شارح الدرس: التمثيلات البيانية للدوال المتعدِّدة التعريف الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: تحديد نوع الدالة المُمثَّلة في التمثيل البياني

ما نوع الدالة الموضَّحة بالتمثيل البياني؟

1. دالة زوجية
2. دالة لوغاريتمية
3. دالة متعدِّدة التعريف
4. دالة كثيرة الحدود

الحل

هيَّا نفكِّر في كلِّ خيار من الخيارات.

1. الدالة الزوجية دالة فيها ، لجميع قِيَم في مجال . وهذا يعني أن الدوال الزوجية تكون متماثلة حول المحور ، ولا يَظهَر ذلك في التمثيل البياني المُعطى. على سبيل المثال، ، ولكن إذن ؛ وعليه فالدالة ليست زوجية.

   

2. لوغاريتم قيمة معيَّنة، ولتكن ، يساوي الأُس الذي يجب أن يُرفَع له عدد الأساس للحصول على . وتتكوَّن التمثيلات البيانية للدوال اللوغاريتمية من منحنيات ملساء تتقارب من المحور ، كما نرى في الأمثلة الآتية، أو قد يحدث لها تحويل هندسي. التمثيل البياني المُعطى له أركان حادَّة عند ، ؛ أيْ إنه ليس أملس على مجاله بالكامل، وليس له أيضًا خطوط تقارب رأسية. كما أن الدوال اللوغاريتمية تكون غير مُعرَّفة لقِيَم السالبة، بعبارة أخرى: مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. يمثِّل التمثيل البياني المُعطى دالة مجالها هو على الأقلِّ، ويتضمَّن ذلك بعض قِيَم السالبة، وعليه فإن التمثيل البياني المُعطى لا يمثِّل دالة لوغاريتمية.

   

3. يتكوَّن التمثيل البياني لهذه الدالة من ثلاث دوالَّ جزئية مختلفة.

   

   1. بالنسبة إلى قِيَم التي تتراوح بين و، يكون التمثيل البياني خطًّا مستقيمًا ميله يساوي ١. يُمكننا كتابة معادلة هذا الخط المستقيم على الصورة: ؛ حيث هو الميل (١)، هو ، إذن . كما نلاحِظ أن الخط المستقيم يمرُّ بالنقطة ، إذن عند ، وهو ما يُساعدنا على حساب قيمة ، وتساوي خمسة. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة المعادلة: .
   2. بالنسبة إلى قِيَم من إلى ٠، يكون التمثيل البياني عبارة عن خط أفقي؛ حيث قيمة تساوي اثنين دائمًا؛ لذا يُمكننا كتابة معادلة هذا الخط على الصورة: .
   3. بالنسبة إلى قِيَم من ٠ إلى ، يكون التمثيل البياني أيضًا خطًّا مستقيمًا ميله يساوي ١. لكن هذه المرة، نلاحِظ أن يساوي اثنين؛ لذا يُمكننا كتابة المعادلة على الصورة: .
   وعلى الرغم من أن السؤال لم يطلب منَّا ذلك، لكنَّنا سنكتب تعريف الدالة كما يأتي:
   إلَّا أنه في هذا التمثيل البياني، نلاحِظ أن قيمة كلِّ دالة جزئية هي نفس قيمة الدالة الجزئية المجاورة لها عند النقطة المُشترَكة، بعبارة أخرى، ترتبط الدوالُّ الجزئية بعضها بالآخَر لتكوِّن دالة متصلة. يصحُّ أيضًا تعريف الدوال الجزئية بأن المجال الجزئي لكلٍّ منها يختلف قليلًا، وذلك عن طريق تعديل اختيار الدالة الجزئية التي تنتمي إليها نقاط الارتباط. في هذه الحالة، التي يكون التوزيع فيها عشوائيًّا، من المعتاد أن تتضمَّن الدالة الجزئية نقطة الطرف الأيسر وتُستثنَى نقطة الطرف الأيمن منها.
   وحقيقة أن الدالة يجب أن تكون مُعرَّفة بدلالة سلسلة من الدوال الجزئية على مجالات جزئية محدَّدة تجعلها دالة متعدِّدة التعريف.
4. الدوال الكثيرات الحدود تتضمَّن جمع، وطرح، وضرب المعامِلات والمتغيِّرات ذات الأُسس الصحيحة غير السالبة. وتكون التمثيلات البيانية للدوال الكثيرات الحدود عبارة عن منحنيات ملساء، ويُمكن تعريفها بمعادلة كثيرة الحدود واحدة. يحتوي التمثيل البياني المُعطى على نقطتين غير ملساوين هما ، ؛ أيْ إنه ليس تمثيلًا بيانيًّا لدالة كثيرة حدود.

