تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: التمثيلات البيانية للدوال المتعدِّدة التعريف الرياضيات

سوف نتعلَّم كيف نمثِّل بيانيًّا ونحلِّل دالة متعدِّدة التعريف، وندرس خواصها المختلفة

تتكون الدالة المُتعدِّدة التعريف من عدة دوالَّ جزئية مُعرَّفة على مجالات جزئية لكلٍّ منها. واتحاد المجالات الجزئية يكوِّن المجال الكلي للدالة المُتعدِّدة التعريف. أمَّا اتِّحاد مدى هذه الدوالِّ الجزئية فيكوِّن مدى الدالة المُتعدِّدة التعريف.

يُمكننا تمثيل البيانات الآتية حول أسعار تذاكر حديقة ترفيهية بدالة مُتعدِّدة التعريف.

أسعار تذاكر الحديقة الترفيهية
العُمرالسعر
٥ -١٢٨٫٥٠ دولارات أمريكية
١٣ – ١٨١٢ دولارًا أمريكيًّا
٩١+١٥ دولارًا أمريكيًّا

يعرض الجدول ثلاثة أسعار مختلفة للتذكرة، وذلك حسَب عُمر زائر الحديقة. وسيتطلَّب تمثيل ذلك ثلاث دوالَّ جزئية. علينا أيضًا التفكير جيدًا في كيفية تفسير الفئات العُمرية عند تحديد مجال كلِّ دالة جزئية. الفئة العُمرية من ٥ إلى ١٢ سنة تضمُّ الأشخاص من اللحظة التي تُشير فيها عقارب الساعة في منتصف الليل إلى بداية عيد ميلادهم الخامس حتى اللحظة التي تسبق منتصف ليلة عيد ميلادهم الثالث عشر. الفئة العُمرية من ١٣ إلى ١٨ سنة تضمُّ الأشخاص من اللحظة التي تُشير فيها عقارب الساعة في منتصف الليل إلى بداية عيد ميلادهم الثالث عشر حتى اللحظة التي تسبق منتصف ليلة عيد ميلادهم التاسع عشر. الفئة العُمرية ٩١+ تضمُّ الأشخاص من اللحظة التي تُشير فيها عقارب الساعة في منتصف الليل إلى دخول عيد ميلادهم التاسع عشر، ومَن هم أكبر.

هيَّا نُعيِّن 𞸎 ليكون عُمر زائر الحديقة بوحدة سنة،󰎨(𞸎) ليكون سعر تذكرته بعملة دولار أمريكي. يُمكننا بعد ذلك كتابة تعريف الدالة 󰎨(𞸎): 󰎨(𞸎)=󰃳٥٫٨٥𞸎<٣١،٢١٣١𞸎<٩١،٥١𞸎٩١.

هيَّا الآن نتعرَّف على كيفية تمثيل هذه الدالة بيانيًّا. علينا فحص كلِّ مجالٍ جزئي على حدة.

جميع زوَّار الحديقة الذين تتراوح أعمارهم بين ٥ و١٢ سنة يدفعون ٨٫٥٠ دولارات أمريكية إذن قيمة 󰎨(𞸎) تساوي ٨٫٥ عند ٥𞸎<٣١. ويُشار إلى ذلك على التمثيل البياني بخط أفقي؛ حيث قيمة 𞸑 تساوي ٨٫٥، وقيمة 𞸎 من ٥ (متضمِّنة ٥، ويمثِّل ذلك نقطة مظلَّلة) حتى ١٣ (باستثناء ١٣، ويمثِّل ذلك نقطة غير مظلَّلة). ومثَّلنا هذا على التمثيل البياني الآتي بخط وردي.

