تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: تبسيط المقادير الجبرية: الأُسُس السالبة والكسرية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم قواعد الأُسُس السالبة والكسرية لحلِّ المسائل الجبرية.

لمساعدتك على فهم قواعد الأسس السالبة والكسرية، سنتذكر أولًا قواعد الضرب والقسمة للأسس.

قواعد الأسس: الضرب والقسمة

فيما يلي قواعد الضرب والقسمة للأسس:

  • ضرب القوى التي لها الأساس نفسه: 󰏡×󰏡=󰏡𞸌𞸍𞸌+𞸍، حيث 𞸌، 𞸍 يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.
  • قسمة القوى التي لها الأساس نفسه: 󰏡÷󰏡=󰏡𞸌𞸍𞸌𞸍، حيث 󰏡٠؛ حيث 𞸌، 𞸍 يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.

وبما أن 𞸌، 𞸍 يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي، فإن هذه القواعد تنطبق على الأسس السالبة والكسرية. سنتناول أولًا ما يحدث عند تعديل هذه القواعد بحيث نحصل على أس سالب.

باستخدام قانون القسمة للأسس: 󰏡÷󰏡=󰏡،𞸌𞸍𞸌𞸍 حيث 󰏡٠، يمكننا ملاحظة أنه عندما يكون 𞸌<𞸍 ، فهذا ينتج عنه أس سالب.

علاوة على ذلك، إذا افترضنا أن 𞸌=٠، فسنجد أن: 󰏡÷󰏡=󰏡،󰏡٠.٠𞸍٠𞸍

لعلنا نتذكر أن 󰏡=١٠ عندما 󰏡٠؛ ومن ثَمَّ، نحصل على الصيغة الآتية: ١÷󰏡=󰏡،󰏡٠.𞸍𞸍

أو عند كتابة ذلك في صورة كسر، فإننا نحصل على ما يلي: ١󰏡=󰏡،󰏡٠.𞸍𞸍

إذن، هذا يقودنا إلى قاعدة الأسس التالية للأسس السالبة.

قواعد الأسس: الأسس السالبة

قاعدة الأسس للأسس السالبة هي كما يلي: 󰏡=١󰏡،𞸍𞸍 حيث 󰏡٠، 𞸍 يمكن أن يأخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.

عند كتابة المقادير الجبرية ذات الأسس، فإنه من المتعارف عليه أننا نبسِّط الإجابات بطريقة تجعل الأس موجبًا. في حالة 𞸎٢، فإننا نعيد كتابة ذلك على الصورة ١𞸎٢ عند كتابة الإجابة النهائية. لاحظ أن هذا الأمر قد لا يكون صحيحًا دائمًا، لكن من المفيد التفكير فيه.

في المثال التالي، سنطبق قاعدة الأسس للأسس السالبة.

مثال ١: إعادة كتابة المقادير الجبرية باستخدام قوانين الأسس مع الأسس السالبة

أيٌّ من التالي يساوي ٠١٩𞸎𞸑٢٧؟

  1. ٩٠١𞸎𞸑٢٧
  2. ٠١٩𞸎𞸑٧٢
  3. ٠١٩𞸎𞸑٢٧
  4. ٠١𞸎𞸑٩٢٧

الحل

لكي نعيد كتابة المقدار: ٠١٩𞸎𞸑،٢٧ علينا استخدام قانون الأسس للأسس السالبة، الذي ينص على ما يلي: 󰏡=١󰏡،󰏡٠.𞸍𞸍

وبما أن كلًّا من 𞸎، 𞸑 يحتويان على أسس سالبة، فإننا سنطبق القاعدة على كلا المتغيرين.

