شارح الدرس: قانون نيوتن الثاني: الكُتَل المتغيِّرة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم الاشتقاق مع قانون نيوتن الثاني للحركة لجسيم بكتلة متغيِّرة.

لنتذكَّر أولًا قانون نيوتن الثاني للحركة من خلال تعريف قانون نيوتن الثاني للحركة لجسم له كتلة ثابتة.

تعريف: قانون نيوتن الثاني للحركة للكتلة الثابتة

عندما تؤثِّر قوة محصلة على جسم ما، يتحرَّك الجسم بعجلة في اتجاه هذه القوة. ويعتمد مقدار العجلة على مقدار القوة وكتلة الجسم وفقًا للصيغة الآتية: 𞹟=𞸊𞸢، حيث 𞸊 هي الكتلة الثابتة للجسم، 𞸢 هي عجلة الجسم.

يُمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة أيضًا بدلالة معدَّل تغيُّر كمية حركة الجسم. تُعرَّف كمية الحركة، 𞸌، لجسم ما على النحو الآتي.

تعريف: كمية الحركة لجسم

تُعطَى كمية الحركة لجسم ما من خلال العلاقة: 𞸌=𞸊𞸏، حيث 𞸊 هي كتلة الجسم، 𞸏 هي سرعة الجسم.

يُعطينا التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة بدلالة معدَّل تغيُّر كمية الحركة العلاقة الآتية: 𞹟=𞸃𞸌𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏).

وُضِعت كميتا الكتلة والسرعة بين قوسين؛ حيث إن كلَّ كمية منهما يُمكن أن تتغيَّر بتغيُّر الزمن أو تكون ثابتة؛ لذا قد يلزم النظر في معدَّل تغيُّر كلِّ كمية.

وإذا كان الجسم المتحرِّك بعجلة كتلته ثابتة، إذن يُعطَى معدَّل تغيُّر كمية حركة الجسم من خلال العلاقة: 𞹟=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏)=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍=𞸊𞸢، وهي صورة قانون نيوتن الثاني للحركة عند ثبات الكتلة. بشكل مكافئ، بالنسبة إلى جسم يتحرَّك بانتظام عندما تؤثِّر عليه قوة، يُعطَى معدَّل تغيُّر كمية حركة الجسم من خلال العلاقة الآتية: 𞹟=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏)=𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

افترض أن سرعة الجسم وكتلته يتغيَّران بالنسبة إلى الزمن. إذا زادت سرعة الجسم وكتلته، فلا بُدَّ أن القوة المؤثِّرة على الجسم ستتأثَّر بالزيادة في السرعة والكتلة.

عندما يتغيَّر متغيِّران بالنسبة إلى متغيِّر ثالث، يُمكن استخدام قاعدة الضرب لاشتقاق حاصل ضرب المتغيِّرين.

كيفية استخدام قاعدة الضرب لاشتقاق حاصل الضرب

انظر المتغيِّرين 󰏡، 𞸁 اللَّذين يتغيَّر كلٌّ منهما بالنسبة إلى الزمن. إن المعدَّل الذي يتغيَّر به 󰏡𞸁 بالنسبة إلى الزمن يُعطى من خلال العلاقة الآتية: 𞸃𞸃𞸍(󰏡𞸁)=󰏡𞸃𞸁𞸃𞸍+𞸁𞸃󰏡𞸃𞸍.

إذا طبَّقنا قاعدة الضرب على معدَّل تغيُّر كمية حركة الجسم، نجد أن: 𞹟=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏)=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

يُمكن تعريف القوة المؤثِّرة على الجسم على النحو الآتي.

تعريف: قانون نيوتن الثاني للحركة بدلالة تغيُّر كمية الحركة

عندما تؤثِّر قوة محصلة على جسم، تتغيَّر كمية حركة الجسم. ويعتمد معدَّل تغيُّر كتلة الجسم وسرعته على مقدار القوة وعلى كتلة الجسم وسرعته وفقًا للصيغة: 𞹟=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍، حيث 𞸊 هي كتلة الجسم، 𞸏 هي سرعة الجسم.

