شارح الدرس: معادلة الخط المستقيم: صورة الجزأين المقطوعين الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل خطًّا مستقيمًا مُعطًى في صورة المقطعين باستخدام الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑.

يجب أن نكون على دراية بالفعل ببعض الصور المختلفة التي يمكن أن تُعطى بها معادلة خط مستقيم. نسترجع فيما يلي بعض الصور التي ستفيدنا هنا.

الاسمالمعادلةالمعطيات الأساسية
صيغة الميل والمقطع𞸑=𞸌𞸎+𞸁𞸌 = ميل الخط المستقيم،
𞸁 = الجزء المقطوع من المحور 𞸑
صيغة الميل ونقطة𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒١١𞸌 = ميل الخط المستقيم،
󰁓𞸎،𞸑󰁒١١ = إحداثيات أي نقطة على الخط المستقيم
الصورة القياسية󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸢󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت
الصورة العامة󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸢=٠󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت

تفيدنا الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم في سياقات متعددة. فقد توضِّح خصائص مختلفة للخط المستقيم وتمثيله البياني، أو تمكِّننا من إيجاد معادلة خط مستقيم بمعلومية مجموعة محددة من المعطيات. سنتناول الآن صورة أخرى يمكن أن تُعطى بها معادلة الخط المستقيم، وهي صورة المقطعين.

تعريف: صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم

صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور 𞸎 عند (󰏡،٠)، ويقطع المحور 𞸑 عند (٠،𞸁) هي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١.

تُعَد صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم مفيدة؛ لأنها تمكِّننا من تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑 مباشرةً دون الحاجة إلى إعادة الترتيب. يمكننا بعد ذلك استخدام إحداثيات هاتين النقطتين لأغراض أخرى، مثل تمثيل الخط المستقيم بيانيًّا أو حساب ميله. سنتناول الآن استنتاج صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم.

لعلنا نتذكر بصفة عامة أن ميل الخط المستقيم المار بنقطتين إحداثياتهما 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، 󰁓𞸎،𞸑󰁒٢٢ هو: 𞸌=𞸑𞸑𞸎𞸎.٢١٢١

نفترض أن لدينا خطًّا مستقيمًا يقطع المحور 𞸎 عند (󰏡،٠)، ويقطع المحور 𞸑 عند (٠،𞸁)، كما هو موضَّح في الشكل التالي.

بالتعويض بإحداثيات هاتين النقطتين في صيغة حساب الميل، نجد أن ميل هذا المستقيم هو: 𞸌=٠𞸁󰏡٠=𞸁󰏡.

بعد ذلك، نتذكر صيغة الميل ونقطة لمعادلة الخط المستقيم، وهي 𞸑𞸑=𞸌󰁓𞸎𞸎󰁒١١. بالتعويض بـ 𞸌=𞸁󰏡، وبـ (󰏡،٠) عن 󰁓𞸎،𞸑󰁒١١، نحصل على: 𞸑٠=𞸁󰏡(𞸎󰏡).

بضرب العامل المشترك داخل القوسين ثم قسمة الطرفين على 𞸁، نحصل على: 𞸑=𞸁𞸎󰏡+𞸁𞸑𞸁=𞸎󰏡+١.

وأخيرًا، بإضافة 𞸎󰏡 إلى طرفي المعادلة، نحصل على: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١.

هذه هي صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور 𞸎 عند (󰏡،٠)، ويقطع المحور 𞸑 عند (٠،𞸁). نلاحظ أن 󰏡، 𞸁 هما مقاما الكسرين؛ إذن بمعلومية معادلة الخط المستقيم بهذه الصورة، يمكننا تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑 مباشرةً. والعكس صحيح؛ حيث يمكننا أيضًا بمعلومية الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑 كتابة معادلة الخط المستقيم في هذه الصورة.

تجدر الإشارة هنا إلى استثناءين يجب أن نكون على دراية بهما؛ وهما معادلات الخطوط المستقيمة الأفقية، ومعادلات الخطوط المستقيمة الرأسية، حيث لا يمكن التعبير عنها في صورة المقطعين. كل نوع من نوعَي الخطوط هذه يوازي أحد محوري الإحداثيات؛ ومن ثَمَّ لا يقطعه. نتذكر أن معادلة الخط المستقيم الأفقي هي 𞸑=𞸢، ومعادلة الخط الرأسي هي 𞸎=𞸢؛ للثابت الاختياري 𞸢. ولا يمكن إعادة ترتيب هذين النوعين من المعادلات في صورة المقطعين.

