شارح الدرس: حركة المقذوفات الفيزياء • الصف الأول الثانوي

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحلِّل حركة الأجسام التي تتحرَّك أفقيًّا تحت تأثير عجلة رأسية ثابتة.

تذكَّر أن المقذوفات هي الأجسام التي لها عجلة رأسية منتظمة لا تساوي صفرًا أثناء التحرُّك أفقيًّا بسرعة ثابتة. تُشير حركة المقذوفات إلى حركة أيِّ مقذوف؛ على سبيل المثال، صخرة تَسقط من ارتفاع أو كرة تُرمَى.

إذا كان المقذوف يتحرَّك بسرعة عالية، فقد يكون علينا مراعاة تأثير مقاومة الهواء، إلا أن أغلب المقذوفات التي سنتعامل معها بطيء بما يكفي لنتجاهل هذا التأثير. يعني هذا أن القوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم هي الجاذبية، التي تؤثِّر للأسفل. لذلك، فإن السرعة الأفقية للجسم تكون ثابتة أثناء حركته.

يوضِّح الشكل التالي مقذوفًا كتلته أُطلِق بسرعة بزاوية من الأفقي.

السرعة الأفقية للمقذوف، ، تساوي . وبالمثل، فإن السرعة الرأسية للمقذوف، ، تساوي .

لدينا ثلاث كميات مهمة نريد حسابها هنا، وهي:

• زمن التحليق.
• المدى (المسافة الأفقية التي يقطعها المقذوف).
• أقصى ارتفاع؛ أي أقصى مسافة رأسية يقطعها المقذوف.

هذه الكميات الثلاث موضَّحة في الشكل الآتي لمقذوف يُطلَق من الارتفاع نفسه الذي تنتهي عنده حركته.

يمكن إيجاد زمن تحليق المقذوف من خلال البدء بمعادلة الإزاحة، ، التي تتضمَّن العجلة الثابتة، ، والسرعة الابتدائية، ، خلال الزمن، :

سنتناول الحركة الرأسية فقط؛ لذا، يمكننا التعويض عن السرعة الابتدائية بالسرعة الرأسية الابتدائية، ، وعن العجلة الثابتة بعجلة الجاذبية، . لاحِظ أن الجاذبية تؤثِّر للأسفل، وهي سالبة في الاتجاه الرأسي؛ لذلك، ستكون حدًّا سالبًا في الحسابات التي نجريها. بذلك، نحصل على معادلة للإزاحة الرأسية، :

يمكننا أخذ عاملًا مشتركًا:

علينا أن نعرف متى تساوي الإزاحة الرأسية للمقذوف صفرًا، :

نستنتج من هذا أن الإزاحة الرأسية تساوي صفرًا مرتين: إحداهما عند بداية حركة المقذوف، والأخرى عند نهاية حركة المقذوف.

في نهاية الحركة، يكون الزمن . يمكن إيجاد الحل الثاني عندما يكون:

ثم نُعيد ترتيب المعادلة لجعل المتغيِّر التابع:

وأخيرًا، بإضافة السرعة الرأسية الابتدائية، ، نحصل على معادلة زمن التحليق:

نتناول مثالًا يطلب منا حساب زمن التحليق لمقذوف ما.

مثال ١: حساب زمن تحليق مقذوف

مقذوف سرعته الابتدائية 25 m/s، أُطلِق بزاوية قياسها أعلى الأفقي. ما الزمن المستغرَق بين مغادرة المقذوف الأرض وعودته إليها على نفس الارتفاع الذي أُطلِق منه؟

الحل

نبدأ برسم شكل يمثِّل هذه الحالة.

يَطلب السؤال إيجاد زمن تحليق المقذوف.

لحساب زمن التحليق، نستخدم المعادلة الآتية:

كما ذُكر في معطيات السؤال، أُطلِق المقذوف بزاوية أعلى الأفقي، بسرعة ابتدائية مقدارها ؛ ومن ثَمَّ، تُحسَب السرعة الرأسية للمقذوف على الصورة: ما يعطينا سرعة متجهة رأسية (لأقرب منزلتين عشريتين) تساوي:

بالتعويض بهذه القيمة في معادلة زمن التحليق، مع عجلة الجاذبية ، نحصل على (لأقرب منزلتين عشريتين):

يمكننا استخدام معادلة زمن تحليق المقذوفات لحساب المسافة الأفقية المقطوعة، التي تُعرَف أيضًا باسم المدى. ولأنه لا توجد قوة تؤثِّر على الجسم في الاتجاه الأفقي، فإن معادلة الإزاحة الأفقية، ، للمقذوف في نهاية الحركة هي ببساطة السرعة الأفقية للمقذوف، ، مضروبة في زمن التحليق، :

بإدخال السرعة الأفقية، ، ومعادلة زمن التحليق، ، نحصل على:

وبذلك، نكون قد حصلنا على المعادلة النهائية لمدى المقذوف:

باستخدام الصيغة ، يمكن كتابة مدى المقذوف على الصورة:

نتناول مثالًا على سؤال يطلب منا حساب مدى مقذوف.

يمكننا حساب أقصى ارتفاع للمقذوف بالنظر إلى قمة المسار. يحدث هذا عندما تساوي السرعة الرأسية للمقذوف صفرًا.