فلنتناول مثالًا تتغيَّر فيه كتلة الجسم عندما تؤثِّر عليه قوة ما.

مثال ١: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم ذي كتلة متغيِّرة يتحرَّك بسرعة ثابتة

املأ الفراغ: القوة المؤثِّرة على كتلة تتغيَّر طبقًا للدالة: 𞸊(𞸍)=(٥+٢𞸍)، وتتحرَّك بسرعة ثابتة ٤ م/ث، تساوي .

الحل

تُنتِج القوة المؤثِّرة على الجسم تغيُّرًا في كمية حركة الجسم: 𞹟=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏)=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

ذُكِر أن الجسم له سرعة ثابتة؛ لذا: 𞸃𞸏𞸃𞸍=٠.

ومن ثَمَّ: 𞹟=𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

وذُكِر أن قيمة السرعة 𞸏 هي ٤ م/ث، التي يُمكن التعويض بها لنحصل على: 𞹟=٤𞸃𞸊𞸃𞸍.

لكي تؤثِّر قوة على جسم لتحرِّكه بسرعة ثابتة؛ ومن ثَمَّ تنعدم العجلة، يجب أن تتغيَّر كتلة الجسم خلال الزمن الذي تؤثِّر فيه القوة عليه.

يعبِّر السؤال عن كتلة الجسم بدالة في الزمن. تُعطَى الكتلة بوحدة كيلوجرام كدالة في الزمن، 𞸊(𞸍)، من خلال العلاقة: 𞸊(𞸍)=(٥+٢𞸍)، وهي القيمة التي تزيد بالفعل بزيادة 𞸍.

اشتقاق 𞸊(𞸍) بالنسبة إلى الزمن يُعطي: 𞸃𞸊𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍(٥+٢𞸍)=٢.

مقدار ازدياد كتلة الجسم كيلوجرامان لكل ثانية.

يُمكن التعويض عن معدَّل تغيُّر الكتلة في الصيغة كما يأتي: 𞹟=٤𞸃𞸊𞸃𞸍𞹟=٤(٢)=٨.

ومن ثَمَّ، الجسم الذي يتحرَّك بسرعة ثابتة مقدارها ٤ م/ث وتبدأ كتلته في الزيادة ومقدار ازديادها كيلوجرامان لكل ثانية يجب أن تؤثِّر عليه قوة مقدارها ٨ نيوتن للحفاظ على هذه السرعة الثابتة.

لا تؤثِّر كتلة الجسم على القوة اللازمة للحفاظ على حركته المنتظمة، وإنما تؤثِّر فقط على معدَّل تغيُّر كتلته.

لننظر إلى مثال على القوة المؤثِّرة على الجسم؛ حيث يتغيَّر كلٌّ من كتلة الجسم وسرعته مع الزمن.

مثال ٢: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم ذي كتلة متغيِّرة عند أيِّ لحظة

تحرَّك جسم في خط مستقيم. عند اللحظة 𞸍 ثانية، كانت إزاحة الجسم من نقطة ثابتة تُعطى بالعلاقة: 𞸐=󰁓٦𞸍+٩𞸍󰁒٢م. كانت كتلة الجسم تتغيَّر مع الزمن؛ حيث 𞸊=(٨𞸍+٩). اكتب تعبيرًا يدلُّ على القوة المؤثِّرة على الجسم عند اللحظة 𞸍.

الحل

يتغيَّر كلٌّ من سرعة الجسم وكتلته مع الزمن؛ لذا تُعطى القوة المؤثِّرة على الجسم بالعلاقة: 𞹟=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

يُمكن إيجاد معدَّل تغيُّر كتلة الجسم من خلال اشتقاق دالة كتلة الجسم بالنسبة إلى الزمن كما يأتي: 𞸃𞸊𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍(٨𞸍+٩)=٨.