أمَّا جميع زائري المنتزهات الذين تتراوح أعمارهم بين ١٣ و١٨ سنة فيدفعون ١٢ دولارًا أمريكيًّا، إذن قيمة 󰎨(𞸎) هي ١٢ عند ٣١𞸎<٩١. ويُشار إلى ذلك على التمثيل البياني بخط أفقي؛ حيث قيمة 𞸑 تساوي ١٢، 𞸎 تأخذ القِيَم من ١٣ (متضمِّنة ١٣، ويمثِّل ذلك نقطة مظلَّلة) حتى ١٩ (باستثناء ١٩، ويمثِّل ذلك نقطة غير مظلَّلة). ومثَّلنا هذا على التمثيل البياني الآتي بخط أزرق.

جميع زوَّار الحديقة ممَّن أعمارهم ٩١+ يدفعون ١٥ دولارًا أمريكيًّا، إذن قيمة 󰎨(𞸎) تساوي ١٥ عند 𞸎٩١. ويُشار إلى ذلك على التمثيل البياني بخط أفقي؛ حيث قيمة 𞸑 تساوي ١٥، 𞸎 يقبل القِيَم من ١٩ (متضمِّنة ١٩، ويمثِّل ذلك نقطة مظلَّلة) إلى أكبر من ذلك (يمثِّل ذلك شعاع يُشير إلى اليمين). على الرغم من أن الأشخاص لا يعيشون إلى ما لا نهاية، إلَّا أن نموذج التسعير مُحدَّد هكذا، بمعنى أنه أيًّا كان عُمرك، إذا كان عُمرك ١٩ سنة فأكثر، فستدفع ١٥ دولارًا أمريكيًّا لدخول الحديقة. ونمثِّل هذا على التمثيل البياني بشعاع أخضر.

على الرغم من أن تعريفات الدوال الجزئية في كثير من الدوال المُتعدِّدة التعريف قد يكون أكثر تعقيدًا من تعريف الدوال الثابتة في مثال الحديقة الترفيهية، فإنَّنا نتبع المبدأ نفسه عند تمثيلها بيانيًّا. علينا التفكير في التمثيل البياني لكلِّ مجال جزئي على حدة، والتفكير فيما سيحدث عند طرفَيْ كلِّ دالة جزئية، وتمثيل كلٍّ منها بعضها بجانب بعض على مجموعة المحاور نفسها.

الدالة المُتعدِّدة التعريفات التي حدَّدناها لأسعار تذكرة الحديقة الترفيهية، ومُثِّلتْ بيانيًّا، غير مُعرَّفة إلَّا لقِيَم 𞸎 الحقيقية التي تساوي ٥ فأكثر. ومن ثَمَّ، يُمكن كتابة مجال الدالة الكلية على صورة المتباينة: 𞸎٥ باستخدام رمز الفترة هكذا: [٥،[، أو باستخدام رمز المجموعة هكذا: {𞸎𞹇𞸎٥}.

القِيَم التي يُمكن أن تأخذها الدالة هي فقط 󰎨(𞸎)=٥٫٨، أو 󰎨(𞸎)=٢١، أو 󰎨(𞸎)=٥١. ومن ثَمَّ، يُمكن كتابة مدى الدالة الكلية باستخدام رمز المجموعة هكذا: {٥٫٨،٢١،٥١}.

والآن، دعونا نتناول بعض الأمثلة التي تتطلَّب التعامل مع تمثيلات بيانية لدوالَّ متعدِّدة التعريف.

مثال ١: تحديد نوع الدالة المُمثَّلة في التمثيل البياني

ما نوع الدالة الموضَّحة بالتمثيل البياني؟

  1. دالة زوجية
  2. دالة لوغاريتمية
  3. دالة متعدِّدة التعريف
  4. دالة كثيرة الحدود

الحل

هيَّا نفكِّر في كلِّ خيار من الخيارات.