بالنسبة إلى 𞸎٢، يمكننا التعويض بقيمة 𞸍=٢ ،󰏡=𞸎، وهذا يعطينا: 𞸎=١𞸎.٢٢

بالنسبة إلى 𞸑٧، يمكننا التعويض بقيمة 𞸍=٧، 󰏡=𞸑، وهذا يعطينا: 𞸑=١𞸑.٧٧

بعدما أعدنا كتابة كلا المتغيرين بأسس موجبة، يمكننا بعد ذلك إعادتهما إلى المقدار الأصلي، وهو ما يعطينا: ٠١٩𞸎𞸑=٠١٩×١𞸎×١𞸑=٠١×١×١٩×𞸎×𞸑=٠١٩𞸎𞸑.٢٧٢٧٢٧٢٧

ومن ثَمَّ، تكون الإجابة هي الخيار (ج)، ٠١٩𞸎𞸑٢٧.

في المثال التالي، سنستخدم قاعدة الأسس للأسس السالبة، وكذلك قاعدة القسمة للأسس.

مثال ٢: المطابقة بين مقدارين باستخدام قوانين الأسس مع الأسس السالبة

صواب أم خطأ: الصورة المُبسَّطة لـ 𞸎𞸎٤٢ هي: ١𞸎٢.

الحل

لكي نبسط 𞸎𞸎٤٢، نبدأ باستخدام قاعدة القسمة للأسس: 󰏡÷󰏡=󰏡،󰏡٠.𞸌𞸍𞸌𞸍

في هذه الحالة، على الرغم من أن كلا الأسين سالبان، حيث 𞸌=٤، 𞸍=٢، يظل بإمكاننا تطبيق هذه القاعدة. كما أنها تساعد هنا في إعادة كتابة الكسر على صورة قسمة. عند القيام بذلك، نحصل على: 𞸎𞸎=𞸎÷𞸎=𞸎=𞸎.٤٢٤٢٤(٢)٢

بعد ذلك، بما أن الأس ما يزال سالبًا، فإننا نستخدم قانون الأسس للأسس السالبة، والذي ينص على أن: 󰏡=١󰏡،󰏡٠.𞸍𞸍

بالتعويض بقيمة 𞸍=٢، 󰏡=𞸎 في القانون، فإننا نحصل على: 𞸎=١𞸎.٢٢

وبالتالي، 𞸎𞸎=١𞸎٤٢٢؛ إذن، الإجابة صحيحة.

بالرجوع إلى المثال السابق، نجد أن هناك طرقًا أخرى لتبسيط 𞸎𞸎٤٢ لنحصل على: ١𞸎٢.

هناك طريقة أخرى، تتمثل في استخدام قانون الأسس للأسس السالبة أولًا، الذي ينص على أن: 󰏡=١󰏡،󰏡٠.𞸍𞸍

ثم نعوض بقيمة 𞸍=٤، 󰏡=𞸎 عن الحد الذي في البسط وبقيمة 𞸍=٢، 󰏡=𞸎 عن الحد الذي في المقام. هذا يعطينا: 𞸎𞸎=.٤٢١𞸎١𞸎٤٢

يمكننا بعد ذلك الاستعانة بفهمنا للكسور لكتابة ذلك على الصورة: ١𞸎١𞸎٤٢٤٢٢٤٤٢=١𞸎÷١𞸎=١𞸎×𞸎=𞸎𞸎.

نستخدم بعد ذلك قاعدة القسمة للأسس، والتي تنص على أن: 󰏡÷󰏡=󰏡،󰏡٠.𞸌𞸍𞸌𞸍

حيث 󰏡=𞸎، 𞸌=٢، 𞸍=٤، لنحصل على: 𞸎𞸎=𞸎÷𞸎=𞸎=𞸎=١𞸎.٢٤٢٤٢٤٢٢

هذا يوضح أنه يمكننا تطبيق القواعد بترتيب مختلف ونحصل على المقدار المكافئ نفسه.

في المثال التالي، سنبسط مقدار جبري باستخدام قوانين الأسس، بما في ذلك قانون القوى، وقانون القسمة، وقانون الأسس السالبة. لنلخص أولًا قوانين القوى.

قواعد الأسس: المزيد من قوانين القوى

قواعد الأسس لأسس القوة هي:

  • 󰁓󰏡󰁒=󰏡𞸌𞸍𞸌𞸍.
  • (󰏡𞸁)=󰏡𞸁𞸌𞸌𞸌.
  • 󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁𞸌𞸌𞸌. 𞸁٠.

حيث 𞸌، 𞸍 يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.

مثال ٣: تبسيط المقادير الجبرية الكسرية ذات أسس سالبة باستخدام قوانين الأسس

بسِّط 󰃁𞸌𞸍󰃀󰃁٢𞸌𞸍󰃀.١٣٢٢٣

الحل

لتبسيط هذا المقدار الجبري، نفكر في القوانين المتطلبة. وبما أنه يوجد كسور مرفوعة لقوة، فإنه يمكننا أولًا استخدام قانون القوى الذي ينص على أن: 󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،𞸌𞸌𞸌 حيث 𞸁٠، 𞸌 يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية.

عند تطبيق هذا القانون على الجزء الأول من المقدار، 󰃁𞸌𞸍󰃀١٣، نحصل على: 󰃁𞸌𞸍󰃀=𞸌(𞸍).١٣٣١٣

يمكننا تبسيط المقام أكثر باستخدام قانون الأسس للقوى، الذي ينص على أن: 󰁓󰏡󰁒=󰏡،𞸌𞸍𞸌𞸍 حيث 𞸌، 𞸍 يمكنهما أخذ أي قيمة حقيقية.

ومن ثَمَّ، نحصل على: 𞸌(𞸍)=𞸌𞸍=𞸌𞸍.٣١٣٣١×٣٣٣

بالمثل، يمكننا تطبيق قانون القوى للكسور على الجزء الثاني من المقدار: 󰃁٢𞸌𞸍󰃀٢٢٣ وهذا يعطينا: 󰃁٢𞸌𞸍󰃀=󰁓٢𞸌󰁒(𞸍).٢٢٣٢٣٢٣

وكما هو الحال في الجزء الأول من المقدار، يمكننا تبسيط المقام باستخدام قانون الأسس للقوى، لكننا في حالة البسط، نستخدم القانون لقوى حواصل الضرب، الذي ينص على أن: (󰏡𞸁)=󰏡𞸁،𞸌𞸌𞸌 حيث 𞸌 يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية.

ومن ثَمَّ، نحصل على: 󰁓٢𞸌󰁒(𞸍)=٢×󰁓𞸌󰁒𞸍=٢×𞸌𞸍=٢×𞸌𞸍.٢٣٢٣٣٢٣٢×٣٣٢×٣٢×٣٣٦٦

عند تجميع جزأي المقدار: 𞸌(𞸍)=𞸌𞸍󰃁٢𞸌𞸍󰃀=٢×𞸌𞸍،٣١٣٣٣٢٢٣٣٦٦، نحصل على: 󰃁𞸌𞸍󰃀󰃁٢𞸌𞸍󰃀=𞸌𞸍×٢𞸌𞸍=𞸌×٢𞸌𞸍×𞸍.١٣٢٢٣٣٣٣٦٦٣٣٦٣٦

بعد ذلك، نستخدم قاعدة الضرب للأسس، التي تنص على أن: 󰏡×󰏡=󰏡،𞸌𞸍𞸌+𞸍 حيث 󰏡، 𞸌 ،𞸍 أي قيمة حقيقية.

يمكننا بعد ذلك تبسيط البسط والمقام؛ لأن بعض المركبات لها الأساس نفسه: 𞸌×٢𞸌𞸍×𞸍=٢×𞸌×𞸌𞸍×𞸍=٢𞸌𞸍=٢𞸌𞸍.٣٣٦٣٦٣٣٦٣٦٣٣+٦٣+٦٣٣٩

وأخيرًا، نستخدم قاعدة الأسس السالبة لتبسيط: ٢٣. تنص هذه القاعدة على أن: 󰏡=١󰏡،𞸍𞸍 حيث 󰏡٠ ،𞸍 يمكن أن يكون أي عدد حقيقي.

وبذلك، نحصل على: ٢𞸌𞸍=٢×𞸌𞸍=١٢×𞸌𞸍=١٨×𞸌𞸍=𞸌٨𞸍.٣٣٩٣٣٩٣٣٩٣٩٣٩

إذن: 󰃁𞸌𞸍󰃀󰃁٢𞸌𞸍󰃀=𞸌٨𞸍١٣٢٢٣٣٩.