مقدار ازدياد كتلة الجسم ٨ كيلوجرامات لكل ثانية.

لم يذكر السؤال دالة معدَّل تغيُّر سرعة الجسم بالنسبة إلى الزمن، وإنما ذكر الإزاحة كدالة في الزمن. معدَّل تغيُّر الإزاحة يساوي السرعة اللحظية، 𞸏، للجسم، ومن ثَمَّ: 𞸏=𞸃𞸐𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍󰁓٦𞸍+٩𞸍󰁒=(٢١𞸍+٩).٢

وحيث إن 𞸏 معلومة، فيُمكننا التعبير عن معدَّل تغيُّر 𞸏 كما يأتي: 𞸃𞸏𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍(٢١𞸍+٩)=٢١.

ويُمكننا استخدام الصيغة الآتية: 𞹟=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏)=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍𞹟=󰁓(٨𞸍+٩)(٢١)󰁒+󰁓(٢١𞸍+٩)(٨)󰁒𞹟=(٦٩𞸍+٨٠١)+(٦٩𞸍+٢٧)𞹟=(٢٩١𞸍+٠٨١).

يجب التعبير عن القوة المتغيِّرة مع الزمن كدالة في 𞸍، ويكون لها قيمة لحظية في جميع اللحظات التي تؤثِّر فيها القوة. لنلقِ نظرةً على مثال تكون فيه القيمة اللحظية للقوة المتغيِّرة مع الزمن معلومة.

مثال ٣: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم ذي كتلة متغيِّرة عند زمن معيَّن

يتحرَّك جسم في خط مستقيم. عند الزمن 𞸍 ثانية، تُعطى إزاحة الجسم من نقطة ثابتة بالعلاقة: 𞸐=󰁓٢𞸍+٥𞸍+٤󰁒٢م. تتغيَّر كتلة الجسم مع الزمن؛ حيث 𞸊=(٦𞸍+٥). أوجد القوة المؤثِّرة على الجسم عند 𞸍=٣ث.

الحل

لإيجاد القوة المؤثِّرة عند لحظة ما، يجب تحديد الدالة التي تمثِّل التغيُّر في القوة مع الزمن.

يتغيَّر كلٌّ من سرعة الجسم وكتلته مع الزمن، ومن ثَمَّ، تُعطى القوة المؤثِّرة على الجسم بالعلاقة: 𞹟=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

يُمكن إيجاد معدَّل تغيُّر كتلة الجسم باشتقاق دالة كتلة الجسم بالنسبة إلى الزمن كما يأتي: 𞸃𞸊𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍(٦𞸍+٥)=٦.

تُعطى الدالة التي تمثِّل سرعة الجسم بالعلاقة: 𞸏=𞸃𞸐𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍󰁓٢𞸍+٥𞸍+٤󰁒=(٤𞸍+٥).٢

يُعطينا اشتقاق الدالة التي تمثِّل 𞸏 بالنسبة إلى الزمن: 𞸃𞸏𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍(٤𞸍+٥)=٤.

وبما أنه يجب اشتقاق حاصل ضرب 𞸊، 𞸏، 𞸊𞸏 بالنسبة إلى الزمن، يُمكننا استخدام قاعدة الضرب لاشتقاق 𞸊𞸏 بالنسبة إلى 𞸍 كما يأتي: 𞹟=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍𞹟=󰁓(٦𞸍+٥)(٤)󰁒+󰁓(٤𞸍+٥)(٦)󰁒𞹟=(٤٢𞸍+٠٢)+(٤٢𞸍+٠٣)𞹟=(٨٤𞸍+٠٥).

بالتعويض بـ 𞸍=٣ نحصل على: 𞹟=٨٤(٣)+٠٥=٤٩١.

