شارح الدرس: حفظ الطاقة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُطبِّق مبدأ حفظ الطاقة لحل مسائل على الأجسام المتحرِّكة.

يرتبط مبدأ حفظ الطاقة بالمسائل التي نتناول فيها طاقة الحركة وطاقة وضع الجاذبية والطاقة المبدَّدة بفعل الاحتكاك.

هيا نُعرِّف طاقة الحركة.

تعريف: طاقة الحركة

تعتمد طاقة حركة الجسم على كتلة الجسم وسرعته، وفقًا للمعادلة: 𞸈=١٢𞸊𞸏،٢ حيث 𞸊 كتلة الجسم، 𞸏 سرعته.

هيا نُعرِّف طاقة وضع الجاذبية.

تعريف: طاقة وضع الجاذبية

تعتمد طاقة وضع الجاذبية للجسم على كتلة الجسم وارتفاعه وفقًا للمعادلة: 𞹙=𞸊𞸃𞸋، حيث 𞸊 كتلة الجسم، 𞸋 ارتفاع الجسم، 𞸃 عجلة الجاذبية التي تُقدَّر قيمتها عادةً بـ ٩٫٨ م/ث٢ بالقرب من سطح الأرض.

النظام المغلق هو مجموعة من الأجسام تنتقل الطاقة فيما بينها فقط، ولا تنتقل إلى أيِّ جسم لا يقع ضمن النظام. في بعض الأسئلة، قد تُعَدُّ الأرض من الأجسام الموجودة في النظام. مجموع طاقتَي الحركة والوضع في النظام المغلق يكون محفوظًا؛ أي ثابتًا. يمكن أن تتحوَّل طاقة الحركة إلى طاقة وضع، والعكس صحيح.

ويمكن أن تنتقل الطاقة أيضًا بين الأنظمة. وتُعرَف هذه الأنظمة باسم الأنظمة المفتوحة. إحدى طرق انتقال الطاقة بين نظامين هي عندما يقوم جسمٌ في أحد الأنظمة ببذل شغل على جسم في النظام الآخر.

هيا نُعرِّف الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة.

تعريف: الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة

الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة يعتمد على القوة المؤثِّرة على الجسم والمسافة التي يتحرَّك بها الجسم في اتجاه هذه القوة، وفقًا للمعادلة: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، حيث 𞹟 القوة، 𞸐 إزاحة الجسم أثناء تأثير القوة عليه، 𝜃 الزاوية المحصورة بين اتجاهَي 𞹟، 𞸐.

يمكن تعريف القوى بأنها قوى محافظة أو قوى غير محافظة.

تكون القوة محافظة إذا كان الشغل الذي تبذله القوة على الجسم لا يعتمد إلا على الموضع الابتدائي والنهائي للجسم فقط؛ ومن ثَمَّ، فهو لا يعتمد على المسار الذي يتبعه الجسم خلال حركته. تُعَدُّ قوى الجاذبية مثالًا على القوى المحافظة.

بالنسبة إلى قوة محافظة تؤثِّر على جسم، يرتبط الشغل المبذول بواسطة هذه القوة بتغيُّر طاقة وضع الجسم. تُعطَى العلاقة بين الشغل الذي تبذله القوة والتغيُّر في طاقة وضع الجسم بالمعادلة: 𞸔=Δ𞹙، حيث 𞸔 مقدار الشغل المبذول بواسطة القوة، Δ𞹙 التغيُّر في طاقة وضع الجسم.

ينص مبدأ الشغل والطاقة على أن الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة محافظة أو غير محافظة يساوي التغيُّر في طاقة حركة الجسم. يمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة: 𞸔=Δ𞸈، حيث 𞸔 مقدار الشغل المبذول بواسطة القوة، Δ𞸈 التغيُّر في طاقة حركة الجسم.

وبناءً على ذلك، نجد أنه لقوة محافظة تؤثِّر على جسم، فإن: Δ𞹙=Δ𞸈.

ويمكن التعبير عن ذلك على الصورة: Δ𞸈+Δ𞹙=٠.

كما يمكن التعبير عن ذلك أيضًا على الصورة: 𞸈=𞸈+𞹙،𞸌 حيث 𞸈𞸌 طاقة النظام، وهي كمية محفوظة. ومجموع طاقات الأنظمة المفتوحة التي تنقل الطاقة فيما بينها هي كمية محفوظة أيضًا.

