شارح الدرس: معادلة الخط المستقيم: صورة الجزأين المقطوعين الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل خطًّا مستقيمًا مُعطًى في صورة المقطعين باستخدام الجزأين المقطوعين من المحورين ، .

يجب أن نكون على دراية بالفعل ببعض الصور المختلفة التي يمكن أن تُعطى بها معادلة خط مستقيم. نسترجع فيما يلي بعض الصور التي ستفيدنا هنا.

تفيدنا الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم في سياقات متعددة. فقد توضِّح خصائص مختلفة للخط المستقيم وتمثيله البياني، أو تمكِّننا من إيجاد معادلة خط مستقيم بمعلومية مجموعة محددة من المعطيات. سنتناول الآن صورة أخرى يمكن أن تُعطى بها معادلة الخط المستقيم، وهي صورة المقطعين.

تُعَد صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم مفيدة؛ لأنها تمكِّننا من تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين ، مباشرةً دون الحاجة إلى إعادة الترتيب. يمكننا بعد ذلك استخدام إحداثيات هاتين النقطتين لأغراض أخرى، مثل تمثيل الخط المستقيم بيانيًّا أو حساب ميله. سنتناول الآن استنتاج صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم.

لعلنا نتذكر بصفة عامة أن ميل الخط المستقيم المار بنقطتين إحداثياتهما ، هو:

نفترض أن لدينا خطًّا مستقيمًا يقطع المحور عند ، ويقطع المحور عند ، كما هو موضَّح في الشكل التالي.

بالتعويض بإحداثيات هاتين النقطتين في صيغة حساب الميل، نجد أن ميل هذا المستقيم هو:

بعد ذلك، نتذكر صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، وهي . بالتعويض بـ ، وبـ عن ، نحصل على:

بضرب العامل المشترك داخل القوسين ثم قسمة الطرفين على ، نحصل على:

وأخيرًا، بإضافة إلى طرفي المعادلة، نحصل على:

هذه هي صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور عند ، ويقطع المحور عند . نلاحظ أن ، هما مقاما الكسرين؛ إذن بمعلومية معادلة الخط المستقيم بهذه الصورة، يمكننا تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين ، مباشرةً. والعكس صحيح؛ حيث يمكننا أيضًا بمعلومية الجزأين المقطوعين من المحورين ، كتابة معادلة الخط المستقيم في هذه الصورة.

تجدر الإشارة هنا إلى ثلاثة استثناءات يجب أن نكون على دراية بهما؛ أما الاستثناءان الأولان، فهما معادلات الخطوط المستقيمة الأفقية، ومعادلات الخطوط المستقيمة الرأسية؛ حيث لا يمكن التعبير عنها في صورة المقطعين. كل نوع من نوعَي الخطوط هذين يوازي أحد محوري الإحداثيات؛ ومن ثَمَّ لا يقطعه. نتذكَّر أن معادلة الخط المستقيم الأفقي هي ، ومعادلة الخط المستقيم الرأسي هي ؛ للثابت الاختياري . ولا تمكن إعادة ترتيب هذين النوعين من المعادلات في صورة المقطعين. وأما الاستثناء الثالث، فهو معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل ؛ حيث الحدود الثابتة قيمتها صفر؛ ومن ثَمَّ لا تمكن كتابتها على صورة المقطعين.

سنتناول الآن مجموعة من الأمثلة نستخدم فيها هذه الصورة من معادلة الخط المستقيم. في المثال الأول، سنتدرب على كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين عندما تكون إحداثيات النقطتين اللتين يقطع عندهما كل محور مُعطاة.

لقد عرفنا كيف نكتب معادلة خط مستقيم في صورة المقطعين بمعلومية الجزأين المقطوعين من المحورين ، . سنتناول الآن عكس ذلك، حيث سنتعرف على كيفية تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين ، لخط مستقيم بمعلومية معادلته في صورة المقطعين. يجب أن ننتبه جيدًا في المثال الذي سنتناوله لأن أحد الجزأين المقطوعين قيمته سالبة.

ليس من الضروري أن نحوِّل معادلة الخط المستقيم إلى صورة المقطعين لإيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين ، . وبما أن إحداثيات الجزء المقطوع من المحور هي ، فهناك طريقة أخرى ممكنة وهي التعويض بالقيمة ٠ عن في أي صورة لمعادلة الخط المستقيم، ثم الحل لإيجاد قيمة . وبالطريقة نفسها، فإن التعويض بالقيمة ٠ عن يمكِّننا من الحل لإيجاد قيمة وتحديد الجزء المقطوع من المحور .

كما لاحظنا في المثال السابق، يجب الانتباه جيدًا عند إيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين ، من صورة المقطعين، إذا كانت قيمة أي منهما سالبة. وبالمثل، يجب أن ننتبه جيدًا إذا كان لأي من المقطعين قيمة كسرية. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا خط مستقيم معادلته .

