معادلة المقاومة الكُلِّية، نحصل على:
القسمة على أوم تحذف التربيع من الحد أوم في البسط، ما يُعطينا أن المقاومة الكُلِّية:
نُلقي نظرة على مثال.
مثال ٥: تحديد كيفية تغيُّر شدة التيار بفعل عدد المسارات المتوازية في دائرة
أنشأ طالب دائرة كهربية، كما هو موضَّح بالشكل. في البداية، كان المفتاح الكهربي مفتوحًا. عندما يُغلِق الطالب المفتاح، هل تزداد شدة التيار المار في الدائرة أم تقل؟
الحل
لتحديد شدة التيار الكُلِّية في دائرة كهربية، يمكننا تطبيق قانون أوم على شدة التيار:
فرق الجهد في هذه الدائرة ثابت بفعل البطارية، ولكن يمكن أن تتغيَّر المقاومة بإغلاق المسار أسفلها. نُسمِّي المقاومتين ، .
في البداية، عندما يكون المفتاح مفتوحًا، لا يمر أي تيار في الفرع السفلي لهذه الدائرة. كل الإلكترونات من البطارية تتدفَّق فقط عبر . ومن ثَمَّ، يمكن وصف المقاومة الكُلِّية بأنها:
عندما يكون المفتاح مغلقًا، يمر تيار في الفرعين اللذين يحتويان على كلٍّ من ، . تذكَّر أن المقاومة الكُلِّية في دائرة ذات مقاومتين متصلتين على التوازي تُعطى باستخدام المعادلة:
الآن، بغض النظر عن قيمة ، فإنها تؤدي إلى تقليل المقاومة الكُلِّية. وهذا لأن ضرب في ثم القسمة على مجموعهما يكون دائمًا أصغر من بمفردها:
وللتحقُّق من صحة ذلك، نفترض أن يُساوي 1 Ω، ونجرب التعويض عن بالقيمة 0.1 Ω، وأيضًا بالقيمة 1 000 Ω:
نعوِّض بـ 0.1 Ω قيمةً لـ ، وبذلك تصبح المقاومة الكُلِّية :
والآن، نجرِّب التعويض بـ 1 000 Ω قيمةً لـ :
نلاحظ أن النتيجة النهائية في كلتا الحالتين أقل من .
إذن، إذا قلَّت المقاومة الكُلِّية، وفقًا لقانون أوم، فلا بد أن تزيد شدة التيار الكُلِّية في الدائرة؛ لأن شدة التيار تتناسب عكسيًّا مع المقاومة:
والإجابة الصحيحة هي أن شدة التيار تزيد عند غلق المفتاح.
والآن، بعد أن عرفنا كيفية عمل التيار والمقاومة وفرق الجهد في دوائر التوازي، يمكننا استخدام هذه القواعد في إيجاد قيم محدَّدة نبحث عنها في دائرة كهربية.
نُلقي نظرة على مثال.
مثال ٦: إيجاد قيم فرق الجهد وشدة التيار لمكوِّنات متصلة على التوازي
تتكوَّن الدائرة الموضَّحة في الشكل من مقاومتين موصَّلتين على التوازي مع بطارية. شدة التيار المُعطاة بالأميتر الثاني، ، هي 3 A. ما قيمة ؟
الحل
نحن نعلم أنه في دائرة التوازي، شدة التيار الكُلِّية هي مجموع شدة التيارات عبر المسارات المتوازية. ومن ثَمَّ، تُساوي شدة التيار الكُلِّية:
وهذا يعني أنه علينا إيجاد شدة التيار في المسار الثاني ، ثم نضيفها إلى لإيجاد شدة التيار الكُلِّية. يمكننا فعل ذلك بالنظر إلى فرق الجهد عبر كل مسار من المسارين.
لا نعرف فرق جهد البطارية، لكننا نعرف أن فرق الجهد هو نفسه في كلا المسارين:
وهذا يمثِّل فرصة لاستخدام قانون أوم للربط بين المسارين. قبل أن نفعل ذلك، نفترض أن المقاومة عبر مسار تُساوي ، والمقاومة عبر مسار تُساوي .
يمكن كتابة فرق الجهد عبر المسار الأول، باستخدام قانون أوم، على النحو الآتي: وعبر المسار الثاني على النحو الآتي: لكن بما أن ، يمكننا ربط هاتين المعادلتين بالمعادلة:
والآن، يمكننا إيجاد القيمة المطلوبة عن طريق قسمة الطرفين على :
وبالحذف في الطرف الأيسر، نحصل على:
تُساوي 3 A، تُساوي 4 Ω، تُساوي 12 Ω. بكتابة هاتين القيمتين في المعادلة، نحصل على:
والآن نقسم وحدتَي أوم، ونحذفهما لأنهما في البسط والمقام، فنحصل على:
الآن، وقد صارت لدينا قيمة ، نجمعها مع لنحصل على شدة التيار الكُلِّية:
إذن شدة التيار الكُلِّية تساوي 12 أمبير.
نلخِّص ما تعلَّمناه في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- تكون المكوِّنات متصلة على التوازي عندما يوجد أكثر من مسار لتدفُّق التيار.
- دوائر التوازي هي الدوائر التي تكون فيها جميع المكوِّنات متصلة على التوازي.
- لعدد من المكوِّنات على مسارات متوازية، فإن المقاومة الكُلِّية تُساوي: حيث مقاومة المكوِّن الأول، و مقاومة المكوِّن الثاني، وهكذا.
- بالنسبة إلى مقاومتين على التوازي:
- شدة التيار الكُلِّية في دائرة توازٍ تنقسم بين الفروع المختلفة للدائرة؛ بحيث:
- فرق الجهد عبر كل فرع من الفروع المتصلة على التوازي في الدائرة الكهربية هو نفسه:
