في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مجموعة أصفار الدالة التربيعية أو التكعيبية أو كثيرة الحدود ذات الدرجات العليا.
تظهر الدوال الكثيرات الحدود في جميع مجالات العلوم وفي العديد من التطبيقات العملية. على سبيل المثال، ستَتْبع كرةٌ أُلقيت في الهواء مسارًا عبارة عن قوسٍ على شكل قطع مكافئ يمكن تمثيله بمعادلة تربيعية. وعلى وجه التحديد، سيُمثَّل ارتفاعُ الكرة عن الأرض بدالة تربيعية. وبناءً على ذلك، إذا أردنا إيجاد الزمن الذي ستستغرقه الكرة لتصطدم بالأرض، فعلينا إيجاد القيم التي تكون عندها قيمة الدالة التربيعية مساوية للصفر.
القيم المُدخَلة؛ أيْ قيم ، حيث تكون القيمة المُخرَجة للدالة تساوي صفرًا، تُسمَّى أصفارَ الدالة (أو جذورَها)، ويمكننا كتابة ذلك بطريقة منهجية أكثر على النحو الآتي.
تعريف: أصفار أو جذور الدالة
إذا كانت ، فإننا نقول إن صفرٌ (أو جذرٌ) للدالة .
على سبيل المثال، بالنسبة إلى الدالة ، يمكننا ملاحظة أن: إذن جذرٌ لهذه الدالة.
هناك عدة طرق لإيجاد جذور الدالة. على سبيل المثال، بما أننا نبحث عن قيم التي تكون عندها ، يمكننا تمثيل بيانيًّا؛ ومن ثَمَّ، تكون المواضع التي تقع على المنحنى وتساوي عندها القيمة المُخرَجة صفرًا هي الجذور؛ وتكون هي الأجزاء المقطوعة من المحور . ولتوضيح ذلك، انظر إلى التمثيل البياني الآتي للدالة .
بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن ، ، ؛ هذه المواضع هي جذور الدالة. وبما أنه قد يكون هناك عدة جذور للدالة، فإننا نكتبها عادةً في صورة مجموعة تُسمَّى مجموعة جذور الدالة؛ في هذه الحالة، مجموعة جذور هي .
لا يكون لكل الدوال أصفار. انظر الدالة . في هذه الدالة، كل قيمة مُخرَجة تساوي ١ دائمًا؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن لأيِّ قيمة مُدخَلة أن تُعطينا صفرًا. في الواقع، لن يكون للدالة الثابتة التي تكون على الصورة أصفارٌ، إلا إذا كان . وعندما لا يكون للدالة أيُّ أصفار، يمكننا القول إن مجموعة الأصفار هي .
هناك إيجابيات وسلبيات لإيجاد أصفار دالة بيانيًّا مقابل إيجاد أصفارها جبريًّا. في هذا الشارح، سنركِّز على إيجاد الجذور الجبرية لكثيرات الحدود؛ لأنها ستُعطينا قيمًا دقيقة للجذور.
يمكننا إيجاد أصفار كثيرات الحدود باستخدام التحليل. على سبيل المثال، انظر الدالة . يمكننا تحليل هذه الدالة عن طريق إيجاد زوج من الأعداد حاصل ضربه يساوي ٦ ومجموعه يساوي ٥؛ فنجد أن ، . ومن ثَمَّ:
وعليه، فإن أصفار الدالة هي حلول المعادلة:
في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، لدينا حاصل ضرب لا بد أن يساوي صفرًا. ونعلم أنه لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يساوي أحد العاملَيْن صفرًا. ومن ثَمَّ، يكون:
يمكننا حل هاتين المعادلتين كلٌّ على حدة، لنحصل على ، بوصفهما صفرَي الدالة. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه كان بإمكاننا استخدام القانون العام لإيجاد جذور المعادلة، لكن يمكننا استخدامه فقط عندما تكون لدينا دالة تربيعية.
نتذكَّر أنه يمكننا تحليل بعض كثيرات الحدود ذات الدرجات العليا عن طريق تجميع الحدود. على سبيل المثال، في الدالة ، يمكننا تحليل الحدين الأوَّلين لنحصل على ، والحدين الأخيرين لنحصل على . وبما أن هذين العاملَيْن بينهما عامل مشترك، فيمكننا إخراجه خارج المقدار لنحصل على:
يمكننا تحليل باستخدام الفرق بين مربعين، ونتذكَّر أنه يَنُص على أنه يمكننا تحليل الفرق بين مربعين كالآتي: . وهذا يُعطينا:
ومن ثَمَّ، فإن أصفار هذه الدالة هي حلول المعادلة:
بمساواة كل عامل بصفر وحل المعادلة الناتجة، نحصل على ، وهي أصفار الدالة.