تكون القوة غير محافظة إذا كان الشغل المبذول على جسم بواسطة القوة يعتمد على المسار الذي اتبعه الجسم أثناء حركته. وتُعَدُّ قوى الاحتكاك مثالًا على القوى غير المحافظة.

الشغل المبذول بواسطة قوة غير محافظة تؤثِّر على الجسم لا يكون بالضرورة مبذولًا على الجسم. نفترض، على سبيل المثال، وجود قوة أفقية تؤثِّر على جسم موضوع على مستوى أفقي خشن. يمكن أن تَنتج عن تأثير هذه القوة حركة منتظمة للجسم على طول المستوى. وخلال الفترة الزمنية التي تؤثِّر فيها القوة على الجسم وتحرِّكه حركة منتظمة، فإن القوة تبذل شغلًا، ولكن طاقة حركة الجسم لا تتغيَّر. يُعرَف الشغل المبذول بواسطة القوة التي لا تزيد طاقة الجسم بأنه شغل مبدَّد. كما يُعرَف النظام الذي تُبدَّد فيه الطاقة باسم النظام المبدِّد. في أيِّ نظام مبدِّد، يمكن التعبير عن طاقة النظام على الصورة: 𞸈=𞸈+𞹙+𞸔،𞸌 حيث 𞸔 الطاقة المبدَّدة.

يمكننا أن نلاحظ أن هناك العديد من أوجه التشابه بين مبدأ حفظ الطاقة ومبدأ الشغل والطاقة. في الأنظمة غير المبدِّدة، يكون المبدآن متكافئين.

نتناول مثالًا على حفظ الطاقة في نظام مغلق.

مثال ١: حساب طاقة جسم في حالة سقوط حر

جسم كتلته ٢٠ كجم سقط من ارتفاع ٤٢٫٣ م فوق سطح الأرض. أوجد مجموع طاقة حركته وطاقة وضعه بالنسبة إلى سطح الأرض بعد ثانيتين من سقوطه. اعتبر 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

بدأ الجسم بالسقوط من ارتفاع. هذا يعني أن الجسم كان في حالة سكون قبل أن يبدأ في السقوط؛ ومن ثَمَّ، لم تكن له طاقة حركة ابتدائية.

وتُعطَى طاقة النظام عندما يكون الجسم في حالة سكون من خلال طاقة وضع الجاذبية الابتدائية: 𞹙=٠٢×٨٫٩×٣٫٢٤=٨٫٠٩٢٨،اال حيث تكون قيمة 𞸈 الابتدائية مساوية للصفر.

عندما سقط الجسم خلال فترة زمنية 𞸍، نجد أن ارتفاعه من سطح الأرض يقل؛ ومن ثَمَّ، تقل طاقة وضع الجاذبية بمقدار Δ𞹙: 𞹙=𞹙Δ𞹙.𞸍اا

تظل طاقة النظام محفوظة؛ ومن ثَمَّ، تتحوَّل طاقة وضع الجاذبية لهذا النظام إلى طاقة حركة للنظام. تَحوُّل الطاقة إلى طاقة الحركة يعني أنه، عند اللحظة 𞸍: 𞸈=٠+Δ𞸈،𞸍 حيث Δ𞸈=Δ𞹙.

من ثَمَّ، فإن مجموع 𞹙𞸍، 𞸈𞸍 يساوي: 𞹙+𞸈=𞹙Δ𞹙+Δ𞹙=𞹙=٨٫٠٩٢٨.𞸍𞸍اااال

من المهم أن نلاحظ أن مجموع 𞹙، 𞸈 لا يعتمد على الزمن الذي سقط خلاله الجسم. إن الطاقة في النظام المغلق تكون محفوظة، وبناءً على ذلك، فإن 𞸈𞸌 للنظام المغلق، تكون له القيمة نفسها طوال الوقت.

نتناول مثالًا آخر على التحوُّل من طاقة وضع الجاذبية إلى طاقة الحركة.

مثال ٢: تطبيق مبدأ حفظ الطاقة لحساب السرعة

بدأ جسم في الانزلاق إلى أسفل مستوى مائل أملس ارتفاعه ٥٠٤ سم من قمته. أوجد سرعته عندما وصل إلى أسفل المستوى. 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

بدأ الجسم بالانزلاق من ارتفاع. وهذا يعني أن الجسم كان في حالة سكون قبل أن يبدأ في الانزلاق؛ ومن ثَمَّ، فليس له طاقة حركة ابتدائية. يمثِّل الشكل الآتي الجسم في موضعه الابتدائي وموضعه النهائي.

