الشارح للدرس: قانون نيوتن الثاني: الكُتَل المتغيِّرة الرياضيات

مثال ١: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم ذي كتلة متغيِّرة يتحرَّك بسرعة ثابتة

املأ الفراغ: القوة المؤثِّرة على كتلة ما تتغيَّر طبقًا للدالة ، وتتحرَّك بسرعة ثابتة ٤ م/ث تساوي .

الحل

تُنتِج القوة المؤثِّرة على الجسم تغيُّرًا في كمية حركة الجسم:

ذُكِر أن الجسم له سرعة ثابتة؛ لذا:

ومن ثَمَّ:

وذُكِر أن قيمة السرعة هي ٤ م/ث، التي يمكن التعويض بها لنحصل على:

لكي تؤثِّر قوة على جسم لتحرِّكه بسرعة ثابتة؛ ومن ثَمَّ تنعدم العجلة، يجب أن تتغيَّر كتلة الجسم خلال زمن تأثير القوة عليه.

يُعبِّر السؤال عن كتلة الجسم باعتباره دالة في الزمن. تُعطَى الكتلة بوحدة الكيلوجرام باعتبارها دالة في الزمن، ، من خلال العلاقة: التي قيمتها تزيد بالفعل بزيادة .

باشتقاق بالنسبة إلى الزمن، نحصل على:

تزداد كتلة الجسم بمقدار كيلوجرامين لكل ثانية.

يُمكن التعويض عن معدَّل تغيُّر الكتلة في الصيغة كما يأتي:

ومن ثَمَّ، الجسم الذي يتحرَّك بسرعة ثابتة مقدارها ٤ م/ث وتبدأ كتلته في الزيادة بمعدل كيلوجرامين لكل ثانية يجب أن تؤثِّر عليه قوة مقدارها ٨ نيوتن للحفاظ على هذه السرعة الثابتة.

لا تؤثِّر كتلة الجسم على القوة اللازمة للحفاظ على حركته المنتظمة، بل يؤثِّر فقط معدَّل تغيُّر كتلته.

مثال ٢: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم ذي كتلة متغيِّرة عند أي زمن

تحرَّك جسم في خط مستقيم. عند اللحظة ثانية، كانت إزاحة الجسم من نقطة ثابتة تُعطى بالعلاقة . كانت كتلة الجسم تتغيَّر مع الزمن؛ حيث . اكتب تعبيرًا يدلُّ على القوة المؤثِّرة على الجسم عند اللحظة .

الحل

يتغيَّر كلٌّ من سرعة الجسم وكتلته مع الزمن؛ لذا، تُعطى القوة المؤثِّرة على الجسم بالعلاقة:

يُمكن إيجاد معدَّل تغيُّر كتلة الجسم من خلال اشتقاق دالة كتلة الجسم بالنسبة إلى الزمن كما يأتي:

تزداد كتلة الجسم بمقدار ٨ كيلوجرامات لكل ثانية.

لم يذكر السؤال دالة معدَّل تغيُّر سرعة الجسم بالنسبة إلى الزمن، بل ذكر الإزاحة باعتبارها دالة في الزمن. معدَّل تغيُّر الإزاحة يساوي السرعة اللحظية، ، للجسم؛ ومن ثَمَّ:

وبما أن أصبحت معلومة، إذن يُمكننا التعبير عن معدَّل تغيُّر كما يأتي:

ويمكننا استخدام الصيغة الآتية:

مثال ٣: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم ذي كتلة متغيِّرة عند زمن معيَّن

يتحرَّك جسم في خط مستقيم. عند الزمن ثانية، تُعطَى إزاحة الجسم من نقطة ثابتة بالعلاقة . تتغيَّر كتلة الجسم مع الزمن؛ حيث . أوجد القوة المؤثِّرة على الجسم عند .

الحل

لإيجاد القوة المؤثِّرة عند لحظة ما، يجب تحديد الدالة التي تمثِّل التغيُّر في القوة مع الزمن.

يتغيَّر كلٌّ من سرعة الجسم وكتلته مع الزمن؛ ومن ثَمَّ، تُعطى القوة المؤثِّرة على الجسم بالعلاقة:

يُمكن إيجاد معدَّل تغيُّر كتلة الجسم باشتقاق دالة كتلة الجسم بالنسبة إلى الزمن كما يأتي:

تُعطى الدالة التي تمثِّل سرعة الجسم بالعلاقة:

اشتقاق الدالة التي تمثِّل بالنسبة إلى الزمن يُعطينا الآتي:

وبما أنه يتم اشتقاق حاصل ضرب ، ؛ أي ، بالنسبة إلى الزمن، إذن يمكننا استخدام قاعدة الضرب لاشتقاق بالنسبة إلى ، كالآتي:

بالتعويض بـ ، نحصل على:

مثال ٤: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم باستخدام قانون نيوتن الثاني مع كتلة متغيِّرة بدلالة المتجهات

أكمل الآتي: جسم كتلته ١٠ جم يتحرَّك في مستوى ثنائي الأبعاد له كتلة متغيِّرة تزيد بمُعدَّل ٥ جم/ث. متجه السرعة للجسم يُعطَى بالعلاقة . المركبة الأفقية للقوة المؤثِّرة على الجسم للحفاظ على حركته عند هذه السرعة تساوي داين.