سنتناول الآن مجموعة من الأمثلة نستخدم فيها هذه الصورة من معادلة الخط المستقيم. في المثال الأول، سنتدرب على كتابة معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين عندما تكون إحداثيات النقطتين اللتين يقطع عندهما كل محور مُعطاة.

مثال ١: كتابة معادلة خط مستقيم في صورة المقطعين بمعلومية الجزأين المقطوعين من المحورين س، ص

إذا قَطَع خط مستقيم المحور 𞸎 عند (٦،٠)، وقَطَع المحور 𞸑 عند (٠،٥)، فاكتب معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين.

الحل

في البداية، نتذكر أن صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور 𞸎 عند (󰏡،٠)، ويقطع المحور 𞸑 عند (٠،𞸁) هي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١.

بما أن هذا المستقيم يقطع المحور 𞸎 عند (٦،٠)، فإن قيمة 󰏡 هي ٦. وبما أن المستقيم يقطع المحور 𞸑 عند (٠،٥)، فإن قيمة 𞸁 هي ٥. بالتعويض بـ 󰏡=٦، 𞸁=٥ في المعادلة الموضَّحة أعلاه، نحصل على: 𞸎٦+𞸑٥=١.

لقد عرفنا كيف نكتب معادلة خط مستقيم في صورة المقطعين بمعلومية الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑. سنتناول الآن عكس ذلك، حيث سنتعرف على كيفية تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑 لخط مستقيم بمعلومية معادلته في صورة المقطعين. يجب أن ننتبه جيدًا في المثال الذي سنتناوله لأن أحد الجزأين المقطوعين قيمته سالبة.

مثال ٢: إيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين س، ص بمعلومية معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين

اذكر إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 والجزء المقطوع من المحور 𞸑 للخط المستقيم 𞸎٣𞸑٢=١.

الحل

نلاحظ أن معادلة هذا الخط المستقيم تشبه إلى حد كبير صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١، حيث إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للخط المستقيم هي (󰏡،٠)، وإحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هي (٠،𞸁). لكن في المعادلة المُعطاة، توجد علامة طرح، بدلًا من علامة جمع، بين الحدين في الطرف الأيمن.

قد نجد أنه من المفيد أن نعيد كتابة المعادلة لكي تتناسب مع صورة المقطعين. الحد 𞸑٢ يكافئ 𞸑٢، إذن يمكن إعادة كتابة المعادلة على الصورة: 𞸎٣+𞸑٢=١.

على الرغم من أننا لا نفضل عادةً أن نترك القيمة في مقام الكسر سالبة، فإن هذه الصورة تعبر عن صورة المقطعين. يمكننا إذن إيجاد قيمتَي 󰏡، 𞸁 بالنظر إلى مقامَي الكسرين. قيمة 󰏡 هي ٣، وقيمة 𞸁 هي٢، إذن إحداثيات الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑 للخط المستقيم هي (٣،٠)، (٠،٢)، على الترتيب.

ليس من الضروري أن نحوِّل معادلة الخط المستقيم إلى صورة المقطعين لإيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑. وبما أن إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 هي (󰏡،٠)، فهناك طريقة أخرى ممكنة وهي التعويض بالقيمة ٠ عن 𞸑 في أي صورة لمعادلة الخط المستقيم، ثم الحل لإيجاد قيمة 󰏡. وبالطريقة نفسها، فإن التعويض بالقيمة ٠ عن 𞸎 يمكِّننا من الحل لإيجاد قيمة 𞸁 وتحديد الجزء المقطوع من المحور 𞸑.

كما لاحظنا في المثال السابق، يجب الانتباه جيدًا عند إيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑 من صورة المقطعين، إذا كانت قيمة أي منهما سالبة. وبالمثل، يجب أن ننتبه جيدًا إذا كان لأي من المقطعين قيمة كسرية. على سبيل المثال، نفترض أن لدينا خط مستقيم معادلته ٥𞸎+٧𞸑=١.