تُعطَى طاقة النظام عندما يكون في حالة سكون من خلال طاقة وضع الجاذبية الابتدائية: 𞹙=𞸊×٨٫٩×٤٠٫٥،اا حيث تكون قيمة 𞸈 الابتدائية مساوية للصفر. نُحوِّل الارتفاع المُعطَى بوحدة سنتيمتر إلى ارتفاع بوحدة متر حتى يكون متسقًا مع وحدة م/ث٢ لـ 𞸃=٨٫٩/مث٢.

المستوى المائل أملس؛ لذا، لا يحدث أيُّ تبديد للطاقة. عندما يصل الجسم إلى نهاية المستوى المائل، فإن 𞹙 يساوي صفرًا، وتتحوَّل طاقة وضع الجاذبية بالكامل إلى طاقة حركة. عندما يحدث ذلك، فإن: 𞸈=𞹙،اا وبناءً على ذلك، فإن: ١٢𞸊𞸏=𞸊×٨٫٩×٤٠٫٥.٢

يوجد عامل مشترك، وهو 𞸊، في طرفَي المعادلة، وهو ما يمكن حذفه لنحصل على: ١٢𞸏=٨٫٩×٤٠٫٥،𞸏=٢×٩٤٥×٦٢١٥٢،𞸏=٢×٩٤٥×٦٢١٥٢=٨٤٣٢١٥٢١𞸏=٨٩󰂔٨٩٥٢١󰂓.٢٢٢٢

وبأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على: 𞸏=٢٤٥󰋺٧٥𞸏=٢٤󰋴٥٣٥٢/.مث

من المهم ملاحظة أن طاقة النظام لا تعتمد على زاوية ميل المستوى؛ فالمسار الذي يأخذه الجسم للانتقال من ارتفاعه الابتدائي إلى نهاية المستوى المائل لا يتعلَّق بانخفاض قيمة 𞹙. إن الزيادة في 𞸈 الناتجة عن انخفاض 𞹙 تكون ثابتة بصرف النظر عن المسار الذي يتبعه الجسم.

بدهيًّا، قد يُتوقَّع أن تكون للجسم الساقط رأسيًّا سرعة أكبر من الجسم المنزلق لأسفل على مستوى مائل من نفس ارتفاع الجسم الساقط رأسيًّا؛ وذلك لأن عجلة الجسم الساقط رأسيًّا تكون أكبر. لكن هذا التوقُّع غير صحيح؛ لأن الجسم الذي ينزلق على مستوى مائل يتسارع لفترة زمنية أطول من الجسم الساقط رأسيًّا، ويمكن لزيادة الفترة الزمنية التي يتسارع خلالها الجسم أن تعوِّض الفرق في مقدار العجلة.

والآن، نلقي نظرة على مثال يتناول سرعة الجسم عند لحظة معيَّنة.

مثال ٣: حساب التغيُّر في طاقة الوضع لجسم على مستوى مائل أملس

قُذِف جسم كتلته ٢٨١ جم بسرعة مقدارها ٣٧ سم/ث لأعلى خط أكبر ميل الأكبر لمستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية جيبها ٠١١١. أوجد التغيُّر في طاقة وضع الجسم من لحظة قذفه إلى أن تصبح سرعته ٢٩ سم/ث.

الحل

بالنسبة إلى الجسم، في البداية، تكون 𞹙=٠. المستوى المائل الذي يتحرَّك عليه الجسم أملس؛ ولذا، لا تتبدَّد أيُّ طاقة، كما أن مقدار الزيادة في 𞹙؛ أي Δ𞹙، يعادل مقدار الانخفاض في 𞸈؛ أي Δ𞸈.

يمكن تحديد قيمة Δ𞸈 بطرح قيمة 𞸈 عند حركة الجسم بسرعة ٣٧ سم/ث من قيمة 𞸈 عند حركة الجسم بسرعة ٢٩ سم/ث. ويمكن التعبير عن ذلك كالآتي: Δ𞸈=١٢(١٨٢)󰁓٩٢٧٣󰁒=٤٨١٤٧.٢٢

هذه ليست قيمة Δ𞸈 بوحدة جول؛ وذلك لأن الكتلة ليست بوحدة كيلوجرام، كما أن قيم السرعة ليست بوحدة متر لكل ثانية. ولتحويل هذه القيمة إلى قيمة بوحدة جول يتطلَّب ذلك القسمة على ١‎ ‎٠٠٠ لتغيير وحدة الكتلة، والقسمة على ٠٠١٢ لتغيير وحدة السرعة. بالقسمة على ٠١٧، يكون الناتج ٤٨١٤٧٠٠٫٠ جول.