قد نعتقد بشكل خاطئ أن هذا الخط المستقيم في صورة المقطعين حيث ، ونستنتج حينئذ أن الخط المستقيم يقطع المحور عند ويقطع المحور عند . ولكن، إذا قارنا هذه الصورة بصورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم، فسنجد أن الحدين اللذين يحتويان على ، يجب قسمتهما على الثابتين اللذين يمثلان الجزأين المقطوعين من المحورين ، وليس ضربهما في الثابتين. وعلى الرغم من أن هذه صورة غير مفضلة لا نختار استخدامها عادةً، فإنه يمكن التعبير عن على الصورة كما هو موضَّح فيما يلي:

بالطريقة نفسها، يمكن التعبير عن على الصورة: . ومن ثَمَّ، يمكن كتابة المعادلة على الصورة: ونلاحظ الآن أن الخط المستقيم يقطع المحور عند ويقطع المحور عند .

في بعض الأحيان، تكون المعادلات مُعطاة بصيغ أخرى، مثل صيغة الميل ونقطة أو صيغة الميل والمقطع. يعد التحويل بين الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم مهارة أساسية؛ لأن هذه الصور تفيدنا في التعرف على الخصائص المختلفة للخط المستقيم.

في المثال التالي، سنعرف كيف يمكننا إعادة ترتيب معادلة خط مستقيم مُعطاة بصيغة الميل والمقطع لتحويلها إلى صورة المقطعين.

من المهم التأكد من أننا لا نخلط بين صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم والصورة العامة . في المثال السابق، أعدنا ترتيب معادلة الخط المستقيم لنحصل على في إحدى خطوات الحل. وهذه ليست صورة المقطعين؛ لأن الثابت في الطرف الأيسر من المعادلة لا يساوي ١. ومن المهم أيضًا أن نتذكر أنه إذا كان الثابت في الطرف الأيسر من المعادلة يساوي ثابتًا عامًّا، أي ، فلا بد أن نقسم كل حد في المعادلة على قبل أن نستخدمها لإيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين ، بواسطة الخط المستقيم.

وبالرغم من أن ذلك غير مطلوب في المثال السابق، فإنه يمكننا استخدام صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم لتحديد الجزأين المقطوعين من المحورين ، . يوضح الحد أن الخط المستقيم يقطع المحور عند ، ويوضح الحد أن الخط المستقيم يقطع المحور عند . وبما أن معادلة الخط المستقيم كانت مُعطاة في الأصل بصيغة الميل والمقطع، فكان بإمكاننا أيضًا تحديد الجزء المقطوع من المحور من صيغة المعادلة هذه، لكن الجزء المقطوع من المحور لم يكن واضحًا.

في المثال التالي، سنوضِّح كيفية إيجاد معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين من تمثيله البياني.

مثال ٤: كتابة صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم بمعلومية تمثيله البياني

اكتب المعادلة المبيَّنة بالتمثيل البياني الموضَّح. اكتب الإجابة على الصورة .

الحل

علينا أن ندرك أن الصورة المطلوب الإجابة بها هي صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم: حيث هي إحداثيات الجزء المقطوع من المحور للخط المستقيم، هي إحداثيات الجزء المقطوع من المحور .

في هذا التمثيل البياني، نجد أن الخط المستقيم يقطع المحور عند النقطة ، ويقطع المحور عند النقطة . إذن، قيمتا ، هما ٣ و٩، على الترتيب. بالتعويض بـ ، ، نحصل على:

عرفنا في الاستنتاج في بداية الشارح لصورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم أن ميل المستقيم المُعطى بهذه الصورة يساوي . يمكننا توضيح ذلك بطريقة أخرى من خلال إعادة ترتيب معادلة الخط المستقيم المُعطاة على صورة المقطعين إلى صيغة الميل والمقطع . نبدأ بالمعادلة ، ونعزل بطرح أولًا من الطرفين، فنحصل على:

بضرب الطرفين في ، نحصل على:

أصبحت هذه المعادلة الآن بصيغة الميل والمقطع، ونتذكر أن معامل يمثل ميل الخط المستقيم. ومن ثَمَّ، نجد أيضًا أن ميل الخط المستقيم هو . هذه النتيجة مفيدة؛ لأنها تمكِّننا من إيجاد ميل خط مستقيم مُعطًى في صورة المقطعين دون إعادة ترتيب معادلته.

لنتناول مثالًا أخيرًا نوجِد فيه الجزأين المقطوعين وميل الخط المستقيم المُعطى في صورة المقطعين.

دعونا الآن نختم باسترجاع بعض النقاط الرئيسية في هذا الشارح.