   

الدالة الموضَّحة في التمثيل البياني دالة متعدِّدة التعريف (الخيار جـ).

مثال ٢: إيجاد مجال دالة متعدِّدة التعريف بمعلومية تمثيلها البياني

أوجد مجال الدالة المُمثَّلة بالرسم البياني الآتي.

الحل

مجال الدالة هو مجموعة كلِّ القِيَم التي تكون فيها الدالة مُعرَّفة. في التمثيل البياني لهذه الدالة، المجال هو كلُّ قِيَم المرسوم عندها المنحنى. بالنسبة إلى الدالة المتعدِّدة التعريف، يكون المجال هو اتحاد المجالات الجزئية لكلِّ دالة جزئية. وتتكوَّن هذه الدالة المتعدِّدة التعريف من دالتين جزئيتين.

الدالة الجزئية الأولى يمثِّلها شعاع ينتهي بنقطة غير مظلَّلة عند . وتُشير هذه النقطة غير المظلَّلة إلى أن هذه الدالة الجزئية غير مُعرَّفة عند ؛ ولذلك فإن فترتها مفتوحة من اليمين. يُشير السهم إلى أن الدالة الجزئية تستمرُّ إلى ما لا نهاية في اتجاه هذا السهم؛ أيْ باتجاه سالب ما لا نهاية. ومن ثَمَّ، فإن المجال الجزئي للدالة الجزئية الأولى هو:

أمَّا الدالة الجزئية الثانية فيمثِّلها شعاع يبدأ بنقطة غير مظلَّلة عند . وتُشير هذه النقطة غير المظلَّلة إلى أن هذه الدالة الجزئية أيضًا غير مُعرَّفة عند ، وعليه فإن فترتها مفتوحة من اليسار. يُشير السهم إلى أن هذه الدالة الجزئية تستمرُّ إلى ما لا نهاية في اتجاه السهم، الذي يُشير هنا إلى موجب ما لا نهاية. ومن ثَمَّ، فإن مجال الدالة الجزئية الثانية هو:

واتحاد هذين المجالين الجزئيين هو:

وسيتضمَّن اتحاد هذين المجالين الجزئيين جميع الأعداد الحقيقية باستثناء :

يُمكننا إيجاد هذا المجال بيانيًّا بالنظر إلى الخطوط الرأسية على التمثيل البياني، وملاحظة أين تقطع هذه الخطوط الدالة المُعطاة. وفي هذه الحالة، نرى أن الخط الرأسي عند يتقاطع فقط مع الدائرتين غير المظلَّلتين لكلٍّ من الدالتين الجزئيتين.

نعرف أن الدالتين الجزئيتين غير مُعرَّفتين عند ، وهو ما يعني أن هذه الدالة المتعدِّدة التعريف غير مُعرَّفة عند . ومن ثَمَّ، مجال هذه الدالة المتعدِّدة التعريف سيكون هو مجموعة الأعداد الحقيقية جميعها باستثناء :

مثال ٣: إيجاد مدى دالة متعدِّدة التعريف من تمثيلها البياني

أوجد مدى الدالة.

الحل

على التمثيل البياني المُعطى، لدينا دالتان جزئيتان محدَّدتان، وهو ما يجعل هذه الدالة متعدِّدة التعريف. نعلم أن مدى الدالة هو مجموعة كلِّ القِيَم المُخرَجة المُمكِنة لدالة، وذلك بمعلومية مجالها. ومدى الدالة المتعدِّدة التعريف هو اتحاد مدى الدوال الجزئية على مجالاتها الجزئية المناظِرة.

يُمكننا تحديد القِيَم في المدى باستخدام الخطوط الأفقية. إذا كان الخط الأفقي يقطع التمثيل البياني للدالة، فإن قيمة الخط الأفقي عند هذه النقطة تكون جزءًا من المدى. بالنسبة إلى هذه الدالة المتعدِّدة التعريف، الخط الأفقي يقطع التمثيل البياني لإحدى الدالتين الجزئيتين، وهو ما يعني أن العدد ٣ يقع ضمن مدى هذه الدالة الجزئية.

ومن التمثيل البياني، نلاحِظ سلوك الدالة الجزئية التي تبدأ عند ، وتستمرُّ نحو موجب ما لا نهاية. أيُّ خطٍّ أفقي فوق سيقطع هذه الدالة الجزئية ويجب تضمينه في المدى.

وأيُّ خطٍّ أفقي بين ، سيقطع هذه الدالة الجزئية، ليصبح مداها:

تجدر الإشارة هنا إلى أن الدالة الجزئية الأخرى هي الخط الأفقي ، ومجالها الجزئي .

