في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم قواعد الأُسُس السالبة والكسرية لحلِّ المسائل الجبرية.
لمساعدتك على فهم قواعد الأسس السالبة والكسرية، سنتذكر أولًا قواعد الضرب والقسمة للأسس.
قواعد الأسس: الضرب والقسمة
فيما يلي قواعد الضرب والقسمة للأسس:
- ضرب القوى التي لها الأساس نفسه: ، حيث ، يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.
- قسمة القوى التي لها الأساس نفسه: ، حيث ؛ حيث ، يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.
وبما أن ، يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي، فإن هذه القواعد تنطبق على الأسس السالبة والكسرية. سنتناول أولًا ما يحدث عند تعديل هذه القواعد بحيث نحصل على أس سالب.
باستخدام قانون القسمة للأسس: حيث ، يمكننا ملاحظة أنه عندما يكون ، فهذا ينتج عنه أس سالب.
علاوة على ذلك، إذا افترضنا أن ، فسنجد أن:
لعلنا نتذكر أن عندما ؛ ومن ثَمَّ، نحصل على الصيغة الآتية:
أو عند كتابة ذلك في صورة كسر، فإننا نحصل على ما يلي:
إذن، هذا يقودنا إلى قاعدة الأسس التالية للأسس السالبة.
قواعد الأسس: الأسس السالبة
قاعدة الأسس للأسس السالبة هي كما يلي: حيث ، يمكن أن يأخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.
عند كتابة المقادير الجبرية ذات الأسس، فإنه من المتعارف عليه أننا نبسِّط الإجابات بطريقة تجعل الأس موجبًا. في حالة ، فإننا نعيد كتابة ذلك على الصورة عند كتابة الإجابة النهائية. لاحظ أن هذا الأمر قد لا يكون صحيحًا دائمًا، لكن من المفيد التفكير فيه.
في المثال التالي، سنطبق قاعدة الأسس للأسس السالبة.
مثال ١: إعادة كتابة المقادير الجبرية باستخدام قوانين الأسس مع الأسس السالبة
أيٌّ من التالي يساوي ؟
الحل
لكي نعيد كتابة المقدار: علينا استخدام قانون الأسس للأسس السالبة، الذي ينص على ما يلي:
وبما أن كلًّا من ، يحتويان على أسس سالبة، فإننا سنطبق القاعدة على كلا المتغيرين.
بالنسبة إلى ، يمكننا التعويض بقيمة ،، وهذا يعطينا:
بالنسبة إلى ، يمكننا التعويض بقيمة ، ، وهذا يعطينا:
بعدما أعدنا كتابة كلا المتغيرين بأسس موجبة، يمكننا بعد ذلك إعادتهما إلى المقدار الأصلي، وهو ما يعطينا:
ومن ثَمَّ، تكون الإجابة هي الخيار (ج)، .
في المثال التالي، سنستخدم قاعدة الأسس للأسس السالبة، وكذلك قاعدة القسمة للأسس.
مثال ٢: المطابقة بين مقدارين باستخدام قوانين الأسس مع الأسس السالبة
صواب أم خطأ: الصورة المُبسَّطة لـ هي: .
الحل
لكي نبسط ، نبدأ باستخدام قاعدة القسمة للأسس:
في هذه الحالة، على الرغم من أن كلا الأسين سالبان، حيث ، ، يظل بإمكاننا تطبيق هذه القاعدة. كما أنها تساعد هنا في إعادة كتابة الكسر على صورة قسمة. عند القيام بذلك، نحصل على:
بعد ذلك، بما أن الأس ما يزال سالبًا، فإننا نستخدم قانون الأسس للأسس السالبة، والذي ينص على أن:
بالتعويض بقيمة ، في القانون، فإننا نحصل على:
وبالتالي، ؛ إذن، الإجابة صحيحة.
بالرجوع إلى المثال السابق، نجد أن هناك طرقًا أخرى لتبسيط لنحصل على: .