حتى الآن، تعاملنا مع الأسس السالبة. بعد ذلك، سنتناول الأسس الكسرية.

دعونا نتناول المقدار: 𞸎٢.

ونحن نعلم أن: 󰋴𞸎=𞸎،𞸎٠٢ وبالمثل: 󰂔󰋴𞸎󰂓=𞸎،𞸎٠.٢

لنفترض أن لدينا أسًّا ما، 𞸌، بحيث أن: 󰁓𞸎󰁒=𞸎.٢𞸌

وفقًا لقانون القوى للأسس، نعرف أن: 󰁓𞸎󰁒=𞸎.٢𞸌٢𞸌

نعلم أيضًا أن: 𞸎=𞸎.١

إذن: 𞸎=𞸎.٢𞸌١

ومن ثَمَّ، بمساواة الأسس، نحصل على: ٢𞸌=١،𞸌=١٢.

إذن: 󰁓𞸎󰁒=𞸎،𞸎٠.٢١٢

وبما أن 󰋴𞸎=𞸎٢، فإنه يمكننا استنتاج أن: 󰁓𞸎󰁒=󰋴𞸎،𞸎٠.٢٢١٢

ومن ثم، يمكننا ملاحظة أن أي عدد 󰏡٠ مرفوعًا للقوة نصف يساوي الجذر التربيعي لـ 󰏡. بعبارة أخرى: 󰏡=󰋴󰏡،󰏡٠.١٢

يمكننا بعد ذلك اتباع الخطوات نفسها مع الجذر ا العام في المعادلة: 󰏡=󰋴󰏡𞸍𞸍.

نحن نعلم أنه لأي عدد صحيح موجب 𞸍: 󰂔󰋴𞸎󰂓=𞸎،𞸎٠،𞸍𞸍 وبالمثل: 𞸍󰋴𞸎=𞸎،𞸎٠.𞸍

لنفترض أنه يوجد أس: 𞸌؛ بحيث أن: 󰁓𞸎󰁒=𞸎𞸎٠.𞸍𞸌

وفقًا لقانون القوى للأسس، نعلم أن: 󰁓𞸎󰁒=𞸎.𞸍𞸌𞸌𞸍

نعلم أيضًا أن: 𞸎=𞸎.١

إذن: 𞸎=𞸎.𞸌𞸍١

ومن ثَمَّ، بمساواة الأسس، نحصل على: 𞸌𞸍=١،𞸌=١𞸍.

إذن: 󰁓𞸎󰁒=𞸎،𞸎٠.𞸍١𞸍

وبما أن 𞸍󰋴𞸎=𞸎𞸍، فإنه يمكننا استنتاج أن: 󰁓𞸎󰁒=󰋴𞸎،𞸎٠.𞸍𞸍١𞸍𞸍

وبذلك، يمكننا ملاحظة أن أي عدد 󰏡٠ مرفوعًا للقوة ١𞸍 يساوي الجذر ا لـ 󰏡. بعبارة أخرى: 󰏡=󰋴󰏡،١𞸍𞸍 لأي عدد صحيح موجب 𞸍، 󰏡٠.

وبعد أن استنتجنا الجذر ا العام، يمكننا بعد ذلك استخدام قانون الأسس للقوى لإيجاد قانون لـ 󰂔󰋴󰏡󰂓𞸍𞸌.

نحن نعلم أن قانون الأسس للقوى هو: 󰁓󰏡󰁒=󰏡،𞸌𞸍𞸌𞸍 حيث 󰏡٠، 𞸌، 𞸍 يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.

إذن، باستخدام 󰏡=󰋴󰏡١𞸍𞸍 يمكننا كتابة: 󰂔󰋴󰏡󰂓=󰂔󰏡󰂓=󰏡=󰏡،𞸍١𞸍١𞸍𞸌𞸍𞸌𞸌×𞸌 حيث 󰏡٠، 𞸍 عدد صحيح موجب، 𞸌 قيمة حقيقية.