  1. الدالة الزوجية دالة فيها 󰎨(𞸎)=󰎨(𞸎)، لجميع قِيَم 𞸎 في مجال 󰎨. وهذا يعني أن الدوال الزوجية تكون متماثلة حول المحور 𞸑، ولا يَظهَر ذلك في التمثيل البياني المُعطى. على سبيل المثال، 󰎨(٥)=٧، ولكن 󰎨(٥)=٠ إذن 󰎨(٥)󰎨(٥)؛ وعليه فالدالة ليست زوجية.
  2. لوغاريتم قيمة معيَّنة، ولتكن 𞸎، يساوي الأُس الذي يجب أن يُرفَع له عدد الأساس للحصول على 𞸎. وتتكوَّن التمثيلات البيانية للدوال اللوغاريتمية من منحنيات ملساء تتقارب من المحور 𞸑، كما نرى في الأمثلة الآتية، أو قد يحدث لها تحويل هندسي. التمثيل البياني المُعطى له أركان حادَّة عند 𞸎=٣، 𞸎=٠؛ أيْ إنه ليس أملس على مجاله بالكامل، وليس له أيضًا خطوط تقارب رأسية. كما أن الدوال اللوغاريتمية تكون غير مُعرَّفة لقِيَم 𞸎 السالبة، بعبارة أخرى: مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. يمثِّل التمثيل البياني المُعطى دالة مجالها هو ٠١<𞸎<٨ على الأقلِّ، ويتضمَّن ذلك بعض قِيَم 𞸎 السالبة، وعليه فإن التمثيل البياني المُعطى لا يمثِّل دالة لوغاريتمية.
  3. يتكوَّن التمثيل البياني لهذه الدالة من ثلاث دوالَّ جزئية مختلفة.
    1. بالنسبة إلى قِيَم 𞸎 التي تتراوح بين و٣، يكون التمثيل البياني خطًّا مستقيمًا ميله يساوي ١. يُمكننا كتابة معادلة هذا الخط المستقيم على الصورة: 𞸑=𞸌𞸎+𞸁؛ حيث 𞸌 هو الميل (١)، 𞸁 هو اءاعارص، إذن 𞸑=𞸎+𞸁. كما نلاحِظ أن الخط المستقيم يمرُّ بالنقطة (٥،٠)، إذن 𞸑=٠ عند 𞸎=٥، وهو ما يُساعدنا على حساب قيمة 𞸁، وتساوي خمسة. ومن ثَمَّ، يُمكننا كتابة المعادلة: 𞸑=𞸎+٥.
    2. بالنسبة إلى قِيَم 𞸎 من ٣ إلى ٠، يكون التمثيل البياني عبارة عن خط أفقي؛ حيث قيمة 𞸑 تساوي اثنين دائمًا؛ لذا يُمكننا كتابة معادلة هذا الخط على الصورة: 𞸑=٢.
    3. بالنسبة إلى قِيَم 𞸎 من ٠ إلى ، يكون التمثيل البياني أيضًا خطًّا مستقيمًا ميله يساوي ١. لكن هذه المرة، نلاحِظ أن اءاعارص يساوي اثنين؛ لذا يُمكننا كتابة المعادلة على الصورة: 𞸑=𞸎+٢.
    وعلى الرغم من أن السؤال لم يطلب منَّا ذلك، لكنَّنا سنكتب تعريف الدالة كما يأتي: 󰎨(𞸎)=󰃳𞸑=𞸎+٥𞸎<٣،𞸑=٢٣𞸎<٠،𞸑=𞸎+٢𞸎٠.
    إلَّا أنه في هذا التمثيل البياني، نلاحِظ أن قيمة كلِّ دالة جزئية هي نفس قيمة الدالة الجزئية المجاورة لها عند النقطة المُشترَكة، بعبارة أخرى، ترتبط الدوالُّ الجزئية بعضها بالآخَر لتكوِّن دالة متصلة. يصحُّ أيضًا تعريف الدوال الجزئية بأن المجال الجزئي لكلٍّ منها يختلف قليلًا، وذلك عن طريق تعديل اختيار الدالة الجزئية التي تنتمي إليها نقاط الارتباط. في هذه الحالة، التي يكون التوزيع فيها عشوائيًّا، من المعتاد أن تتضمَّن الدالة الجزئية نقطة الطرف الأيسر وتُستثنَى نقطة الطرف الأيمن منها.
    وحقيقة أن الدالة يجب أن تكون مُعرَّفة بدلالة سلسلة من الدوال الجزئية على مجالات جزئية محدَّدة تجعلها دالة متعدِّدة التعريف.
  4. الدوال الكثيرات الحدود تتضمَّن جمع، وطرح، وضرب المعامِلات والمتغيِّرات ذات الأُسس الصحيحة غير السالبة. وتكون التمثيلات البيانية للدوال الكثيرات الحدود عبارة عن منحنيات ملساء، ويُمكن تعريفها بمعادلة كثيرة الحدود واحدة. يحتوي التمثيل البياني المُعطى على نقطتين غير ملساوين هما 𞸎=٣، 𞸎=٠؛ أيْ إنه ليس تمثيلًا بيانيًّا لدالة كثيرة حدود.