هناك طريقة أخرى، تتمثل في استخدام قانون الأسس للأسس السالبة أولًا، الذي ينص على أن:
ثم نعوض بقيمة ، عن الحد الذي في البسط وبقيمة ، عن الحد الذي في المقام. هذا يعطينا:
يمكننا بعد ذلك الاستعانة بفهمنا للكسور لكتابة ذلك على الصورة:
نستخدم بعد ذلك قاعدة القسمة للأسس، والتي تنص على أن:
حيث ، ، ، لنحصل على:
هذا يوضح أنه يمكننا تطبيق القواعد بترتيب مختلف ونحصل على المقدار المكافئ نفسه.
في المثال التالي، سنبسط مقدار جبري باستخدام قوانين الأسس، بما في ذلك قانون القوى، وقانون القسمة، وقانون الأسس السالبة. لنلخص أولًا قوانين القوى.
قواعد الأسس: المزيد من قوانين القوى
قواعد الأسس لأسس القوة هي:
- .
- .
- . .
حيث ، يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.
مثال ٣: تبسيط المقادير الجبرية الكسرية ذات أسس سالبة باستخدام قوانين الأسس
بسِّط
الحل
لتبسيط هذا المقدار الجبري، نفكر في القوانين المتطلبة. وبما أنه يوجد كسور مرفوعة لقوة، فإنه يمكننا أولًا استخدام قانون القوى الذي ينص على أن: حيث ، يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية.
عند تطبيق هذا القانون على الجزء الأول من المقدار، ، نحصل على:
يمكننا تبسيط المقام أكثر باستخدام قانون الأسس للقوى، الذي ينص على أن: حيث ، يمكنهما أخذ أي قيمة حقيقية.
ومن ثَمَّ، نحصل على:
بالمثل، يمكننا تطبيق قانون القوى للكسور على الجزء الثاني من المقدار: وهذا يعطينا:
وكما هو الحال في الجزء الأول من المقدار، يمكننا تبسيط المقام باستخدام قانون الأسس للقوى، لكننا في حالة البسط، نستخدم القانون لقوى حواصل الضرب، الذي ينص على أن: حيث يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية.
ومن ثَمَّ، نحصل على:
عند تجميع جزأي المقدار: نحصل على:
بعد ذلك، نستخدم قاعدة الضرب للأسس، التي تنص على أن: حيث ، ، أي قيمة حقيقية.
يمكننا بعد ذلك تبسيط البسط والمقام؛ لأن بعض المركبات لها الأساس نفسه:
وأخيرًا، نستخدم قاعدة الأسس السالبة لتبسيط: . تنص هذه القاعدة على أن: حيث ، يمكن أن يكون أي عدد حقيقي.
وبذلك، نحصل على:
إذن: .
حتى الآن، تعاملنا مع الأسس السالبة. بعد ذلك، سنتناول الأسس الكسرية.
دعونا نتناول المقدار: .
ونحن نعلم أن: وبالمثل:
لنفترض أن لدينا أسًّا ما، ، بحيث أن:
وفقًا لقانون القوى للأسس، نعرف أن:
نعلم أيضًا أن:
إذن:
ومن ثَمَّ، بمساواة الأسس، نحصل على:
إذن:
وبما أن ، فإنه يمكننا استنتاج أن:
ومن ثم، يمكننا ملاحظة أن أي عدد مرفوعًا للقوة نصف يساوي الجذر التربيعي لـ . بعبارة أخرى:
يمكننا بعد ذلك اتباع الخطوات نفسها مع الجذر العام في المعادلة: .
نحن نعلم أنه لأي عدد صحيح موجب : وبالمثل:
لنفترض أنه يوجد أس: ؛ بحيث أن:
وفقًا لقانون القوى للأسس، نعلم أن:
نعلم أيضًا أن:
إذن:
ومن ثَمَّ، بمساواة الأسس، نحصل على:
إذن:
وبما أن ، فإنه يمكننا استنتاج أن:
وبذلك، يمكننا ملاحظة أن أي عدد مرفوعًا للقوة يساوي الجذر لـ . بعبارة أخرى: لأي عدد صحيح موجب ، .