قد نعتقد بشكل خاطئ أن هذا الخط المستقيم في صورة المقطعين حيث 󰏡=٥، 𞸁=٧ ونستنتج حينئذ أن الخط المستقيم يقطع المحور 𞸎 عند (٥،٠) ويقطع المحور 𞸑 عند (٠،٧). ولكن، إذا قارنا هذه الصورة بصورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم، فسنجد أن الحدين اللذين يحتويان على 𞸎، 𞸑 يجب قسمتهما على الثابتين اللذين يمثلان الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎 ،𞸑 وليس ضربهما في الثابتين. وعلى الرغم من أن هذه صورة غير مفضلة لا نختار استخدامها عادةً، فإنه يمكن التعبير عن ٥𞸎 على الصورة 𞸎١٥ كما هو موضَّح فيما يلي: 𞸎=𞸎÷١٥=𞸎×٥١=٥𞸎.١٥

بالطريقة نفسها، يمكن التعبير عن ٧𞸑 على الصورة: 𞸑١٧. ومن ثَمَّ، يمكن كتابة المعادلة ٥𞸎+٧𞸑=١ على الصورة: 𞸎+𞸑=١،١٥١٧ ونلاحظ الآن أن الخط المستقيم يقطع المحور 𞸎 عند 󰂔١٥،٠󰂓 ويقطع المحور 𞸑 عند 󰂔٠،١٧󰂓.

في بعض الأحيان، تكون المعادلات مُعطاة بصيغ أخرى، مثل صيغة الميل ونقطة أو صيغة الميل والمقطع. يعد التحويل بين الصور المختلفة لمعادلة الخط المستقيم مهارة أساسية؛ لأن هذه الصور تفيدنا في التعرف على الخصائص المختلفة للخط المستقيم.

في المثال التالي، سنعرف كيف يمكننا إعادة ترتيب معادلة خط مستقيم مُعطاة بصيغة الميل والمقطع لتحويلها إلى صورة المقطعين.

مثال ٣: تحويل معادلة خط مستقيم إلى صورة المقطعين

اكتب معادلة الخط المستقيم 𞸑=٢𞸎+٦ في صورة المقطعين.

الحل

معادلة هذا الخط المستقيم مُعطاة بصيغة الميل والمقطع؛ وهي 𞸑=𞸌𞸎+𞸁، حيث يمثل 𞸌 ميل المستقيم، ويمثل 𞸁 الجزء المقطوع من المحور 𞸑. نتذكر أن صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم هي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١، حيث 󰏡 هو الجزء المقطوع من المحور 𞸎، 𞸁 هو الجزء المقطوع من المحور 𞸑. إذن، مطلوب منا إعادة ترتيب المعادلة المُعطاة لتحويلها إلى الصورة المطلوبة.

نبدأ بإضافة ٢𞸎 إلى طرفي المعادلة، فنحصل على: ٢𞸎+𞸑=٦.

لقد جمعنا الحدين اللذين يحتويان على 𞸎، 𞸑 في أحد طرفي المعادلة، ويوجد الحد الثابت في الطرف الآخر. ولكي تصبح المعادلة في صورة المقطعين، يجب أن يكون الحد الثابت هو ١. إن قسمة كلا الطرفين على ٦ تحقق ذلك وتعطينا: ٢𞸎٦+𞸑٦=١.

وأخيرًا، نبسِّط الكسر الأول بحذف العامل المشترك ٢ من البسط والمقام: 𞸎٣+𞸑٦=١.

من المهم التأكد من أننا لا نخلط بين صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم والصورة العامة 󰏡𞸎+𞸁𞸑=𞸢. في المثال السابق، أعدنا ترتيب معادلة الخط المستقيم لنحصل على ٢𞸎+𞸑=٦ في إحدى خطوات الحل. وهذه ليست صورة المقطعين؛ لأن الثابت في الطرف الأيسر من المعادلة لا يساوي ١. ومن المهم أيضًا أن نتذكر أنه إذا كان الثابت في الطرف الأيسر من المعادلة يساوي ثابتًا عامًّا، أي 𞸢، فلا بد أن نقسم كل حد في المعادلة على 𞸢 قبل أن نستخدمها لإيجاد الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑 بواسطة الخط المستقيم.

وبالرغم من أن ذلك غير مطلوب في المثال السابق، فإنه يمكننا استخدام صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم لتحديد الجزأين المقطوعين من المحورين 𞸎، 𞸑. يوضح الحد 𞸎٣ أن الخط المستقيم يقطع المحور 𞸎 عند (٣،٠)، ويوضح الحد 𞸑٦ أن الخط المستقيم يقطع المحور 𞸑 عند (٠،٦). وبما أن معادلة الخط المستقيم كانت مُعطاة في الأصل بصيغة الميل والمقطع، فكان بإمكاننا أيضًا تحديد الجزء المقطوع من المحور 𞸑 من صيغة المعادلة هذه، لكن الجزء المقطوع من المحور 𞸎 لم يكن واضحًا.

