الشارح للدرس: النسبة الرياضيات

مثال ١: إيجاد نسبة بمعلومية نسبتين أخريين

النسبة بين طول باسم إلى طول شادي والنسبة بين طول شادي إلى طول رامي. أوجد النسبة بين طول باسم إلى طول رامي.

الحل

يمكن تعديل النسب لإيجاد قيم مكافئة بضرب أو قسمة كل جزء على عدد ثابت معين. لإيجاد النسبة بين طول باسم إلى طول رامي علينا إيجاد طريقة لاستخدام طول الشخص المشترك بينهما، أي، شادي. في الواقع، سنجعل الحد الذي يمثل طول شادي متساوٍ في النسبتين بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهما.

في النسبة الأولى، طول باسم إلى طول شادي يساوي . وفي النسبة الثانية، طول شادي إلى طول رامي يساوي . ومن ثم علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٢، ١:

لجعل الحد الذي يمثل طول شادي متساوٍ في النسبتين، نضرب النسبة الأولى في ٢:

بما أن النسبة بين طول باسم إلى طول شادي إلى طول رامي تساوي ، إذن يمكننا الآن إيجاد النسبة بين طول باسم إلى طول رامي باستخدام هذين الجزأين فقط.

ومن ثم تكون النسبة .

مثال ٢: إيجاد قياس زوايا مثلث بمعلومية النسبة بينها

النسبة بين قياسات زوايا مثلث هي . أوجد قياس أكبر زاوية في هذا المثلث.

الحل

تذكر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في مثلث يساوي . لإيجاد قياس أكبر زاوية في مثلث تساوي فيه النسبة بين الزوايا ، يمكننا اتباع طريقة من عدة طرق.

يمكن القول إن الطريقة الأكثر فاعلية هي تحويل النسبة إلى كسر يمثل جزء واحد من الكل. أكبر زاوية هي الزاوية التي يمثلها ١٩ جزءًا، وهناك مجموع يساوي جزءًا في النسبة. ومن ثم، نجد أن أكبر زاوية هي من :

هذه الطريقة تكافئ حساب قياس جزء واحد من النسبة أولًا بتقسيم إلى ٤٥ جزءًا ثم استخدام هذه العملية الحسابية لإيجاد قياس ١٩ جزءًا.

مثال ٣: تقسيم كمية إلى نسبة تتكون من ثلاثة حدود

خصصت مدرسة مبلغ ٥٨٨ جنيهًا مصريًّا لشراء الزينة. يُقسَّم المبلغ المالي على الفصول ، ، بنسبة . ما المبلغ المخصص لكل فصل؟

الحل

لتقسيم كمية إلى نسبة، يمكننا التفكير في النسبة على أنها تقسيم كل إلى عدد من الأجزاء. فيما يخص النسبة ، يُعطى إجمالي عدد الأجزاء بالعلاقة:

ومن ثم، لتقسيم مبلغ ٥٨٨ جنيهًا مصريًّا بين الفصول، سنبدأ بتقسيمه بالتساوي إلى ١٢ جزءًا:

كل جزء في النسبة يساوي ٤٩ جنيهًا مصريًّا. وبهذه الحقيقة، يمكننا الآن حساب مبلغ المال الذي يحصل عليه كل فصل.

وبما أن عدد أجزاء الفصل هو ٢، إذن يحصل الفصل على

وبالمثل، يحصل الفصل على ٤ أجزاء:

وأخيرًا يحصل الفصل على ٦ أجزاء:

لاحظ أن مجموع هذه القيم، يساوي ٥٨٨ جنيهًا مصريًّا كما هو متوقع.

إذن، لدينا ، ، .

مثال ٤: إيجاد قيمتين بمعلومية النسبة بينهما والفرق بينهما

إذا كان ، فاحسب قيمة .

الحل

لإيجاد قيمة ، سنستخدم المعلومات المتعلقة بالعلاقة بين ، . علمنا أن . لاحظ أن الفرق بين عدد الأجزاء التي يمثلها وعدد الأجزاء التي يمثلها ، في النسبة، يساوي .

ومن ثم، جزء واحد ٤٩.

تخبرنا النسبة بأن يساوي ٣ أجزاء، إذن

مثال ٥: حل مسألة نسبة تتضمن تقسيم كمية بمعلومية العلاقة بين الأنصبة

يتشارك سيف وفارس وماجد بعض المال بنسبة . ضعف نصيب سيف يزيد عن نصيب فارس بمقدار ١٢ جنيهًا مصريًّا. ما مقدار نصيب كلٍ من سيف وفارس وماجد؟

الحل

سنبدأ باستخدام المعلومة التي تقول إن ضعف نصيب سيف يزيد عن نصيب فارس بمقدار ١٢ جنيهًا مصريًّا. في النسبة، يساوي مبلغ المال الذي يحصل عليه سيف ٤ أجزاء، بينما يساوي مبلغ المال الذي يحصل عليه فارس ٥ أجزاء.

ضعف نصيب سيف يساوي أجزاء، إذن ضعف نصيب سيف يزيد عن نصيب فارس بمقدار

بما أن ٣ أجزاء تساوي ١٢ جنيهًا مصريًّا إذن جزء واحد يساوي .

ومن ثم، سنضرب كل جزء من النسبة في ٤:

إذن، نصيب سيف هو ١٦ جنيهًا مصريًّا، ونصيب فارس هو ٢٠ جنيهًا مصريًّا، ونصيب ماجد هو ٣٢ جنيهًا مصريًّا.

مثال ٦: إيجاد نسبة جديدة بعد طرح عدد من كل حد في النسبة

النسبة بين عددين صحيحين هي . فإذا طُرِح من كل من العددين ٣٣، فإن النسبة بينهما تكون . فما هذان العددان الصحيحان؟

الحل

على الرغم من أن هذا ليس ضروريًا تمامًا، فإنه يمكن أن يساعدنا في البدء في تحديد العددين الصحيحين على صورة ، . لدينا ، لذا دعونا نسرد أول بضعة خيارات ممكنة لهذين العددين الصحيحين بضرب كل منهما في ١، ٢، ٣، وهكذا.

علمنا أن النسبة تُصبح عند طرح ٣٣ من كل عدد، لذا سنطرح الآن ٣٣ من كل قيمة في الجدول.

وأخيرًا، نحدد موقع العددين الموجودين في هذين العمودين اللذين يمثلان النسبة :

بما أن هذه النسبة تنتج عن العددين الابتدائيين ، ، إذن العددان الصحيحان هما ٦، ١٥.