وبعد أن استنتجنا الجذر العام، يمكننا بعد ذلك استخدام قانون الأسس للقوى لإيجاد قانون لـ .
نحن نعلم أن قانون الأسس للقوى هو: حيث ، ، يمكنهما أخذ أي قيمة في المجال الحقيقي.
إذن، باستخدام يمكننا كتابة: حيث ، عدد صحيح موجب، قيمة حقيقية.
نلخص القوانين التي استنتجناها في التعريف التالي.
تعريف: قانون الأسس للأسس الكسرية
قاعدة الأسس للأسس الكسرية هي كما يلي:
- ، لأي قيمة لـ وأي عدد صحيح موجب .
- ، لأي قيمة لـ وأي عدد صحيح موجب.
لاحظ أنه في القوانين المذكورة أعلاه، يمكن أن يكون سالبًا، لكن ذلك خارج نطاق موضوع هذا الشارح؛ لأنه يتناول خواص الأعداد المركبة. علاوة على ذلك، تعتمد النتائج المختلفة التي نحصل عليها لقيم السالبة على ترتيب عمليات الجذور والقوى إذا لم يتم تبسيط الأس. لذا، من المستحسن تبسيط الأس الكسري بالكامل قبل إيجاد قيمته.
في المثال التالي، سنتناول التبسيط مع كل من الأسس الكسرية والسالبة.
مثال ٤: تبسيط المقادير ذات الأسس الكسرية والسالبة
بسِّط المقدار .
الحل
للتبسيط، نبدأ بقانون القوى للكسور، والذي ينص على أن: حيث ، ، يمكنهما أخذ أي قيمة حقيقية.
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:
لتبسيط الأسس، نستخدم قانون الأسس للضرب، وهو ما ينص على أن: حيث ،، أي قيمة حقيقية.
وبذلك، يصبح لدينا:
بعد ذلك، نستخدم قانون الأسس للأسس السالبة، الذي ينص على أن:
هذا يعطينا:
إذن: .
في المثال التالي، سنبسط المقادير ذات الأسس الكسرية السالبة.
مثال ٥: تبسيط المقادير ذات الأسس الكسرية السالبة
بسِّط المقدار .
الحل
للتبسيط، نبدأ باستخدام قانون القوى للكسور، والذي ينص على أن: حيث: ،، يمكنهما أخذ أي قيمة حقيقية.
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا:
بعد ذلك، نطبق قانون القوى لحواصل الضرب على البسط والمقام، والذي ينص على أن: حيث ، ، يمكنها أخذ أي قيمة حقيقية.
بالنسبة إلى البسط، يعطينا هذا:
وبالنسبة إلى المقام، يصبح لدينا:
بالتعويض مرة أخرى في المقدار الأصلي، نحصل على:
بعد ذلك، نستخدم قاعدة القسمة للأسس، والتي تنص على أن:
لتسهيل التبسيط وتجنب الخطأ، سنعيد كتابة المقدار بحيث يتم تجميع الحدود المتشابهة معًا.
إذن:
بتبسيط هذا الجزء من المقدار حيث الحدود التي تحتوي على تعطينا:
بالمثل، بتبسيط هذا الجزء من المقدار حيث الحدود التي تحتوي على تعطينا:
وأخيرًا، بالتعويض بكلا الجزأين مرة أخرى في المقدار، نحصل على:
إذن: .
في هذا الشارح، تعرفنا على الأسس السالبة والكسرية، وكيفية تطبيق قوانين الأسس المختلفة لتبسيط المقادير الجبرية.
النقاط الرئيسية
- تطبق أيضًا قوانين الضرب والقسمة والقوى للأسس على الأسس الكسرية والسالبة، والتي هي:
- .
- .
- .
- .
- ، .
- قانون الأسس للأسس السالبة هو:
- قوانين الأسس للأسس الكسرية هي:
- ، لأي قيمة لـ وأي عدد صحيح موجب.
- ، لـ وأي صحيح موجب.