الدالة الموضَّحة في التمثيل البياني دالة متعدِّدة التعريف (الخيار جـ).

في المثال الآتي، سنتحقَّق من النقطتين الطرفيتين لكلِّ دالة جزئية على تمثيل بياني لدالة متعدِّدة التعريف لإيجاد مجالها.

مثال ٢: إيجاد مجال دالة متعدِّدة التعريف بمعلومية تمثيلها البياني

أوجد مجال الدالة المُمثَّلة بالرسم البياني الآتي.

الحل

مجال الدالة هو مجموعة كلِّ القِيَم التي تكون فيها الدالة مُعرَّفة. في التمثيل البياني لهذه الدالة، المجال هو كلُّ قِيَم 𞸎 المرسوم عندها المنحنى. بالنسبة إلى الدالة المتعدِّدة التعريف، يكون المجال هو اتحاد المجالات الجزئية لكلِّ دالة جزئية. وتتكوَّن هذه الدالة المتعدِّدة التعريف من دالتين جزئيتين.

الدالة الجزئية الأولى يمثِّلها شعاع ينتهي بنقطة غير مظلَّلة عند (٤،١). وتُشير هذه النقطة غير المظلَّلة إلى أن هذه الدالة الجزئية غير مُعرَّفة عند 𞸎=٤؛ ولذلك فإن فترتها مفتوحة من اليمين. يُشير السهم إلى أن الدالة الجزئية تستمرُّ إلى ما لا نهاية في اتجاه هذا السهم؛ أيْ باتجاه سالب ما لا نهاية. ومن ثَمَّ، فإن المجال الجزئي للدالة الجزئية الأولى هو: ]،٤[.

أمَّا الدالة الجزئية الثانية فيمثِّلها شعاع يبدأ بنقطة غير مظلَّلة عند (٤،٢). وتُشير هذه النقطة غير المظلَّلة إلى أن هذه الدالة الجزئية أيضًا غير مُعرَّفة عند 𞸎=٤، وعليه فإن فترتها مفتوحة من اليسار. يُشير السهم إلى أن هذه الدالة الجزئية تستمرُّ إلى ما لا نهاية في اتجاه السهم، الذي يُشير هنا إلى موجب ما لا نهاية. ومن ثَمَّ، فإن مجال الدالة الجزئية الثانية هو: ]٤،[.

واتحاد هذين المجالين الجزئيين هو: ]،٤[]٤،[.

وسيتضمَّن اتحاد هذين المجالين الجزئيين جميع الأعداد الحقيقية باستثناء ٤: 𞹇{٤}.

يُمكننا إيجاد هذا المجال بيانيًّا بالنظر إلى الخطوط الرأسية على التمثيل البياني، وملاحظة أين تقطع هذه الخطوط الدالة المُعطاة. وفي هذه الحالة، نرى أن الخط الرأسي عند 𞸎=٤ يتقاطع فقط مع الدائرتين غير المظلَّلتين لكلٍّ من الدالتين الجزئيتين.