يمكننا، في هذه الحالة، أن نبدأ بمعادلة حركة بعجلة ثابتة أخرى تربط بين السرعة أثناء الحركة، ، والسرعة الابتدائية، ، والعجلة الثابتة، ، وإزاحة الجسم عند بداية الحركة، :

عند حساب أقصى ارتفاع، قد يكون علينا إيجاد الإزاحة الرأسية، ، للمقذوف بمعلومية سرعته الرأسية الابتدائية عند النقطة؛ حيث تساوي السرعة الرأسية للمقذوف صفرًا، . عند هذه النقطة، تكون الإزاحة الرأسية للمقذوف في أقصى ارتفاع لها، والتي نكتبها على الصورة . وكما فعلنا في الحسابات السابقة، تؤثِّر عجلة الجاذبية في الاتجاه الرأسي السالب؛ ومن ثَمَّ، فإن :

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لجعل المتغيِّر التابع عن طريق جمع على طرفَيْها أولًا:

بعد ذلك، نقسم الطرفين على ، لنحصل على:

ثم يمكننا تضمين تعبير السرعة الرأسية الابتدائية لمقذوف أُطلِق بسرعة بزاوية قياسها أعلى الأفقي، . ما يعطينا المعادلة النهائية لدينا لأقصى ارتفاع:

والآن، نتناول مثالًا علينا حله بطريقة عكسية بمعلومية أقصى ارتفاع لإيجاد الزاوية أعلى الأفقي التي أُطلِق بها المقذوف.

يجب أن نكون على دراية أيضًا بالتغيُّرات في الطاقة الميكانيكية أثناء حركة المقذوفات.

فبدون وجود مقاومة هواء، تظل الطاقة الميكانيكية محفوظة أثناء الحركة. يعني هذا أن مجموع طاقة الحركة وطاقة وضع الجاذبية عند أيِّ نقطة خلال الحركة ثابت:

ولكن، عندما تكون مقاومة الهواء كبيرة، أو بمعنى آخر عندما تتحرَّك المقذوفات بسرعات كبيرة، تُفقَد بعض الطاقة الميكانيكية أثناء الحركة.

تتغيَّر القوة الناتجة عن مقاومة الهواء طبقًا لسرعة المقذوف، وهي علاقة غير خطية؛ ومن ثَمَّ، فإن فقدان الطاقة الميكانيكية أثناء الحركة يكون غير خطي أيضًا.

نتناول سؤالًا عن الطاقة الميكانيكية لمقذوف.

مثال ٤: الطاقة الميكانيكية لمقذوف أثناء الحركة

يوضِّح التمثيل البياني كيفية تغيُّر الإزاحة الرأسية لمقذوف من موضع انطلاقه مع الإزاحة الأفقية له من موضع انطلاقه. أيٌّ من التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل بطريقة صحيحة كيفية تغيُّر الطاقة الميكانيكية للمقذوف مع الزمن المستغرَق من لحظة انطلاقه إلى لحظة هبوطه؟

الحل

عندما ننظر إلى التمثيل البياني للإزاحة الرأسية والأفقية، نلاحظ على الفور أن المقذوف تباطأ أثناء الحركة. يعني هذا أنه فقد بعض الطاقة الميكانيكية بسبب مقاومة الهواء. وبذلك، نستبعد التمثيل البياني V.

بعد ذلك، نلاحظ أن المقذوف يظل في حالة حركة عندما يُنهي مساره، ما يعني أنه يظل محتفظًا ببعض الطاقة الميكانيكية في نهاية الحركة. يعني هذا أن التمثيلين البيانيين II وIV لا يمكن أن يمثِّلا الطاقة الميكانيكية للمقذوف بشكل صحيح.

بهذه الطريقة، يتبقى لدينا التمثيلان البيانيان I وIII: كلاهما يوضِّح أن الطاقة الميكانيكية تتناقص بمرور الزمن، لكنها تظل أكبر من الصفر عند سقوط المقذوف. مع ذلك، فإن التمثيل البياني I غير خطي، أما التمثيل البياني III فخطي.

تذكَّر أن مقاومة الهواء غير خطية إلى حدٍّ كبير، وتتسبَّب في فقدان غير خطي للطاقة الميكانيكية. يعني هذا أن التمثيل البياني III لا يمكن أن يمثِّل بشكل صحيح الطاقة الميكانيكية للمقذوف.

وبناءً على ذلك، نستنتج أن التمثيل البياني I يمثِّل بشكل صحيح الطاقة الميكانيكية للمقذوف من لحظة انطلاقه حتى لحظة هبوطه.

عندما تكون نقطة انطلاق المقذوف أعلى نقطة هبوطه أو أسفلها، سيكون علينا أن نفكِّر في المعادلة العامة للإزاحة الرأسية للمقذوف:

كما هو الحال في المعادلات السابقة، الإزاحة الرأسية للمقذوف، السرعة الرأسية الابتدائية للمقذوف، الزمن، عجلة الجاذبية.

تختلف الإزاحة الرأسية لنقطة الهبوط عن تلك الخاصة بنقطة الانطلاق. نكتب هذا الفرق على الصورة . يمكننا التعويض بذلك في معادلة الإزاحة الرأسية عند الزمن ؛ أي زمن تحليق المقذوف:

لاحظ أن سيكون موجبًا إذا كانت نقطة هبوط المقذوف تقع أعلى نقطة انطلاقه، وسالبًا إذا كانت نقطة الهبوط أسفل نقطة الانطلاق.

لإيجاد زمن التحليق، يمكننا أن نُعيد ترتيب المعادلة أولًا لتصبح على الصورة التربيعية القياسية بدلالة :

يمكننا حل هذه المعادلة التربيعية لإيجاد زمن التحليق، .

وبناءً على ذلك، نحسب المدى الأفقي للمقذوف، ، كما فعلنا من قبل: حيث السرعة الأفقية الابتدائية للمقذوف، زمن التحليق.

وأخيرًا، نتناول سؤالًا أكثر تعقيدًا إلى حدٍّ ما؛ تكون فيه نقطة إطلاق المقذوف فوق نقطة هبوطه.