يمكن كتابة قيمة Δ𞸈 على صورة عدد صحيح باستخدام وحدة إرج. تُعرَّف وحدة إرج على أنها جرام واحد ⋅ سنتيمتر مربع لكل ثانية مربعة. إرج واحد يساوي ٠١٧ جول. ذلك يعطينا النتيجة النهائية على صورة: Δ𞹙=٤٨١٤٧.إرج

من المهم أن نلاحظ أن تحديد التغيُّر في طاقتَي الحركة والوضع للنظام لا يعتمد على زاوية ميل المستوى الذي يتحرَّك عليه الجسم. وإذا افترضنا أن الزاوية كانت مختلفة، فإن الزمن الذي ستقل خلاله سرعة الجسم لتصبح ٢٩ سم/ث كان سيختلف أيضًا، لكن عملية تحوُّل الطاقة خلال هذا الزمن لن تختلف.

بالنسبة إلى النظام المفتوح، يمكن أن تتحوَّل الطاقة عن طريق التبدُّد بسبب الاحتكاك. ومثل هذا النظام يُسمَّى النظام المبدِّد. والطاقة المبدَّدة في هذا النظام تساوي الشغل المبذول على الأجسام الموجودة في النظام للتغلُّب على قوى الاحتكاك المؤثِّرة عليها.

والطاقة المبدَّدة لا تتحوَّل إلى طاقة حركة أو طاقة وضع في النظام المبدِّد، كما أنها لا تنتقل إلى الأنظمة الأخرى التي تتفاعل مع هذا النظام المبدِّد. هذا يعني أن مجموع طاقتَي الحركة والوضع لا يُحفَظ في النظام المبدِّد.

والآن، نلقي نظرة على مثال تتبدَّد فيه الطاقة بفعل قوة الاحتكاك.

مثال ٤: حساب الشغل المبذول ضد الاحتكاك على مستوى مائل خشن

قُذِف جسم لأعلى مستوى مائل خشن من قاعدته. كانت طاقة حركة الجسم الابتدائية ٢٤٢ جول. استمر الجسم في الحركة إلى أن وصل إلى أقصى ارتفاع، ثم انزلق عائدًا إلى القاعدة. عندما وصل الجسم إلى القاعدة، كانت طاقة حركته ١٨٦ جول. أوجد الشغل المبذول ضد الاحتكاك 𞸔 خلال الصعود، ومقدار طاقة وضع الجاذبية 𞹙 التي يكتسبها الجسم عند وصوله إلى أقصى ارتفاع.

الحل

بتطبيق المعادلة: 𞸈=𞸈+𞹙+𞸔،𞸌 يمكننا ملاحظة أنه، في البداية، عندما كان 𞹙 يساوي صفرًا، والشغل المبذول ضد الاحتكاك يساوي صفرًا، فإن: ٢٤٢=٢٤٢+٠+٠.

وفي النهاية، عندما يساوي 𞹙 صفرًا أيضًا، فإن: ٢٤٢=٦٨١+٠+𞸔.

قيمة 𞸔 تساوي ٥٦. يطلب منا السؤال إيجاد الطاقة المبدَّدة عند صعود الجسم فقط، لكن المقدار ٥٦ جول تَبدَّد أثناء حركة الجسم بالكامل.

بالرجوع إلى المعادلة: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، يمكننا اعتبار أن المسافة 󰄮󰄮𞸐 التي تحرَّكها الجسم أثناء تبديد الطاقة نتيجة للاحتكاك أثناء الصعود هي نفسها المسافة التي تحرَّكها أثناء الهبوط.

من المفترض أن تؤثِّر القوة المؤثِّرة على الجسم في اتجاه يوازي اتجاه ميل المستوى.

ومن المفترض أيضًا أن يكون مقدار قوة الاحتكاك 󰄮󰄮𞹟 عند الصعود مساويًا لمقدار قوة الاحتكاك عند الهبوط.

