شارح الدرس: خواص النهايات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خواصَّ النهايات؛ مثل: نهايات الجمع والطرح، وحاصل الضرب، وخارج القسمة لدالتين أو أكثر، ونهاية الدوال المركَّبة.

يُعتبَر مفهومَا النهايات والتقارب من الأفكار الرئيسية التي تُشكِّل أساس التحليل الذي يمثِّل إحدى الأفكار المركزية في الرياضيات، ويظهر دائمًا في جميع المناهج التعليمية في الرياضيات على المستوى الجامعي. في أغلب الأحيان، يبدأ هذا بما يُطلَق عليه تعريف إبسلون للتقارب، وهو الذي يُحوِّل المفاهيم الغامضة والبديهية إلى أفكار رياضية قوية يمكن تعريفها بدقة.

على قَدْر أن فَهْم تعريف إبسلون أمر أساسي في وضع النظريات والنتائج ذات الصلة، فإن فَهْم النهايات من الناحية العملية لا يتطلَّب عمومًا مستوى التفاصيل نفسها. ومن المفيد أنه يمكن تلخيص العمليات الحسابية التي تستخدم النهايات عادةً في سلسلة منظَّمة من النتائج المفيدة، وهي التي يشبه العديد منها كثيرًا قواعد الجبر العادية التي اعتدنا عليها. على وجه التحديد، سنتعامل مع نظريات جبر النهايات، وهي التي تقلِّل بنسبة كبيرة مقدار المعرفة النظرية اللازمة لفَهْم الأمثلة العملية. في التعريف التالي، سنقدِّم مجموعة مختارة من النتائج التي سنستخدمها على الفور في الأمثلة المذكورة في هذا الشارح.

من المفيد في هذه المرحلة تقديم نموذج استباقي لتذكُّر النتائج الرئيسية التي حصلنا عليها من نظريات جبر النهايات. وفي هذه الحالة، تكون النسخة النصية المكتوبة مفيدة جدًّا. كما سنرى بعد قليل، يكون من المفيد جدًّا تذكُّر عبارات مثل: «نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات»، أو تعبيرات أكثر تعقيدًا مثل: «تركيب النهايات يساوي نهاية التراكيب». هاتان العبارتان ليستَا بالضرورة منطقيتين، لكنَّهما قد تمثِّلان تذكرة مفيدة سريعة لتذكُّر الخيارات المتاحة عند التعامل مع التعبيرات التي تتضمَّن عدة نهايات.

تعريف: خواصُّ النهايات

افترض أن: ــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢󰎨(𞸎)=𞸏،𞸓(𞸎)=𞸆 وأن هاتين الدالتين متصلتان عند النقطة 𞸎=𞸢. إذن، النتائج التالية تكون صحيحة بالنسبة للجمع والطرح: ـــــــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢(󰎨(𞸎)±𞸓(𞸎))=󰃁󰎨(𞸎)󰃀±󰃁𞸓(𞸎)󰃀=𞸏±𞸆.

كما تنطبق نتيجة مماثلة على الضرب، وتنصُّ على ما يلي: ـــــــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))=󰃁󰎨(𞸎)󰃀×󰃁𞸓(𞸎)󰃀=𞸏𞸆.

علاوةً على ذلك، إذا افترضنا أن 𞸆٠؛ فإننا نحصل على النتيجة: ـــــــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=𞸏𞸆.

بالإضافة إلى ذلك، إذا كان 𞸊 ثابتًا حقيقيًّا فإننا نحصل على النتيجتين: ــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢𞸊󰎨(𞸎)=𞸊󰃁󰎨(𞸎)󰃀=𞸊𞸏 و ــــــــــ𞸎𞸢𞸊𞸎𞸢𞸊𞸊(󰎨(𞸎))=󰃁󰎨(𞸎)󰃀=𞸏.

ترتبط النتيجة النهائية التي سنستخدمها بتركيب الدالة، ويمكن التعبير عنها على النحو التالي: ــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨󰃁𞸓(𞸎)󰃀=󰎨(𞸆).

لكي تتحقَّق هذه النتيجة النهائية فإن الدالة 󰎨(𞸎) يجب أن تكون متصلة عند 𞸎=𞸆.

يُرجَى ملاحظة أن الطريقة الأكثر شيوعًا هي الإشارة إلى هذه المجموعة من النتائج باعتبارها نظريات «جبر النهايات»، وهذه هي الطريقة التي سنشير إليها بها في بقية الشارح.

هذه مجموعة شاملة من النتائج لتقديم تعريف متكامل، لكنَّ شرحها واستخدامها أبسط مما قد يبدو واضحًا في البداية. بالممارسة سنتَّجه إلى استخدام النتائج المذكورة أعلاه دون مزيد من التفكير أو البحث. هذه النتائج ليست معقَّدة على الإطلاق كما تبدو من الوهلة الأولى، ويمكننا في الواقع أن نتذكَّر فقط قواعد الجبر المعتادة، ثم نطبِّقها على النهايات مباشرة. من المؤكَّد أن إثبات كل نتيجة من النتائج سيكون أمرًا أكثر صعوبة، ويعتمد على فَهْم واضح لتعريف إبسلون؛ وهو موضوع خارج نطاق هذا الشارح.

سنشرح النتائج المذكورة أعلاه من خلال الأمثلة الواردة في هذا الشارح. قبل فعل ذلك علينا ملاحظة كيف أن العديد من النتائج السابقة سيمتدُّ نطاقها بمعناها الأعم ليشمل أكثر من دالتين. على سبيل المثال، نفترض أن هذه الدوال الثلاث: 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)، 𞹒(𞸎) كلها متصلة عند 𞸎=𞸢، وأن: ـــــــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢󰎨(𞸎)=𞸏،𞸓(𞸎)=𞸆،𞹒(𞸎)=𞸇.

فإن النتيجة التي تنصُّ على أن نهاية المجموع تساوي مجموع الدوال ما زالت صحيحة، وكذلك نهاية الفرق تساوي الفرق بين الدوال. بترجمة ذلك إلى تعبير رياضي فهذا يعني أن: ــــــــــــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢(󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)+𞹒(𞸎))=󰃁󰎨(𞸎)󰃀+󰃁𞸓(𞸎)󰃀+󰃁𞹒(𞸎)󰃀=𞸏+𞸆+𞸇.

بالمثل، سنجد أيضًا أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات. بعبارة أخرى، سنحصل على النتيجة التالية: ــــــــــــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)𞹒(𞸎))=󰃁󰎨(𞸎)󰃀×󰃁𞸓(𞸎)󰃀×󰃁𞹒(𞸎)󰃀=𞸏𞸆𞸇.

تتضمَّن الصيغة العامة لهذه النتيجة أيَّ عدد من النهايات المعينة، وتنطبق على التعبيرات الموسَّعة. سنطبِّق الآن كل هذه النتائج على الأمثلة التالية.

مثال ١: إيجاد قيم نهايات تتضمَّن جمع دوال وطرحها

إذا كانت ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)=٣، ـــــ𞸎٢𞸓(𞸎)=٧، ـــــ𞸎٢𞹒(𞸎)=١؛ فأوجد ـــــ𞸎٢(󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)𞹒(𞸎)).

الحل

نتذكَّر نظريات جبر النهايات لحلِّ هذه المسألة. ونتذكَّر النتيجة التي تنصُّ على أن نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات. بتطبيق ذلك على هذا المثال بالتحديد فإن النتيجة تكون: ــــــــــــــــــــ𞸎٢𞸎٢𞸎٢𞸎٢(󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)𞹒(𞸎))=󰃁󰎨(𞸎)󰃀+󰃁𞸓(𞸎)󰃀󰃁𞹒(𞸎)󰃀.

نحن لدينا بالفعل هذه النهايات المنفردة في نصِّ السؤال، وهو ما يعني أنه يمكننا الحصول على الناتج: ـــــ𞸎٢(󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎)𞹒(𞸎))=٣+(٧)(١)=٣.

نتائج جبر النهايات فعَّالة جدًّا لدرجة أنه يمكن توسيع نطاقها بسهولة ليشمل أمثلة تبدو معقَّدة للغاية. وكما يمكننا التعامل بسهولة مع معظم المقادير الجبرية التقليدية، فهناك تغييرات قليلة جدًّا على هذه العمليات عندما تتضمَّن النهايات. ما دمنا لا نحاول أبدًا القسمة على صفر (وهو أمر ليس مُحبَّذًا في المجتمع الرياضي) فإن هناك القليل من النتائج المترتِّبة على حلِّ المسائل بهذه الطريقة بالضبط. قد يكون من المفيد تضمين خطوات أكثر مما هو ضروري عند إيجاد قيمة المقادير التي تتضمَّن عدة نهايات، وفي المثال التالي سنزيد قليلًا من عدد الخطوات اللازمة. حتى يتمَّ إتقان هذه الأساليب فإنه من الأسلم كتابة خطوات أكثر من المطلوب كما سنوضِّح لاحقًا.

مثال ٢: إيجاد قيم نهايات تتضمَّن حاصل ضرب الدوال والفرق بينها

افترض أنَّ ـــــ𞸎٣󰎨(𞸎)=٥، ـــــ𞸎٣𞸓(𞸎)=٨، ـــــ𞸎٣𞹒(𞸎)=٩. أوجد ـــــ𞸎٣(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)𞹒(𞸎)).

الحل

يشير جبر النهايات إلى أن نهاية الفرق تساوي الفرق بين النهايات. ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة المقدار الأصلي على الصورة: ـــــــــــــــ𞸎٣𞸎٣𞸎٣(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)𞹒(𞸎))=(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))󰃁𞹒(𞸎)󰃀.

ينصُّ السؤال على أن ـــــ𞸎٣𞹒(𞸎)=٩، وهذا يعني أن: ــــــــــــــــــــ𞸎٣𞸎٣𞸎٣𞸎٣(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)𞹒(𞸎))=(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))󰃁𞹒(𞸎)󰃀=(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))٩.

كل ما تبقَّى الآن هو إيجاد قيمة المقدار المتبقِّي الذي يتضمَّن النهايات. لفعل ذلك يمكننا تذكُّر أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات، وهو ما يُمكِّننا من كتابة: ـــــــــــــــ𞸎٣𞸎٣𞸎٣(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))٩=󰃁󰎨(𞸎)󰃀󰃁𞸓(𞸎)󰃀٩.

نحن نعرف بالفعل أن ـــــ𞸎٣󰎨(𞸎)=٥، وأن ـــــ𞸎٣𞸓(𞸎)=٨؛ وهو ما يعني أنه يمكننا إيجاد قيمة: ـــــــــــــــ𞸎٣𞸎٣𞸎٣(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))٩=󰃁󰎨(𞸎)󰃀󰃁𞸓(𞸎)󰃀٩=٥×٨٩=١٣.

حتى الآن في هذا الشارح، تناولنا عدة أمثلة على تطبيقات تتضمَّن جبر النهايات. في النهاية، يمكننا التفكير في هاتين المسألتين باعتبارهما إيجاد قيمة مقدار جبري يحتوي على نهايات. تُمكِّننا هذه الطريقة من التفكير باستخدام القواعد القياسية للجبر دون كثير من التفكير أو البحث. وبهذه الطريقة من الممكن حلُّ المعادلات لإيجاد النهايات غير المعطاة. مثالًا بسيطًا للغاية على ذلك؛ افترض أننا نعلم أن: ـــــ𞸎𞸢󰎨(𞸎)=٣ وأن: ـــــ𞸎𞸢(󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎))=٠١.

إذا طُلِب منَّا حساب نهاية 𞸓(𞸎)؛ حيث 𞸎𞸢، فإنه يمكننا تطبيق النتيجة المحدَّدة من جبر النهايات التي تنصُّ على أن نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات. هذا يُمكِّننا من إعادة كتابة المعادلة أعلاه على الصورة: ـــــــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢𞸎𞸢(󰎨(𞸎)+𞸓(𞸎))=(󰎨(𞸎))+(𞸓(𞸎))=٠١.

بما أننا نعلم نهاية 󰎨(𞸎)؛ حيث 𞸎𞸢، إذن نحصل على: ٣+𞸓(𞸎)=٠١،ـــــ𞸎𞸢 وهو ما يمكن إعادة ترتيبه على الفور لنحصل على: ـــــ𞸎𞸢𞸓(𞸎)=٧.

يتوسَّع هذا المبدأ المتعلِّق بحلِّ المعادلات التي تحتوي على نهايات عن طريق استخدام النتائج الأخرى من جبر النهايات. سنشرح ذلك في المثال التالي.

مثال ٣: إيجاد قيم النهايات التي تتضمَّن خارج القسمة والدوال المضروبة في عدد ثابت

إذا كانت ـــــ𞸎٢٢󰎨(𞸎)٣𞸎=٣، فأوجد ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎).

الحل

سنبدأ بتكوين دالة مساعدة هي 𞸓(𞸎)=٣𞸎٢، وهي التي تُمكِّننا من كتابة المقدار الأصلي على الصورة التالية:

ـــــ𞸎٢󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=٣.()١

بالإضافة إلى ذلك نوجِد قيمة نهاية 𞸓(𞸎)؛ حيث 𞸎٢، وهي التي تعطينا بوضوح:

ـــــ𞸎٢٢𞸓(𞸎)=٣×(٢)=٢١.()٢

يمكننا الآن تطبيق جبر النهايات مباشرة. وبوجه خاصٍّ، نتذكَّر أن نهاية خارج القسمة تساوي خارج قسمة النهايات. هذا يعني أنه ما دامت نهاية الحدِّ الموجود بالمقام لا تساوي صفرًا فإنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة (١) على الصورة: ـــــــــــــــ𞸎٢𞸎٢𞸎٢󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=٣.

بإعادة ترتيب هذا المقدار نحصل على: ــــــــــ𞸎٢𞸎٢󰎨(𞸎)=٣𞸓(𞸎).

وبمعلومية المعادلة (٢) يمكننا الآن الحصول على النتيجة النهائية: ــــــــــ𞸎٢𞸎٢󰎨(𞸎)=٣𞸓(𞸎)=٣×٢١=٦٣.

إن الحيلة المتمثِّلة في استخدام دالة مساعدة ليست مطلوبة عند الإجابة عن تلك الأسئلة، ولكنَّ لها تأثيرًا مفيدًا في صياغة السؤال بواسطة نتائج جبر النهايات. وعن طريق تنوُّع نتائج هذه المجموعة من النظريات التي نعلمها يمكن عادةً الإجابة عن أيِّ سؤال باستخدام أكثر من طريقة. على سبيل المثال، في السؤال السابق كان بإمكاننا تذكُّر النتيجة العامة وهي: ــــــــــ𞸎𞸢𞸎𞸢(𞸊󰎨(𞸎))=𞸊(󰎨(𞸎)) لأيِّ ثابت 𞸊. هذا سيمكِّننا من إجراء الناتج المكافئ: ــــــــــ𞸎٢٢𞸎٢٢󰎨(𞸎)٣𞸎=١٣󰎨(𞸎)𞸎، وهو الذي يمكننا من خلاله حلُّ المسألة باستخدام خطوات مشابِهة للمثال السابق. تمكِّننا أيضًا المعرفة الإضافية بأن ـــــ𞸎٢٢𞸎=٤ من التعامل مع هذا الحدِّ على أنه ثابت.

مثال ٤: إيجاد قيم نهايات تتضمَّن كلًّا من الفرق بين الدوال وجذورها

افترض أنَّ ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٣، ـــــ𞸎٦𞸓(𞸎)=٨. عيِّن ـــــ𞸎٦󰋴𞸓(𞸎)󰎨(𞸎).

الحل

في البداية، سيكون من المفيد إعادة صياغة النهاية أعلاه بدلالة صيغة مختلفة قليلًا على الصورة: ــــــــــ𞸎٦𞸎٦󰋴𞸓(𞸎)󰎨(𞸎)=(𞸓(𞸎)󰎨(𞸎)).١٢

وبمعلومية جبر النهايات فإننا نعلم أن: ــــــــــ𞸎٦𞸎٦(𞸓(𞸎)󰎨(𞸎))=󰃁(𞸓(𞸎)󰎨(𞸎))󰃀.١٢١٢

يمكننا الآن تذكُّر أن نهاية الفرق تساوي الفرق بين النهايات، وهو ما يعني أنه يمكننا كتابة: 󰃁(𞸓(𞸎)󰎨(𞸎))󰃀=󰃁󰃁𞸓(𞸎)󰃀󰃁󰎨(𞸎)󰃀󰃀.ـــــــــــــــ𞸎٦𞸎٦𞸎٦١٢١٢

علمنا من نصِّ السؤال أن ـــــ𞸎٦󰎨(𞸎)=٣، ـــــ𞸎٦𞸓(𞸎)=٨؛ وهو ما يعني أنه يمكن تبسيط المقدار أعلاه في الصورة: 󰃁󰃁𞸓(𞸎)󰃀󰃁󰎨(𞸎)󰃀󰃀=(٨٣)=󰋴٥.ــــــــــ𞸎٦𞸎٦١٢١٢

في المثال التالي سنستخدم خواصَّ النهايات لإيجاد قيم نهايات تتضمَّن دوالَّ مركَّبة.

مثال ٥: إيجاد قيم نهايات تتضمَّن دوالَّ مركَّبة

افترض أن ـــــ𞸎١𞸓(𞸎)=٣. إذا كانت 󰎨(𞸎)=٢𞸎، فأوجد ـــــ𞸎١󰎨(𞸓(𞸎)).

الحل

إن النتيجة المتعلِّقة بهذا السؤال من نظريات جبر النهايات هي كما يلي. افترض أن هناك دالتين 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎)؛ بحيث أن ـــــ𞸎𞸢𞸓(𞸎)=𞸆، وأن الدالة 󰎨(𞸎) متصلة عند 𞸎=𞸆. إذن، نحصل على: ـــــ𞸎𞸢󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨(𞸆).

بتطبيق هذا على السؤال أعلاه نجد أن: ــــــــــ𞸎١𞸎١٣󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨(𞸆)=󰎨(٣)=٢=٨.

لقد رأينا في هذا الشارح أن نتائج جبر النهايات يمكن أن يكون استخدامها مفيدًا جدًّا بمجرد فَهْم استخدامها بشكل صحيح. وما دمنا قد اعتدنا على استخدام القواعد الجبرية التقليدية فإن استخدام النهايات في المعادلات لا يمثِّل تعقيدًا كبيرًا. ومع ذلك، فإنه من المستحسن دائمًا حلُّ هذه المسائل بأخذ نتائج جبر النهايات المستخدَمة لإيجاد الحل في الاعتبار. في المثال الأخير سنجمع العديد من الطرق التي تناولناها سابقًا في هذا الشارح، مع توسيع نطاق هذه الطرق ليشمل الدوال المعرَّفة بيانيًّا. لم نهتمَّ بقدر كبير بالشروط التي ينبغي علينا فرضها على الدوال من أجل تطبيق نتائج جبر النهايات. إلا أنه في الواقع، يُشترَط أن تكون جميع الدوال المتضمَّنة متصلة في المنطقة التي نهتمُّ بإيجاد النهاية عندها. وعند التعبير عن الدالة بيانيًّا نحتاج إلى أن يكون التمثيل البياني لها أملسَ حول هذه النهاية، وليس بالضرورة أن يكون كذلك في مناطق أخرى.

مثال ٦: إيجاد قيم نهايات تتضمَّن دوال حاصل الضرب والقوى الممثَّلة بيانيًّا

انظر إلى التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎).

أوجد ـــــ𞸎١٢(𞸎󰎨(𞸎)).

الحل

إن التمثيل البياني أعلاه ليس أملسَ في جميع المناطق؛ وهو ما يعني أن الدالة غير متصلة لجميع الأعداد الحقيقية. ونجد بالفعل فجوة في رسم التمثيل البياني عندما يأخذ 𞸎 قيمًا بين ٣ و٢. على النقيض، فإن الدالة ملساء في منطقة 𞸎=١؛ وهو ما يعني أنه يمكننا افتراض أن الدالة متصلة عند هذه النقطة. يعني هذا أنه يمكننا إيجاد قيمة ـــــ𞸎١󰎨(𞸎) من خلال قراءة قيمة الدالة عند هذه النقطة من التمثيل البياني.

من التمثيل البياني أعلاه يمكننا ملاحظة أن:

ـــــ𞸎١󰎨(𞸎)=٣.()٣

سنبدأ الآن بإيجاد قيمة النهاية كما هو موضَّح في السؤال. نحن نعلم أنه يمكن نقل الأس ٢ لتبسيط العمليات الحسابية باستخدام إحدى النتائج من جبر النهايات تحديدًا كما يلي: ــــــــــ𞸎١٢𞸎١٢(𞸎󰎨(𞸎))=󰃁(𞸎󰎨(𞸎))󰃀.

يمكننا الآن تذكُّر نتيجة أخرى من جبر النهايات، وهي التي تنصُّ على أن نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات. بعبارة أخرى، يمكننا تبسيط التعبير السابق في الصورة: 󰃁(𞸎󰎨(𞸎))󰃀=󰃁󰃁𞸎󰃀󰃁󰎨(𞸎)󰃀󰃀.ـــــــــــــــ𞸎١٢𞸎١𞸎١٢

يمكننا بسهولة ملاحظة أن ـــــ𞸎١𞸎=١، ولدينا الناتج الذي حصلنا عليه من المعادلة (٣)؛ وهما يسمحان لنا بتبسيط التعبير السابق كما يلي: 󰃁(𞸎󰎨(𞸎))󰃀=(١×٣)=٩.ـــــ𞸎١٢٢

نتائج جبر النهايات هي إحدى أبسط الأدوات وأكثرها كفاءة عند محاولة إيجاد قيم النهايات لدوال مركَّبة أو غير بسيطة. بمجرد فَهْم تعريف إبسلون سيمثِّل إثبات نتائج جبر النهايات تجربة قيِّمة لأيِّ طالب يدرس هذا الموضوع حديثًا. وبمجرد إثبات هذه النتائج (على سبيل المثال، باعتبارها جزءًا من منهج جامعي قياسي في مجال التحليل) يمكن تطبيقها بطريقة بديهية نسبيًّا، بشرط اتخاذ الاحتياطات اللازمة (مثل التأكُّد من أننا لا نقسم أبدًا على دالة نهايتها تساوي صفرًا عند النقطة التي نهتمُّ بها). بوجه عامٍّ، سنتعامل مع دوال متصلة عند جميع عناصر مجالها، ومن ثَمَّ لن تكون هذه مشكلة على الأرجح. لكن، إذا كانت لدينا دالة متعدِّدة التعريف (مثل تلك المذكورة في السؤال السابق) فإن الأمر يصبح أكثر صعوبة.

النقاط الرئيسية

افترض أن 󰎨(𞸎)، 𞸓(𞸎) دالتان متصلتان عند 𞸎=𞸢. لنفترض كذلك أن 𞸊 هو ثابت حقيقي، وأن ـــــ𞸎𞸢󰎨(𞸎)=𞸏، ـــــ𞸎𞸢𞸓(𞸎)=𞸆؛ حيث 𞸆٠. إذن، تكون النتائج التالية من نظريات جبر النهايات صحيحة:

  • ـــــ𞸎𞸢(󰎨(𞸎)±𞸓(𞸎))=𞸏±𞸆
  • ـــــ𞸎𞸢(󰎨(𞸎)𞸓(𞸎))=𞸏𞸆
  • ـــــ𞸎𞸢󰎨(𞸎)𞸓(𞸎)=𞸏𞸆
  • ـــــ𞸎𞸢𞸊󰎨(𞸎)=𞸊𞸏
  • ـــــ𞸎𞸢𞸊𞸊(󰎨(𞸎))=𞸏
  • ـــــ𞸎𞸢󰎨(𞸓(𞸎))=󰎨(𞸆)

قد يكون من المفيد ربط التعبيرات التالية بكل نتيجة من هذه النتائج؛ حيثما أمكن: «نهاية المجموع تساوي مجموع النهايات»، و«نهاية حاصل الضرب تساوي حاصل ضرب النهايات».

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.