نعرف أن الدالتين الجزئيتين غير مُعرَّفتين عند 𞸎=٤، وهو ما يعني أن هذه الدالة المتعدِّدة التعريف غير مُعرَّفة عند 𞸎=٤. ومن ثَمَّ، مجال هذه الدالة المتعدِّدة التعريف سيكون هو مجموعة الأعداد الحقيقية جميعها باستثناء ٤: 𞹇{٤}.

في المثال السابق، رأينا أن مجال دالة متعدِّدة التعريف هو اتحاد مجالين جزئيين لكلٍّ من الدالتين الجزئيتين. في المثال الآتي، نوضِّح أن مدى الدالة المتعدِّدة التعريف يساوي اتحاد مدى الدوال الجزئية على المجالات الجزئية المناظِرة لها.

مثال ٣: إيجاد مدى دالة متعدِّدة التعريف من تمثيلها البياني

أوجد مدى الدالة.

الحل

على التمثيل البياني المُعطى، لدينا دالتان جزئيتان محدَّدتان، وهو ما يجعل هذه الدالة متعدِّدة التعريف. نعلم أن مدى الدالة هو مجموعة كلِّ القِيَم المُخرَجة المُمكِنة لدالة، وذلك بمعلومية مجالها. ومدى الدالة المتعدِّدة التعريف هو اتحاد مدى الدوال الجزئية على مجالاتها الجزئية المناظِرة.

يُمكننا تحديد القِيَم في المدى باستخدام الخطوط الأفقية. إذا كان الخط الأفقي يقطع التمثيل البياني للدالة، فإن قيمة الخط الأفقي عند هذه النقطة تكون جزءًا من المدى. بالنسبة إلى هذه الدالة المتعدِّدة التعريف، الخط الأفقي 𞸑=٣ يقطع التمثيل البياني لإحدى الدالتين الجزئيتين، وهو ما يعني أن العدد ٣ يقع ضمن مدى هذه الدالة الجزئية.

ومن التمثيل البياني، نلاحِظ سلوك الدالة الجزئية التي تبدأ عند (٤،١)، وتستمرُّ نحو موجب ما لا نهاية. أيُّ خطٍّ أفقي فوق 𞸑=٣ سيقطع هذه الدالة الجزئية ويجب تضمينه في المدى.

وأيُّ خطٍّ أفقي بين 𞸑=١، 𞸑= سيقطع هذه الدالة الجزئية، ليصبح مداها: [١،[.

تجدر الإشارة هنا إلى أن الدالة الجزئية الأخرى هي الخط الأفقي 𞸑=١، ومجالها الجزئي ]،٤].

إذن ١ هي القيمة الوحيدة في مجموعة المدى. مدى هذه الدالة الجزئية على مجالها الجزئي هو: {١}.

واتحاد مدى هاتين الدالتين الجزئيتين على مجالَيْهما الجزئيين المناظِرين هو: {١}[١،[.

إذن مدى هذه الدالة المتعدِّدة التعريف هو: [١،[.

في المثال الآتي، سنستخدم التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف لإيجاد تعريف رياضي للدالة.

مثال ٤: تعريف الدوال المتعدِّدة التعريف من تمثيل بياني مُعطًى

أوجد التعريف المتعدِّد للدالة 𞸓، التي لها هذا التمثيل البياني.

الحل

تتكوَّن الدالة المتعدِّدة التعريف من دالتين جزئيتين فأكثر. ولتعريف دالة متعدِّدة التعريف، يجب إيجاد مقدارٍ لكلٍّ من الدوال الجزئية وإيجاد المجالات الجزئية لكلٍّ من الدوال الجزئية. سنحدد أولًا عدد الدوال الجزئية التي تمثِّل جزءًا من هذه الدالة المتعدِّدة التعريف، وذلك بالنظر إلى سلوك التمثيل البياني. وفي هذه الحالة، لدينا دالتان جزئيتان.