الحل

نحن نعلم أن كتلة الجسم تبدأ من ١٠ جم، وتزيد بمعدل ٥ جم/ث. ومن ثَمَّ، يمكننا القول إن:

وأيضًا، بما أن معدل زيادة الكتلة هو ٥ جم/ث، إذن يصبح لدينا:

لإيجاد القوة المؤثِّرة على الجسم، علينا استخدام قانون نيوتن الثاني مع كتلة متغيِّرة بدلالة المتجهات. وهو ينص على أن:

لإيجاد ، نشتق بالنسبة إلى . وهذا يُعطينا:

لدينا الآن جميع المقادير التي نحتاج إليها لإيجاد . بالتعويض في الصيغة لدينا، نجد أن:

وبما أن الوحدات التي استخدمناها حتى الآن هي الجرام، والسنتيمتر لكل ثانية، فإن وحدة القوة تكون الداين. إذن يمكننا القول إن:

والآن، المطلوب منا في السؤال هو إيجاد المركبة الأفقية لهذه القوة؛ ومن ثَمَّ، نهتم فقط بالمركبة . إذن الحل هو:

مثال ٥: إيجاد القوة المؤثِّرة على جسم ذي كتلة متغيِّرة عند زمن معيَّن باستخدام قانون نيوتن الثاني

تتحرَّك كرة كتلتها ٥ جم في خط مستقيم عَبْرَ وسط مُشبَّع بالأتربة. تتراكم الأتربة على سطح الكرة بمُعدَّل ١ جم/ث. أوجد مقدار القوة المؤثِّرة على الكرة عند اللحظة ، علمًا بأن إزاحة الكرة تُحدَّد بالعلاقة: حيث متجه وحدة في اتجاه الحركة، والإزاحة تقاس بالسنتيمتر.

الحل

تُعطى القوة المؤثِّرة على الكرة بالعلاقة:

كتلة الكرة ٥ جم، عند ، وتزيد بمعدَّل ١ جم/ث. تُعطى الدالة التي تمثِّل تغيُّر كتلة الكرة مع الزمن، ، بالعلاقة:

باشتقاق ، نحصل على:

تُعطى الدالة التي تمثِّل سرعة الجسم بالعلاقة:

باشتقاق الدالة التي تمثِّل بالنسبة إلى الزمن، نحصل على:

وبما أنه يتم اشتقاق حاصل ضرب ، ؛ أي ، بالنسبة إلى الزمن، إذن يُمكننا استخدام قاعدة الضرب لاشتقاق بالنسبة إلى :

بتذكُّر أن: نحصل على:

بالتعويض بـ ، نحصل على:

الكتلة بوحدة الجرام، والإزاحة بوحدة السنتيمتر؛ ومن ثَمَّ، تكون القوة المحسوبة بوحدة النيوتن بالضرب في حاصل ضرب عدد السنتيمترات في المتر الواحد، وعدد الجرامات في الكيلوجرام الواحد، لنحصل على القوة بوحدة النيوتن:

داين واحد يساوي نيوتن، إذن القوة تساوي ٢٨٧ داين.

مثال ٦: إيجاد معدل تغيُّر كتلة كرة خلال تحرُّكها عَبْر وسط مُترَّب

تتحرَّك كرة معدنية في خط مستقيم بسرعة ثابتة مقدارها ١ م/ث. دخلت وسطًا مترَّبًا. إذا كانت القوة المؤثِّرة على الكرة في أيِّ لحظة تساوي ١٠ داين، فأوجد معدَّل تغيُّر كتلة الكرة بسبب التصاق التراب بسطحها.

الحل

سرعة الكرة ثابتة. لذا، في الصيغة الآتية:

وحقيقة أن السرعة ثابتة تسمح لنا بكتابة الصيغة الآتية:

يتناسب معدَّل زيادة كتلة الكرة تناسبًا طرديًّا مع القوة المؤثِّرة على الكرة.

والقوة المؤثِّرة على الكرة تساوي ١٠ داين؛ حيث:

القوة تساوي معدَّل التغيُّر في كمية حركة الكرة بوحدة النيوتن، وتُعطى بالعلاقة:

سرعة الكرة تساوي ١ م/ث؛ ومن ثَمَّ، يُمكن كتابة معدَّل تغيُّر كمية الحركة بالصورة:

وبدمج قيمة القوة مع المقدار الذي يعبِّر عن معدَّل تغيُّر كمية الحركة، نحصل على: حيث بوحدة الكيلوجرام (كجم)، والقوة بوحدة النيوتن (نيوتن)، والسرعة بوحدة المتر لكل ثانية (م/ث). يُعطى معدَّل تغيُّر الكتلة بالوحدة: جرام لكل ثانية (جم/ث) بالعلاقة الآتية: