شارح الدرس: خواص النهايات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواصَّ النهايات؛ مثل: نهايات الجمع والطرح، وحاصل الضرب، وخارج القسمة لدالتين أو أكثر، ونهاية الدوال المركَّبة.

يُعتبَر مفهومَا النهايات والتقارب من الأفكار الرئيسية التي تُشكِّل أساس التحليل الذي يمثِّل إحدى الأفكار المركزية في الرياضيات، ويظهر دائمًا في جميع المناهج التعليمية في الرياضيات على المستوى الجامعي. في أغلب الأحيان، يبدأ هذا بما يُطلَق عليه تعريف إبسلون للتقارب، وهو الذي يُحوِّل المفاهيم الغامضة والبديهية إلى أفكار رياضية قوية يمكن تعريفها بدقة.

على قَدْر أن فَهْم تعريف إبسلون أمر أساسي في وضع النظريات والنتائج ذات الصلة، فإن فَهْم النهايات من الناحية العملية لا يتطلَّب عمومًا مستوى التفاصيل نفسها. ومن المفيد أنه يمكن تلخيص العمليات الحسابية التي تستخدم النهايات عادةً في سلسلة منظَّمة من النتائج المفيدة، وهي التي يشبه العديد منها كثيرًا قواعد الجبر العادية التي اعتدنا عليها. على وجه التحديد، سنتعامل مع نظريات جبر النهايات، وهي التي تقلِّل بنسبة كبيرة مقدار المعرفة النظرية اللازمة لفَهْم الأمثلة العملية. في التعريف التالي، سنقدِّم مجموعة مختارة من النتائج التي سنستخدمها على الفور في الأمثلة المذكورة في هذا الشارح.

من المفيد في هذه المرحلة تقديم نموذج استباقي لتذكُّر النتائج الرئيسية التي حصلنا عليها من نظريات جبر النهايات. وفي هذه الحالة، تكون النسخة النصية المكتوبة مفيدة جدًّا. كما سنرى بعد قليل، يكون من المفيد جدًّا تذكُّر عبارات مثل: «نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات»، أو تعبيرات أكثر تعقيدًا مثل: «تركيب النهايات يساوي نهاية التراكيب». هاتان العبارتان ليستَا بالضرورة منطقيتين، لكنَّهما قد تمثِّلان تذكرة مفيدة سريعة لتذكُّر الخيارات المتاحة عند التعامل مع التعبيرات التي تتضمَّن عدة نهايات.

هذه مجموعة شاملة من النتائج لتقديم تعريف متكامل، لكنَّ شرحها واستخدامها أبسط مما قد يبدو واضحًا في البداية. بالممارسة سنتَّجه إلى استخدام النتائج المذكورة أعلاه دون مزيد من التفكير أو البحث. هذه النتائج ليست معقَّدة على الإطلاق كما تبدو من الوهلة الأولى، ويمكننا في الواقع أن نتذكَّر فقط قواعد الجبر المعتادة، ثم نطبِّقها على النهايات مباشرة. من المؤكَّد أن إثبات كل نتيجة من النتائج سيكون أمرًا أكثر صعوبة، ويعتمد على فَهْم واضح لتعريف إبسلون؛ وهو موضوع خارج نطاق هذا الشارح.

سنشرح النتائج المذكورة أعلاه من خلال الأمثلة الواردة في هذا الشارح. قبل فعل ذلك علينا ملاحظة كيف أن العديد من النتائج السابقة سيمتدُّ نطاقها بمعناها الأعم ليشمل أكثر من دالتين. على سبيل المثال، نفترض أن هذه الدوال الثلاث: ، ، كلها متصلة عند ، وأن:

فإن النتيجة التي تنصُّ على أن نهاية المجموع تساوي مجموع الدوال ما زالت صحيحة، وكذلك نهاية الفرق تساوي الفرق بين الدوال. بترجمة ذلك إلى تعبير رياضي فهذا يعني أن:

بالمثل، سنجد أيضًا أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات. بعبارة أخرى، سنحصل على النتيجة التالية:

تتضمَّن الصيغة العامة لهذه النتيجة أيَّ عدد من النهايات المعينة، وتنطبق على التعبيرات الموسَّعة. سنطبِّق الآن كل هذه النتائج على الأمثلة التالية.