في المثال التالي، سنوضِّح كيفية إيجاد معادلة الخط المستقيم في صورة المقطعين من تمثيله البياني.

مثال ٤: كتابة صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم بمعلومية تمثيله البياني

اكتب المعادلة المبيَّنة بالتمثيل البياني الموضَّح. اكتب الإجابة على الصورة 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١.

الحل

علينا أن ندرك أن الصورة المطلوب الإجابة بها هي صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١، حيث (󰏡،٠) هي إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للخط المستقيم، (٠،𞸁) هي إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸑.

في هذا التمثيل البياني، نجد أن الخط المستقيم يقطع المحور 𞸎 عند النقطة (٣،٠)، ويقطع المحور 𞸑 عند النقطة (٠،٩). إذن، قيمتا 󰏡، 𞸁 هما ٣ و٩، على الترتيب. بالتعويض بـ 󰏡=٣، 𞸁=٩، نحصل على: 𞸎٣+𞸑٩=١.

عرفنا في الاستنتاج في بداية الشارح لصورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم أن ميل المستقيم المُعطى بهذه الصورة يساوي 𞸁󰏡. يمكننا توضيح ذلك بطريقة أخرى من خلال إعادة ترتيب معادلة الخط المستقيم المُعطاة على صورة المقطعين إلى صيغة الميل والمقطع 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. نبدأ بالمعادلة 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١، ونعزل 𞸑 بطرح 𞸎󰏡 أولًا من الطرفين، فنحصل على: 𞸑𞸁=𞸎󰏡+١.

بضرب الطرفين في 𞸁، نحصل على: 𞸑=𞸁󰏡𞸎+𞸁.

أصبحت هذه المعادلة الآن بصيغة الميل والمقطع، ونتذكر أن معامل 𞸎 يمثل ميل الخط المستقيم. ومن ثَمَّ، نجد أيضًا أن ميل الخط المستقيم 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١ هو 𞸁󰏡. هذه النتيجة مفيدة؛ لأنها تمكِّننا من إيجاد ميل خط مستقيم مُعطًى في صورة المقطعين دون إعادة ترتيب معادلته.

النظرية: ميل الخط المستقيم المُعطى في صورة المقطعين

ميل الخط المستقيم المُعطى في صورة المقطعين 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١، حيث (󰏡،٠) هي إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للخط المستقيم، (٠،𞸁) هي إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸑، هو 𞸁󰏡.

لنتناول مثالًا أخيرًا نوجِد فيه الجزأين المقطوعين وميل الخط المستقيم المُعطى في صورة المقطعين.

مثال ٥: تحديد الجزأين المقطوعين من المحورين س، ص وميل الخط المستقيم المُعطى في صورة المقطعين

التمثيل البياني للمعادلة 𞸎٤+𞸑٢١=١ هو خط مستقيم.

  • ما إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للخط المستقيم؟
  • ما إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸑 للخط المستقيم؟
  • ما ميل الخط المستقيم؟

الحل

نعلم أن معادلة هذا الخط المستقيم مُعطاة في صورة المقطعين: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١، حيث (󰏡،٠) هي إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 للخط المستقيم، (٠،𞸁) هي إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸑. عند مقارنة معادلة الخط المستقيم بالمعادلة العامة الموضَّحة سابقًا، نجد أن 󰏡=٤، 𞸁=٢١. إذن، إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 هي (٤،٠)، وإحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هي (٠،٢١).

نتذكر أن ميل الخط المستقيم المُعطى في صورة المقطعين هو 𞸁󰏡. باستخدام القيم التي أوجدناها بالفعل لكل من 󰏡، 𞸁، نجد أن الميل 𞸌 يساوي: 𞸌=𞸁󰏡=٢١٤=٣.

ومن ثَمَّ، فإن إحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸎 هي (٤،٠)، وإحداثيات الجزء المقطوع من المحور 𞸑 هي (٠،٢١)، والميل هو ٣.

دعونا الآن نختم باسترجاع بعض النقاط الرئيسية في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • صورة المقطعين لمعادلة الخط المستقيم الذي يقطع المحور 𞸎 عند (󰏡،٠)، ويقطع المحور 𞸑 عند (٠،𞸁) هي: 𞸎󰏡+𞸑𞸁=١.
  • ميل الخط المستقيم المُعطى في صورة المقطعين هو 𞸁󰏡.
  • يمكن تحويل معادلة الخط المستقيم المُعطى في صورة أخرى إلى صورة المقطعين من خلال إعادة الترتيب، والعكس صحيح.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.