إذن هي القيمة الوحيدة في مجموعة المدى. مدى هذه الدالة الجزئية على مجالها الجزئي هو:

واتحاد مدى هاتين الدالتين الجزئيتين على مجالَيْهما الجزئيين المناظِرين هو:

إذن مدى هذه الدالة المتعدِّدة التعريف هو:

مثال ٤: تعريف الدوال المتعدِّدة التعريف من تمثيل بياني مُعطًى

أوجد التعريف المتعدِّد للدالة ، التي لها هذا التمثيل البياني.

الحل

تتكوَّن الدالة المتعدِّدة التعريف من دالتين جزئيتين فأكثر. ولتعريف دالة متعدِّدة التعريف، يجب إيجاد مقدارٍ لكلٍّ من الدوال الجزئية وإيجاد المجالات الجزئية لكلٍّ من الدوال الجزئية. سنحدد أولًا عدد الدوال الجزئية التي تمثِّل جزءًا من هذه الدالة المتعدِّدة التعريف، وذلك بالنظر إلى سلوك التمثيل البياني. وفي هذه الحالة، لدينا دالتان جزئيتان.

لدينا خط مستقيم ميله سالب ينتهي عند ، وخط مستقيم آخَر يبدأ عند وله ميل موجب. وسيكوِّن كلٌّ من هذين الخطين دالة جزئية للدالة المتعدِّدة التعريف على مجاله الجزئي المناظِر. لذا سنكوِّن معادلة بدلالة لكلِّ دالة جزئية، ثم نحدِّد مجالها الجزئي.

تُخبرنا صيغة الميل والمقطع لخط مستقيم أن الخط المستقيم الذي ميله و هو ، تكون معادلته . الميل يساوي .

الخط المستقيم الذي ميله سالب يقع له عند ٣. يُمكن تحديد الميل من التمثيل البياني دون إجراء أيِّ عمليات حسابية. كلما زادت قيمة بمقدار وحدة واحدة، تنخفض قيمة بمقدار وحدة واحدة.

إذن . ومن ثَمَّ:

ولذلك، تُعرَّف الدالة الجزئية الأولى على الصورة:

ولكن علينا أيضًا تحديد المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية؛ يُمكننا رسم خط مستقيم رأسي عند ، والتأكُّد من أن العدد ٢ متضمَّن في مجال هذه الدالة المتعدِّدة التعريف؛ لأنه يقطع المنحنى عند .

على التمثيل البياني، يَظهَر العدد ٢ كجزء من مجالَيِ الدالتين الجزئيتين. إلَّا أنه عند تعريف دالة متعدِّدة التعريف، فإننا نكتب ٢ في أحد مجالَيِ الدالتين الجزئيتين حتى لا يتداخل المجالان. وعادة ما يُحدِّد ذلك سياق السؤال. بما أن لدينا هنا تمثيلًا بيانيًّا فقط دون أيِّ بيانات أخرى، فسنفترض أن الدالة الجزئية الأولى مُعرَّفة للمجال الجزئي:

وبناء عليه، تكون الدالة الجزئية الثانية مُعرَّفة للمجال الجزئي .

يُمكننا أيضًا تعريف الدالتين الجزئيتين بأن لهما مجالَيْن جزئيين مختلفين قليلًا، وذلك بتعديل اختيار الدالة الجزئية التي تنتمي إليها نقاط الارتباط. في هذه الحالة، حيث يكون الاختيار عشوائيًّا، من المعتاد تضمين نقطة الطرف الأيمن، واستبعاد نقطة الطرف الأيسر من الدوال الجزئية.

والآن بعد أن عرَّفنا كلَّ مجال جزئي، نستخدم التمثيل البياني لكتابة صيغة للدالة الجزئية الثانية على مجالها الجزئي.

الخط المستقيم للدالة الجزئية الثانية يوضِّح أن قيمة تزيد بمقدار وحدة واحدة عندما تزيد قيمة بمقدار وحدتين. إذن . يُمكننا بعد ذلك تحديد بيانيًّا بتمديد الخط لنعرف أين تقطع هذه الدالة الجزئية المحور ، إذا كان جزءًا من المجال.

للدالة الجزئية الثانية هو ٠. ومن ثَمَّ، فإن صيغة الدالة الجزئية الثانية هي:

بدمج قاعدتي الدالتين الجزئيتين على مجالَيْهما الجزئيين المناظِرين، نجد أن تعريف الدالة المتعدِّدة التعريف هو:

مثال ٥: تعريف الدالة المتعدِّدة التعريفات من تمثيل بياني مُعطًى متضمِّنًا عدم الاتصال

أوجد التعريف المتعدِّد للدالة ، التي لها هذا التمثيل البياني.

الحل

تتكوَّن الدالة المتعدِّدة التعريف من دالتين جزئيتين اثنتين فأكثر. ولتعريف دالة متعدِّدة التعريف، علينا إيجاد صيغة كلٍّ من الدوال الجزئية ومجالاتها الجزئية. يوضِّح هذا التمثيل البياني ثلاثة سلوكيات مختلفة.