نتائج جبر النهايات فعَّالة جدًّا لدرجة أنه يمكن توسيع نطاقها بسهولة ليشمل أمثلة تبدو معقَّدة للغاية. وكما يمكننا التعامل بسهولة مع معظم المقادير الجبرية التقليدية، فهناك تغييرات قليلة جدًّا على هذه العمليات عندما تتضمَّن النهايات. ما دمنا لا نحاول أبدًا القسمة على صفر (وهو أمر ليس مُحبَّذًا في المجتمع الرياضي) فإن هناك القليل من النتائج المترتِّبة على حلِّ المسائل بهذه الطريقة بالضبط. قد يكون من المفيد تضمين خطوات أكثر مما هو ضروري عند إيجاد قيمة المقادير التي تتضمَّن عدة نهايات، وفي المثال التالي سنزيد قليلًا من عدد الخطوات اللازمة. حتى يتمَّ إتقان هذه الأساليب فإنه من الأسلم كتابة خطوات أكثر من المطلوب كما سنوضِّح لاحقًا.

حتى الآن في هذا الشارح، تناولنا عدة أمثلة على تطبيقات تتضمَّن جبر النهايات. في النهاية، يمكننا التفكير في هاتين المسألتين باعتبارهما إيجاد قيمة مقدار جبري يحتوي على نهايات. تُمكِّننا هذه الطريقة من التفكير باستخدام القواعد القياسية للجبر دون كثير من التفكير أو البحث. وبهذه الطريقة من الممكن حلُّ المعادلات لإيجاد النهايات غير المعطاة. مثالًا بسيطًا للغاية على ذلك؛ افترض أننا نعلم أن: وأن:

إذا طُلِب منَّا حساب نهاية ؛ حيث ، فإنه يمكننا تطبيق النتيجة المحدَّدة من جبر النهايات التي تنصُّ على أن نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات. هذا يُمكِّننا من إعادة كتابة المعادلة أعلاه على الصورة:

بما أننا نعلم نهاية ؛ حيث ، إذن نحصل على: وهو ما يمكن إعادة ترتيبه على الفور لنحصل على:

يتوسَّع هذا المبدأ المتعلِّق بحلِّ المعادلات التي تحتوي على نهايات عن طريق استخدام النتائج الأخرى من جبر النهايات. سنشرح ذلك في المثال التالي.

إن الحيلة المتمثِّلة في استخدام دالة مساعدة ليست مطلوبة عند الإجابة عن تلك الأسئلة، ولكنَّ لها تأثيرًا مفيدًا في صياغة السؤال بواسطة نتائج جبر النهايات. وعن طريق تنوُّع نتائج هذه المجموعة من النظريات التي نعلمها يمكن عادةً الإجابة عن أيِّ سؤال باستخدام أكثر من طريقة. على سبيل المثال، في السؤال السابق كان بإمكاننا تذكُّر النتيجة العامة وهي: لأيِّ ثابت . هذا سيمكِّننا من إجراء الناتج المكافئ: وهو الذي يمكننا من خلاله حلُّ المسألة باستخدام خطوات مشابِهة للمثال السابق. تمكِّننا أيضًا المعرفة الإضافية بأن من التعامل مع هذا الحدِّ على أنه ثابت.

في المثال التالي سنستخدم خواصَّ النهايات لإيجاد قيم نهايات تتضمَّن دوالَّ مركَّبة.