نلخص القوانين التي استنتجناها في التعريف التالي.

تعريف: قانون الأسس للأسس الكسرية

قاعدة الأسس للأسس الكسرية هي كما يلي:

  • 󰏡=󰋴󰏡١𞸍𞸍، لأي قيمة لـ 󰏡٠ وأي عدد صحيح موجب 𞸍.
  • 󰏡=󰂔󰋴󰏡󰂓=󰋴󰏡𞸌𞸍𞸍𞸍𞸌𞸌، لأي قيمة لـ 󰏡٠ وأي عدد 𞸍 صحيح موجب.

لاحظ أنه في القوانين المذكورة أعلاه، 󰏡 يمكن أن يكون سالبًا، لكن ذلك خارج نطاق موضوع هذا الشارح؛ لأنه يتناول خواص الأعداد المركبة. علاوة على ذلك، تعتمد النتائج المختلفة التي نحصل عليها لقيم 󰏡 السالبة على ترتيب عمليات الجذور والقوى إذا لم يتم تبسيط الأس. لذا، من المستحسن تبسيط الأس الكسري بالكامل قبل إيجاد قيمته.

في المثال التالي، سنتناول التبسيط مع كل من الأسس الكسرية والسالبة.

مثال ٤: تبسيط المقادير ذات الأسس الكسرية والسالبة

بسِّط المقدار 󰃁𞸎𞸑󰃀٨٤١٢.

الحل

للتبسيط، نبدأ بقانون القوى للكسور، والذي ينص على أن: 󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،𞸌𞸌𞸌 حيث 𞸁٠، 󰏡 ،𞸌 يمكنهما أخذ أي قيمة حقيقية.

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 󰃁𞸎𞸑󰃀=𞸎𞸑.٨٤٨×٤×١٢١٢١٢

لتبسيط الأسس، نستخدم قانون الأسس للضرب، وهو ما ينص على أن: 󰏡×󰏡=󰏡،𞸌𞸍𞸌+𞸍 حيث 󰏡 ،𞸌، 𞸍 أي قيمة حقيقية.

وبذلك، يصبح لدينا: 𞸎𞸑=𞸎𞸑.٨×٤×٤٢١٢١٢

بعد ذلك، نستخدم قانون الأسس للأسس السالبة، الذي ينص على أن: 󰏡=١󰏡،󰏡٠.𞸍𞸍

هذا يعطينا: 𞸎𞸑=𞸎=𞸎÷١𞸑=𞸎×𞸑١=𞸎𞸑.٤٢٤١𞸑٤٢٤٢٤٢٢

إذن: 󰃁𞸎𞸑󰃀=𞸎𞸑٨٤٤٢١٢.

في المثال التالي، سنبسط المقادير ذات الأسس الكسرية السالبة.

مثال ٥: تبسيط المقادير ذات الأسس الكسرية السالبة

بسِّط المقدار 󰃭𞸍𞸌𞸍𞸌󰃬٣٨٥٤٢٣١٢٢٣.

الحل

للتبسيط، نبدأ باستخدام قانون القوى للكسور، والذي ينص على أن: 󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁،𞸌𞸌𞸌 حيث: 𞸁٠ ،󰏡، 𞸌 يمكنهما أخذ أي قيمة حقيقية.

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا: 󰃭𞸍𞸌𞸍𞸌󰃬=󰂔𞸍𞸌󰂓󰂔𞸍𞸌󰂓.٣٨٥٤٢٣١٢٢٣٣٨٥٤٢٣٢٣١٢٢٣

بعد ذلك، نطبق قانون القوى لحواصل الضرب على البسط والمقام، والذي ينص على أن: (󰏡𞸁)=󰏡𞸁،𞸌𞸌𞸌 حيث 󰏡، 𞸁، 𞸌 يمكنها أخذ أي قيمة حقيقية.