ونظرًا لهذه الاعتبارات، نجد أن قيمتَي 𞸔 عند الصعود والهبوط متساويتان؛ لذا، فإن قيمة 𞸔 عند الصعود تساوي نصف القيمة الكلية لـ 𞸔؛ ومن ثَمَّ، فإن: 𞸔=٢٤٢٦٨١٢=٨٢.ل

إذا تَبدَّد ٢٨ جول من الطاقة أثناء الصعود، نحصل على قيمة 𞹙 عند نهاية صعوده من خلال القيمة الابتدائية لـ 𞸈 ناقص الطاقة المبدَّدة أثناء الصعود: 𞹙=٢٤٢٨٢=٤١٢.ل

في هذا المثال، افترضنا أن التبدُّد متساوٍ خلال حركة الجسم أثناء الصعود والهبوط. وافتراض أن القوى المقاوِمة المتسبِّبة في هذا التبدُّد لها مقدار ثابت خلال حركة الجسم هو على سبيل التبسيط فقط؛ لأن هذه القوى المقاوِمة عادةً ما يتغيَّر مقدارها بناءً على سرعة الجسم، ولا تكون ثابتة إلا في حالة الأجسام التي لا تتغيَّر طاقة حركتها أثناء الحركة.

هيا نلقِ نظرة على مثال آخر نفترض فيه وجود قوة مقاومة ثابتة.

مثال ٥: تحديد سرعة جسم متحرِّك على مستوى مائل يتضمَّن قوة مقاومة

هبطت سيارة من السكون على مستوًى مائل مسافة ١٩٥ م. تكافئ هذه المسافة مسافة رأسية قدرها ١٤ م. إذا فقدت السيارة ٢٧ من طاقة وضعها بسبب المقاومة، وكانت المقاومة ثابتة خلال حركة السيارة، فأوجد سرعة السيارة بعد قطعها المسافة المذكورة ١٩٥ م. اعتبر 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

أشار السؤال إلى أن هناك تبديدًا لطاقة وضع الجاذبية، إذن لم يتحوَّل سوى جزء من طاقة 𞹙 التي انخفضت إلى طاقة 𞸈. يُعطَى مقدار الطاقة المحوَّلة إلى 𞸈؛ أي Δ𞸈، كالآتي: Δ𞸈=𞹙٢٧𞹙=٥٧𞹙.اااااا

باستخدام معادلة 𞸈 ومعادلة 𞹙، وبمعلومية أن طاقة الحركة الابتدائية تساوي صفرًا، يمكننا ملاحظة أن: ١٢𞸊𞸏=٠+٥٧𞹙١٢𞸊𞸏=٥٧𞸊𞸃𞸋.٢٢اا

ثمة عامل مشترك، وهو 𞸊، في طرفَي المعادلة، يمكننا حذفه لنحصل على: ١٢𞸏=٥٧𞸃𞸋.٢

بالتعويض بقيمتَي 𞸃، 𞸋 التي أخبرنا بهما السؤال، وبإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على: 𞸏=٠١٧×٨٫٩×٤١.٢

وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين نحصل على: 𞸏=󰋺٠١٧×٨٫٩×٤١=٤١/.مث

النقاط الرئيسية

  • الشغل المبذول على الجسم بواسطة قوة يساوي التغيُّر في طاقة حركة الجسم.
  • الشغل المبذول على الجسم بواسطة قوة محافظة لا يعتمد على المسار الذي يتبعه الجسم.
  • مجموع الشغل المبذول على الجسم بواسطة قوة محافظة والتغيُّر في طاقة وضع الجسم يساوي صفرًا.
  • طاقة النظام المغلق تساوي مجموع طاقتَي الحركة والوضع للأجسام الموجودة في النظام.
  • الشغل المبذول على الجسم بواسطة قوة غير محافظة يعتمد على المسار الذي يتبعه الجسم.
  • النظام المبدِّد هو النظام الذي لا يؤدِّي فيه بعض الشغل المبذول على الأجسام الموجودة في النظام إلى زيادة طاقة هذه الأجسام.
  • طاقة النظام المبدِّد تساوي مجموع طاقتَي الحركة والوضع للأجسام في النظام والشغل المبذول من النظام للتغلُّب على قوى المقاومة.
  • عندما تكون حركة الجسم ناتجة بالكامل عن تحوُّل بين طاقتَي الحركة والوضع، لا يمكن تحديد مسار حركة الجسم من تحوُّل الطاقة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.