لدينا خط مستقيم ميله سالب ينتهي عند (٢،١)، وخط مستقيم آخَر يبدأ عند (٢،١) وله ميل موجب. وسيكوِّن كلٌّ من هذين الخطين دالة جزئية للدالة المتعدِّدة التعريف على مجاله الجزئي المناظِر. لذا سنكوِّن معادلة بدلالة 𞸎 لكلِّ دالة جزئية، ثم نحدِّد مجالها الجزئي.

تُخبرنا صيغة الميل والمقطع لخط مستقيم أن الخط المستقيم الذي ميله 𞸌 واءاعارص هو 𞸁، تكون معادلته 𞸑=𞸌𞸎+𞸁. الميل 𞸌 يساوي اا𞸑𞸎.

الخط المستقيم الذي ميله سالب يقع اءاعارص له عند ٣. يُمكن تحديد الميل من التمثيل البياني دون إجراء أيِّ عمليات حسابية. كلما زادت قيمة 𞸎 بمقدار وحدة واحدة، تنخفض قيمة 𞸑 بمقدار وحدة واحدة.

إذن اا𞸑𞸎=١١. ومن ثَمَّ: 𞸌=١.

ولذلك، تُعرَّف الدالة الجزئية الأولى على الصورة: 𞸑=𞸎+٣𞸑=٣𞸎.أو

ولكن علينا أيضًا تحديد المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية؛ يُمكننا رسم خط مستقيم رأسي عند 𞸎=٢، والتأكُّد من أن العدد ٢ متضمَّن في مجال هذه الدالة المتعدِّدة التعريف؛ لأنه يقطع المنحنى عند (٢،١).

على التمثيل البياني، يَظهَر العدد ٢ كجزء من مجالَيِ الدالتين الجزئيتين. إلَّا أنه عند تعريف دالة متعدِّدة التعريف، فإننا نكتب ٢ في أحد مجالَيِ الدالتين الجزئيتين حتى لا يتداخل المجالان. وعادة ما يُحدِّد ذلك سياق السؤال. بما أن لدينا هنا تمثيلًا بيانيًّا فقط دون أيِّ بيانات أخرى، فسنفترض أن الدالة الجزئية الأولى مُعرَّفة للمجال الجزئي: ]،٢[.

وبناء عليه، تكون الدالة الجزئية الثانية مُعرَّفة للمجال الجزئي [٢،[.

يُمكننا أيضًا تعريف الدالتين الجزئيتين بأن لهما مجالَيْن جزئيين مختلفين قليلًا، وذلك بتعديل اختيار الدالة الجزئية التي تنتمي إليها نقاط الارتباط. في هذه الحالة، حيث يكون الاختيار عشوائيًّا، من المعتاد تضمين نقطة الطرف الأيمن، واستبعاد نقطة الطرف الأيسر من الدوال الجزئية.

والآن بعد أن عرَّفنا كلَّ مجال جزئي، نستخدم التمثيل البياني لكتابة صيغة للدالة الجزئية الثانية على مجالها الجزئي.

الخط المستقيم للدالة الجزئية الثانية يوضِّح أن قيمة 𞸑 تزيد بمقدار وحدة واحدة عندما تزيد قيمة 𞸎 بمقدار وحدتين. إذن اا𞸑𞸎=١٢. يُمكننا بعد ذلك تحديد اءاعارص بيانيًّا بتمديد الخط لنعرف أين تقطع هذه الدالة الجزئية المحور 𞸑، إذا كان جزءًا من المجال.

اءاعارص للدالة الجزئية الثانية هو ٠. ومن ثَمَّ، فإن صيغة الدالة الجزئية الثانية هي: 𞸑=𞸎٢.

بدمج قاعدتي الدالتين الجزئيتين على مجالَيْهما الجزئيين المناظِرين، نجد أن تعريف الدالة المتعدِّدة التعريف هو: 𞸓(𞸎)=󰃳٣𞸎𞸎<٢،𞸎٢٢𞸎.

في المثال ٥، سنستخدم التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف لإيجاد تعريف رياضي لدالة متعدِّدة التعريف مكوَّنة من أكثر من دالتين جزئيتين.