لقد رأينا في هذا الشارح أن نتائج جبر النهايات يمكن أن يكون استخدامها مفيدًا جدًّا بمجرد فَهْم استخدامها بشكل صحيح. وما دمنا قد اعتدنا على استخدام القواعد الجبرية التقليدية فإن استخدام النهايات في المعادلات لا يمثِّل تعقيدًا كبيرًا. ومع ذلك، فإنه من المستحسن دائمًا حلُّ هذه المسائل بأخذ نتائج جبر النهايات المستخدَمة لإيجاد الحل في الاعتبار. في المثال الأخير سنجمع العديد من الطرق التي تناولناها سابقًا في هذا الشارح، مع توسيع نطاق هذه الطرق ليشمل الدوال المعرَّفة بيانيًّا. لم نهتمَّ بقدر كبير بالشروط التي ينبغي علينا فرضها على الدوال من أجل تطبيق نتائج جبر النهايات. إلا أنه في الواقع، يُشترَط أن تكون جميع الدوال المتضمَّنة متصلة في المنطقة التي نهتمُّ بإيجاد النهاية عندها. وعند التعبير عن الدالة بيانيًّا نحتاج إلى أن يكون التمثيل البياني لها أملسَ حول هذه النهاية، وليس بالضرورة أن يكون كذلك في مناطق أخرى.

مثال ٦: إيجاد قيم نهايات تتضمَّن دوال حاصل الضرب والقوى الممثَّلة بيانيًّا

انظر إلى التمثيل البياني للدالة .

أوجد .

الحل

إن التمثيل البياني أعلاه ليس أملسَ في جميع المناطق؛ وهو ما يعني أن الدالة غير متصلة لجميع الأعداد الحقيقية. ونجد بالفعل فجوة في رسم التمثيل البياني عندما يأخذ قيمًا بين و. على النقيض، فإن الدالة ملساء في منطقة ؛ وهو ما يعني أنه يمكننا افتراض أن الدالة متصلة عند هذه النقطة. يعني هذا أنه يمكننا إيجاد قيمة من خلال قراءة قيمة الدالة عند هذه النقطة من التمثيل البياني.

من التمثيل البياني أعلاه يمكننا ملاحظة أن:

سنبدأ الآن بإيجاد قيمة النهاية كما هو موضَّح في السؤال. نحن نعلم أنه يمكن نقل الأس ٢ لتبسيط العمليات الحسابية باستخدام إحدى النتائج من جبر النهايات تحديدًا كما يلي:

يمكننا الآن تذكُّر نتيجة أخرى من جبر النهايات، وهي التي تنصُّ على أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات. بعبارة أخرى، يمكننا تبسيط التعبير السابق في الصورة:

يمكننا بسهولة ملاحظة أن ، ولدينا الناتج الذي حصلنا عليه من المعادلة (٣)؛ وهما يسمحان لنا بتبسيط التعبير السابق كما يلي:

نتائج جبر النهايات هي إحدى أبسط الأدوات وأكثرها كفاءة عند محاولة إيجاد قيم النهايات لدوال مركَّبة أو غير بسيطة. بمجرد فَهْم تعريف إبسلون سيمثِّل إثبات نتائج جبر النهايات تجربة قيِّمة لأيِّ طالب يدرس هذا الموضوع حديثًا. وبمجرد إثبات هذه النتائج (على سبيل المثال، باعتبارها جزءًا من منهج جامعي قياسي في مجال التحليل) يمكن تطبيقها بطريقة بديهية نسبيًّا، بشرط اتخاذ الاحتياطات اللازمة (مثل التأكُّد من أننا لا نقسم أبدًا على دالة نهايتها تساوي صفرًا عند النقطة التي نهتمُّ بها). بوجه عامٍّ، سنتعامل مع دوال متصلة عند جميع عناصر مجالها، ومن ثَمَّ لن تكون هذه مشكلة على الأرجح. لكن، إذا كانت لدينا دالة متعدِّدة التعريف (مثل تلك المذكورة في السؤال السابق) فإن الأمر يصبح أكثر صعوبة.