من المنطقي أن نتساءل عن العملية الفيزيائية التي يُمكن أن تُنتِج زيادة في كتلة الجسم. لنفترض أن الجسم يتراكم عليه جزء من المادة التي يُلامِسها والتي تُعَدُّ جزءًا من الوسَط الذي يتحرَّك فيه الجسم. تُضاف كتلة المادة المتراكمة إلى كتلة الجسم.

سيتضمَّن تمثيل هذه الحالة بشكل واقعي تحديد المعدَّل الذي تغيَّرت به مساحة تَلامُس الجسم والوسَط، وكذلك المعدَّل الذي تغيَّرت به سرعة الجسم. سيتطلَّب النظر إلى هذين المتغيِّرين فقط افتراض عدم تغيُّر كثافة الوسَط وعملية تراكم المادة من الوسَط بسبب سرعة الجسم أو مساحة تَلامُس الجسم والوسَط.

لنتناول مثالًا تُمثَّل فيه العمليات المختلفة التي تؤثِّر على تراكم المادة على جسم بطريقة مبسَّطة.

مثال ٤: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم ذي كتلة متغيِّرة عند زمن معيَّن باستخدام قانون نيوتن الثاني

تتحرَّك كرة كتلتها ٥ جم في خط مستقيم عبر وسَط مُشبَّع بالأتربة. تتراكم الأتربة على سطح الكرة بمعدَّل ١ جم/ث. أوجد مقدار القوة المؤثِّرة على الكرة عند اللحظة 𞸍=٥انٍ، علمًا بأن إزاحة الكرة تُحدَّد بالعلاقة: 󰄮󰄮𞸐(𞸍)=󰂔٢٣𞸍+𞸍+٧𞸍+١󰂓󰄮𞸉،٣٢ حيث 󰄮𞸉 متجه وحدة في اتجاه الحركة، والإزاحة تُقاس بوحدة سنتيمتر.

الحل

تُعطى القوة المؤثِّرة على الكرة بالعلاقة: 𞹟=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

كتلة الكرة ٥ جم، عند 𞸍=٠، وتزيد بمعدَّل ١ جم/ث. تُعطى الدالة التي تمثِّل تغيُّر كتلة الكرة مع الزمن، 𞸊(𞸍)، بالعلاقة: 𞸊(𞸍)=(١𞸍+٥)=(𞸍+٥).

باشتقاق 𞸊(𞸍) نحصل على: 𞸃𞸃𞸍(𞸍+٥)=١.

تُعطى الدالة التي تمثِّل سرعة الجسم بالعلاقة: 𞸏=𞸃𞸐𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍󰂔٢٣𞸍+𞸍+٧𞸍+١󰂓=󰁓٢𞸍+٢𞸍+٧󰁒.٣٢٢

باشتقاق الدالة التي تمثِّل 𞸏 بالنسبة إلى الزمن، نحصل على: 𞸃𞸏𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍󰁓٢𞸍+٢𞸍+٧󰁒=(٤𞸍+٢).٢

وبما أنه يجب اشتقاق حاصل ضرب 𞸊، 𞸏، 𞸊𞸏، بالنسبة إلى الزمن، يُمكننا استخدام قاعدة الضرب لاشتقاق 𞸊𞸏 بالنسبة إلى 𞸍: 𞹟=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏)=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

بتذكُّر أن: 𞸃𞸊𞸃𞸍=١، نحصل على: 𞹟=󰁓(𞸍+٥)(٤𞸍+٢)󰁒+󰁓٢𞸍+٢𞸍+٧󰁒.٢

بالتعويض بـ 𞸍=٥ نحصل على: 𞹟=(٠١(٢٢))+(٠٥+٠١+٧)𞹟=٠٢٢+٧٦=٧٨٢/.ث٢

الكتلة بوحدة الجرام والإزاحة بوحدة السنتيمتر، ومن ثَمَّ تكون القوة المحسوبة بوحدة النيوتن مضروبة في حاصل ضرب عدد السنتيمترات في المتر الواحد وعدد الجرامات في الكيلوجرام الواحد لنحصل على القوة بوحدة نيوتن: 𞹟=٧٨٢󰁓٠١󰁒󰁓٠١󰁒=٧٨٢×٠١.٢٣٥

داين واحد يساوي ٠١٥ نيوتن، إذن القوة تساوي ٢٨٧ داين.