مثال ٥: تعريف الدالة المتعدِّدة التعريفات من تمثيل بياني مُعطًى متضمِّنًا عدم الاتصال

أوجد التعريف المتعدِّد للدالة 󰎨، التي لها هذا التمثيل البياني.

الحل

تتكوَّن الدالة المتعدِّدة التعريف من دالتين جزئيتين اثنتين فأكثر. ولتعريف دالة متعدِّدة التعريف، علينا إيجاد صيغة كلٍّ من الدوال الجزئية ومجالاتها الجزئية. يوضِّح هذا التمثيل البياني ثلاثة سلوكيات مختلفة.

ومن ثَمَّ، علينا كتابة ثلاثة مقادير، وإيجاد ثلاثة مجالات جزئية، بواقع مجالٍ جزئي لكلِّ دالة جزئية.

بالنسبة إلى الخطوط المستقيمة، يُمكننا كتابة معادلاتها باستخدام صيغة الميل والمقطع، 𞸑=𞸌𞸎+𞸁؛ حيث 𞸁 هو اءاعارص، 𞸌 هو الميل. الميل 𞸌 يساوي اا𞸑𞸎.

بالنسبة إلى هذا الخط، التغيُّر في 𞸎 يمثِّله الانتقال وحدة واحدة إلى اليمين، والتغيُّر في 𞸑 يمثِّله الانتقال وحدة واحدة لأسفل. إذن اا𞸑𞸎=١١، وهو ما يُمكن تبسيطه إلى 𞸌=١. وعليه يكون اءاعارص هو ثلاثة. ومن ثَمَّ، فإن مقدار هذه الدالة الجزئية على مجالها الجزئي هو: 𞸎+٣٣𞸎.أو

المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية يساوي مجموعة جميع القِيَم المُدخَلة لهذه الدالة الجزئية. نقطة الطرف غير المظلَّلة (٢،١) تُشير إلى أن الحدَّ العُلْوي لهذا المجال الجزئي يجب أن يكون فترة مفتوحة. ومن ثَمَّ، فإن المجال الجزئي هو الفترة المفتوحة ]،٢[.

الدالة الجزئية الآتية لها نقطة مظلَّلة عند (٢،٢).

والنقطة المظلَّلة عند (٢،٢) توضِّح الدالة الثابتة: 𞸑=٢، حيث المجال الجزئي {٢}.

أما الدالة الجزئية الثالثة، فلها نقطة غير مظلَّلة عند (٢،٣)، وتستمرُّ إلى ما لا نهاية. ومن ثَمَّ، فإن المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية هو الفترة ]٢،[.

ولهذه الدالة الجزئية، تزيد قيمة 𞸎 بمقدار وحدتين كلما قلَّت قيمة 𞸑 بمقدار وحدة واحدة. إذن اا𞸑𞸎=١٢. يُمكننا بعد ذلك تحديد اءاعارص بيانيًّا، وذلك بتمديد الخط لنعرف أين تقطع هذه الدالة الجزئية المحور 𞸑، إذا كان جزءًا من مجالها الجزئي.

اءاعارص لهذه الدالة الجزئية هو ٢. ومن ثَمَّ، فإن صيغة الدالة الجزئية الثالثة على مجالها الجزئي هي: 𞸑=𞸎٢+٢.

بدمج كلٍّ من هذه الدوال الجزئية الثلاث على صورة دوال متعدِّدة التعريف، يصبح لدينا: 󰎨(𞸎)=٣𞸎𞸎<٢،٢𞸎=٢،𞸎٢+٢٢<𞸎.

نستعرض في المثال الأخير كيفية التمثيل البياني للفترات المفتوحة والمُغلَقة للمجالات الجزئية للدوال المتعدِّدة التعريف.