ومن ثَمَّ، علينا كتابة ثلاثة مقادير، وإيجاد ثلاثة مجالات جزئية، بواقع مجالٍ جزئي لكلِّ دالة جزئية.

بالنسبة إلى الخطوط المستقيمة، يُمكننا كتابة معادلاتها باستخدام صيغة الميل والمقطع، ؛ حيث هو ، هو الميل. الميل يساوي .

بالنسبة إلى هذا الخط، التغيُّر في يمثِّله الانتقال وحدة واحدة إلى اليمين، والتغيُّر في يمثِّله الانتقال وحدة واحدة لأسفل. إذن ، وهو ما يُمكن تبسيطه إلى . وعليه يكون هو ثلاثة. ومن ثَمَّ، فإن مقدار هذه الدالة الجزئية على مجالها الجزئي هو:

المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية يساوي مجموعة جميع القِيَم المُدخَلة لهذه الدالة الجزئية. نقطة الطرف غير المظلَّلة تُشير إلى أن الحدَّ العُلْوي لهذا المجال الجزئي يجب أن يكون فترة مفتوحة. ومن ثَمَّ، فإن المجال الجزئي هو الفترة المفتوحة .

الدالة الجزئية الآتية لها نقطة مظلَّلة عند .

والنقطة المظلَّلة عند توضِّح الدالة الثابتة: حيث المجال الجزئي .

أما الدالة الجزئية الثالثة، فلها نقطة غير مظلَّلة عند ، وتستمرُّ إلى ما لا نهاية. ومن ثَمَّ، فإن المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية هو الفترة .

ولهذه الدالة الجزئية، تزيد قيمة بمقدار وحدتين كلما قلَّت قيمة بمقدار وحدة واحدة. إذن . يُمكننا بعد ذلك تحديد بيانيًّا، وذلك بتمديد الخط لنعرف أين تقطع هذه الدالة الجزئية المحور ، إذا كان جزءًا من مجالها الجزئي.

لهذه الدالة الجزئية هو ٢. ومن ثَمَّ، فإن صيغة الدالة الجزئية الثالثة على مجالها الجزئي هي:

بدمج كلٍّ من هذه الدوال الجزئية الثلاث على صورة دوال متعدِّدة التعريف، يصبح لدينا:

مثال ٦: تحديد التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف من تعريفها

حدِّد أيٌّ من التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل الدالة:

الحل

لدينا الدالة المتعدِّدة التعريف:

تتكوَّن هذه الدالة المتعدِّدة التعريف من دالتين جزئيتين على مجالَيْن جزئيين محدَّدين. الدالة الجزئية الأولى هي الدالة التربيعية على المجال الجزئي . ولتمثيل هذه الدالة التربيعية بيانيًّا، يُمكننا استخدام المجال الجزئي لتكوين جدول بالقِيَم المُدخَلة والقِيَم المُخرَجة. نحن نعلم أن المجال الجزئي لهذه الدالة هو قِيَم الأقل من اثنين.

وباستخدام الجدول، يُمكننا تحديد هذه النقاط على تمثيل بياني. لاحِظ أن النقطة على هذا التمثيل البياني ستكون غير مظلَّلة؛ لأن غير متضمَّن في المجال الجزئي لـ .

يَنتُج عن رسم خط مستقيم بين هذه الإحداثيات التمثيل البياني للدالة الجزئية على المجال الجزئي .

أمَّا الدالة الجزئية الثانية فهي دالة خطية. مرَّة أخرى، يُمكننا استخدام المجال الجزئي المُعطى لتكوين جدول بالقِيَم المُدخَلة والقِيَم المُخرَجة لتمثيل هذه الدالة الجزئية بيانيًّا. بالنسبة إلى هذه الدالة الجزئية، المجال الجزئي هو ؛ ومن ثَمَّ، تكون القيمة متضمَّنة في المجال.

بعد ذلك، نحدِّد هذه النقاط على شبكة إحداثية مثل الدالة الجزئية الأولى.

لاحِظ أنه، بالنسبة إلى الدالة الجزئية الثانية، عند ، نضع نقطة مظلَّلة؛ لأن العدد ٢ متضمَّن في المجال الجزئي لـ .

وأخيرًا نرسم خطًّا يبدأ من النقطة ، ويمتدُّ باتجاه النقطة ، تذكَّر أن هذا الخط يستمرُّ إلى ما لا نهاية في هذا الاتجاه.

بتمثيل هذه الدالة المتعدِّدة التعريف بيانيًّا، وجدنا أن الخيار (د) هو الوحيد الذي يمثِّل هذه الدالة بشكل صحيح.