بالنسبة إلى البسط، يعطينا هذا: 󰂔𞸍𞸌󰂓=𞸍×𞸌=𞸍×𞸌=𞸍×𞸌=𞸍×𞸌.٣٨٥٤٢٣٣٨٢٣٥٤٢٣٣×٢٨×٣٥×٢٤×٣٦٤٢٠١٢١١٤٥٦×󰂔󰂓×󰂔󰂓

وبالنسبة إلى المقام، يصبح لدينا: 󰂔𝑡𞸌󰂓=𞸍×𞸌=𞸍×𞸌=𞸍×𞸌=𞸍×𞸌.٢٣١٢٢٣٢٣٢٣١٢٢٣٢×٢٣×٣١×٢٢×٣٤٩٢٦٤٩١٣×󰂔󰂓×󰂔󰂓

بالتعويض مرة أخرى في المقدار الأصلي، نحصل على: 󰂔𝑡𞸌󰂓󰂔𞸍𞸌󰂓=𞸍×𞸌𞸍×𞸌.٣٨٥٤٢٣٢٣١٢٢٣١٤٥٦٤٩١٣

بعد ذلك، نستخدم قاعدة القسمة للأسس، والتي تنص على أن: 󰏡÷󰏡=󰏡،󰏡٠.𞸌𞸍𞸌𞸍

لتسهيل التبسيط وتجنب الخطأ، سنعيد كتابة المقدار بحيث يتم تجميع الحدود المتشابهة معًا.

إذن: 𞸍𞸌𞸍𞸌=𞸍𞸍×𞸌𞸌.١٤٥٦٤٩١٣١٤٤٩٥٦١٣

بتبسيط هذا الجزء من المقدار حيث الحدود التي تحتوي على 𞸍 تعطينا: 𞸍𞸍=𞸍÷𞸍=𞸍=𞸍=𞸍=𞸍.١٤٤٩١٤٤٩١٤٤٩١٤٤٩٩+٦١٦٣٧٦٣󰂔󰂓+

بالمثل، بتبسيط هذا الجزء من المقدار حيث الحدود التي تحتوي على 𞸌 تعطينا: 𞸌𞸌=𞸌÷𞸌=𞸌=𞸌=𞸌=𞸌.٥٦١٣٥٦١٣٥٦١٣٥٦١٣٥+٢٦٧٦󰂔󰂓+

وأخيرًا، بالتعويض بكلا الجزأين مرة أخرى في المقدار، نحصل على: 𞸍𞸍×𞸌𞸌=𞸍×𞸌=𞸍𞸌.١٤٤٩٥٦١٣٧٦٣٧٦٧٦٣٧٦

إذن: 󰃭𞸍𞸌𞸍𞸌󰃬=𞸍𞸌٣٨٥٤٢٣١٢٢٣٧٦٣٧٦.

في هذا الشارح، تعرفنا على الأسس السالبة والكسرية، وكيفية تطبيق قوانين الأسس المختلفة لتبسيط المقادير الجبرية.

النقاط الرئيسية

  • تطبق أيضًا قوانين الضرب والقسمة والقوى للأسس على الأسس الكسرية والسالبة، والتي هي:
    • 󰏡×󰏡=󰏡𞸌𞸍𞸌+𞸍.
    • 󰏡÷󰏡=󰏡،󰏡٠𞸌𞸍𞸌𞸍.
    • 󰁓󰏡󰁒=󰏡𞸌𞸍𞸌𞸍.
    • (󰏡𞸁)=󰏡𞸁𞸌𞸌𞸌.
    • 󰃁󰏡𞸁󰃀=󰏡𞸁𞸌𞸌𞸌، 𞸁٠.
  • قانون الأسس للأسس السالبة هو: ١󰏡=󰏡،󰏡٠.𞸍𞸍
  • قوانين الأسس للأسس الكسرية هي:
    • 󰏡=󰋴󰏡١𞸍𞸍، لأي قيمة لـ 󰏡 وأي عدد 𞸍 صحيح موجب.
    • 󰏡=󰂔󰋴󰏡󰂓=󰋴󰏡𞸌𞸍𞸍𞸍𞸌𞸌، لـ 󰏡٠ وأي 𞸍 صحيح موجب.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.