مثال ٦: تحديد التمثيل البياني لدالة متعدِّدة التعريف من تعريفها

حدِّد أيٌّ من التمثيلات البيانية الآتية يمثِّل الدالة: 󰎨(𞸎)=󰃇𞸎،𞸎<٢،٢𞸎+٠١،𞸎٢.٢

الحل

لدينا الدالة المتعدِّدة التعريف: 󰎨(𞸎)=󰃇𞸎،𞸎<٢،٢𞸎+٠١،𞸎٢.٢

تتكوَّن هذه الدالة المتعدِّدة التعريف من دالتين جزئيتين على مجالَيْن جزئيين محدَّدين. الدالة الجزئية الأولى هي الدالة التربيعية 𞸑=𞸎٢ على المجال الجزئي 𞸎<٢. ولتمثيل هذه الدالة التربيعية بيانيًّا، يُمكننا استخدام المجال الجزئي لتكوين جدول بالقِيَم المُدخَلة والقِيَم المُخرَجة. نحن نعلم أن المجال الجزئي لهذه الدالة هو قِيَم 𞸎 الأقل من اثنين.

𞸑=𞸎٢
𞸎𞸑
٢٤
١١
٠٠
١١
٢٤

وباستخدام الجدول، يُمكننا تحديد هذه النقاط على تمثيل بياني. لاحِظ أن النقطة (٢،٤) على هذا التمثيل البياني ستكون غير مظلَّلة؛ لأن 𞸎=٢ غير متضمَّن في المجال الجزئي لـ 𞸑=𞸎٢.

يَنتُج عن رسم خط مستقيم بين هذه الإحداثيات التمثيل البياني للدالة الجزئية 𞸑=𞸎٢ على المجال الجزئي 𞸎<٢.

أمَّا الدالة الجزئية الثانية 𞸑=٢𞸎+٠١ فهي دالة خطية. مرَّة أخرى، يُمكننا استخدام المجال الجزئي المُعطى لتكوين جدول بالقِيَم المُدخَلة والقِيَم المُخرَجة لتمثيل هذه الدالة الجزئية بيانيًّا. بالنسبة إلى هذه الدالة الجزئية، المجال الجزئي هو 𞸎٢؛ ومن ثَمَّ، تكون القيمة 𞸎=٢ متضمَّنة في المجال.

𞸑=٢𞸎+٠١
𞸎𞸑
٢٦
٣٤
٤٢
٥٠

بعد ذلك، نحدِّد هذه النقاط على شبكة إحداثية مثل الدالة الجزئية الأولى.

لاحِظ أنه، بالنسبة إلى الدالة الجزئية الثانية، عند 𞸎=٢، نضع نقطة مظلَّلة؛ لأن العدد ٢ متضمَّن في المجال الجزئي لـ 𞸑=٢𞸎+٠١.

وأخيرًا نرسم خطًّا يبدأ من النقطة (٢،٦)، ويمتدُّ باتجاه النقطة (٥،٠)، تذكَّر أن هذا الخط يستمرُّ إلى ما لا نهاية في هذا الاتجاه.

بتمثيل هذه الدالة المتعدِّدة التعريف بيانيًّا، وجدنا أن الخيار (د) هو الوحيد الذي يمثِّل هذه الدالة بشكل صحيح.

دعونا نُنهِ هذا الشارح بتلخيص بعض النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • تتكوَّن الدالة المتعدِّدة التعريف من عدة دوال جزئية مُعرَّفة على مجالات جزئية.
  • النقطة غير المظلَّلة على منحنى الدالة تعني أن الدالة غير مُعرَّفة عند هذه النقطة.
  • النقطة المظلَّلة على منحنى الدالة تعني أن الدالة مُعرَّفة عند هذه النقطة.
  • لتمثيل دالة متعدِّدة التعريف بيانيًّا:
    • انظر بشكلٍ منفصلٍ إلى كلِّ دالة جزئية على مجالها الجزئي.
    • انظر إلى ما يحدث عند النقطتين الطرفيتين لمجال كلِّ دالة جزئية.
    • مثِّل كلَّ دالة جزئية بيانيًّا على مجموعة المحاور نفسها.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.