لنلقِ نظرةً على مثال آخَر.

مثال ٥: إيجاد معدَّل تغيُّر كتلة كرة أثناء تحرُّكها خلال وسَط مُتترِّب

تتحرَّك كرة معدنية في خط مستقيم بسرعة ثابتة مقدارها ١ م/ث. دخلتْ وسَطًا مُتترِّبًا. إذا كانت القوة المؤثِّرة على الكرة في أيِّ لحظة تساوي ١٠ داين، فأوجد معدَّل تغيُّر كتلة الكرة بسبب الْتِصاق التراب بسطحها.

الحل

سرعة الكرة ثابتة. لذا، في الصيغة الآتية: 𞹟=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍،𞸃𞸏𞸃𞸍=٠.

وحقيقة أن السرعة ثابتة تسمح لنا بالتعبير بالصيغة الآتية: 𞹟=𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

يتناسب معدَّل زيادة كتلة الكرة تناسبًا طرديًّا مع القوة المؤثِّرة على الكرة.

والقوة المؤثِّرة على الكرة تساوي ١٠ داين؛ حيث: داواث=١×١=٠١.٢٥

القوة تساوي معدَّل التغيُّر في كمية حركة الكرة بوحدة نيوتن ، وتُعطى بالعلاقة: ٠١󰁓٠١󰁒=٠١=𞸃𞸌𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏).٥٤

سرعة الكرة تساوي ١ م/ث، ومن ثَمَّ يُمكن كتابة معدَّل تغيُّر كمية الحركة بالصورة: 𞸃𞸌𞸃𞸍=١𞸃𞸊𞸃𞸍=𞸃𞸊𞸃𞸍.

وبدمج قيمة القوة مع المقدار الذي يعبِّر عن معدَّل تغيُّر كمية الحركة، نحصل على: ٠١=𞸃𞸊𞸃𞸍،٤ حيث 𞸊 بوحدة الكيلوجرام (كجم) ، والقوة بوحدة نيوتن ، والسرعة بوحدة المتر لكل ثانية (م/ث). يُعطى معدَّل تغيُّر الكتلة بالوحدة: جرام لكل ثانية (جم/ث) بالعلاقة الآتية: 𞸃𞸊𞸃𞸍=٠١󰁓٠١󰁒=١٫٠/.٤٣ث

النقاط الرئيسية

  • عندما تؤثِّر قوة محصلة على جسم كتلته ثابتة، يتحرَّك الجسم بعجلة في اتجاه هذه القوة. ويعتمد مقدار العجلة على مقدار القوة وكتلة الجسم وفقًا للصيغة: 𞹟=𞸊𞸢، حيث 𞸊 هي كتلة الجسم، 𞸢 هي عجلة الجسم.
  • تُعطى كمية حركة الجسم بالعلاقة: 𞸌=𞸊𞸏، حيث 𞸊 هي كتلة الجسم، 𞸏 هي سرعة الجسم.
  • يُمكن التعبير عن قانون نيوتن الثاني للحركة بدلالة معدَّل تغيُّر كمية الحركة بالعلاقة: 𞹟=𞸃𞸌𞸃𞸍=𞸃𞸃𞸍(𞸊𞸏).
    باستخدام قاعدة الضرب، يُمكننا التعبير عن ذلك بالصورة: 𞹟=𞸊𞸃𞸏𞸃𞸍+𞸏𞸃𞸊𞸃𞸍.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.