هيا نتناول بعض الأمثلة على تطبيق هذه الأساليب لإيجاد أصفار كثيرات الحدود. نبدأ بدالة خطية.
مثال ١: إيجاد أصفار دالة خطية
أوجد مجموعة أصفار الدالة .
الحل
لعلنا نتذكَّر أن صفرٌ للدالة إذا كانت . ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار هذه الدالة، علينا حل المعادلة:
هذه هي المعادلة:
بضرب الطرفين في ٣، نحصل على:
ثم نُضيف ٤ إلى طرفَي المعادلة:
نلاحظ أن الصفر الوحيد للدالة هو ٤. ومن ثَمَّ، فإن مجموعة أصفار الدالة هي .
في المثال الثاني، سنُوجِد أصفار دالة تربيعية باستخدام التحليل.
مثال ٢: إيجاد أصفار دالة تربيعية معاملها الرئيسي يساوي واحدًا باستخدام التحليل
باستخدام التحليل، أوجد أصفار الدالة .
الحل
لعلنا نتذكَّر أن أصفار دالة ما هي القيم المُدخَلة التي تجعل . ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار الدالة التربيعية المُعطاة، علينا حل المعادلة:
هناك عدة طرق مختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام القانون العام. لكننا سنحلِّل الدالة التربيعية تحليلًا كاملًا. تذكَّر أنه لتحليل مقدار تربيعي على الصورة ؛ علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما ومجموعهما . في هذه الحالة، لدينا ، . يمكننا سرد أزواج العوامل الممكنة لـ كالآتي:
٣٥ | |
٧ | |
٥ | |
١ |
من بين هذه الأزواج، نلاحظ أن . ويمكننا استخدام هذين العددين لإعادة كتابة الحد في المعادلة التربيعية على الصورة:
باستخدام ذلك لإعادة كتابة المعادلة، نحصل على:
يمكننا بعد ذلك تحليل الحدين الأوَّلين والحدين الأخيرين كلٌّ على حدة:
ثم نأخذ العامل المشترك لنحصل على:
لكي يكون حاصل ضرب عاملَيْن مساويًا لصفر، يجب أن يساوي أحد العاملَيْن صفرًا. ومن ثَمَّ، إما وإما . يمكننا حل كل معادلة على حدة.
أولًا:
نطرح ٧ من طرفَي المعادلة لنحصل على:
ثانيًا:
نُضيف ٥ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على:
ومن ثَمَّ، فإن صفرَي الدالة التربيعية هما و٥.
وجدير بالملاحظة أنه يمكننا التحقُّق من كون عددٍ ما صفرًا لدالة كثيرة الحدود، وذلك بالتعويض به في الدالة وحساب قيمتها. على سبيل المثال، في المثال السابق، وجدنا أن صفرَي الدالة هما ، . ويمكننا التحقُّق من هذين الصفرين من خلال حساب القيمتين ، . لدينا:
بما أن القيمتين المُخرَجتين للدالة تساويان صفرًا عند قيمتَي هذين، نكون بذلك قد تأكَّدنا من أنهما صفرا الدالة. ومن المفيد التحقُّق للتأكُّد من أن إجاباتنا صحيحة.
في المثال التالي، سنُوجِد جذور معادلة تربيعية معاملها الرئيسي لا يساوي واحدًا باستخدام التحليل.
مثال ٣: إيجاد أصفار دالة تربيعية معاملها الرئيسي لا يساوي واحدًا باستخدام التحليل
أوجد بالتحليل أصفار الدالة .
الحل
لعلنا نتذكَّر أننا ذكرنا أن صفرٌ للدالة عندما تكون . ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار هذه الدالة، علينا حل المعادلة:
يمكننا فعل ذلك باستخدام القانون العام، ولكننا سنستخدم طريقة تجميع الحدود. نتذكَّر أنه لتحليل مقدار تربيعي على الصورة ، علينا إيجاد زوج من العوامل حاصل ضربه يساوي ومجموعه يساوي . في هذه المعادلة التربيعية، لدينا ، ، ؛ لذا علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي ومجموعهما يساوي ٩. نلاحظ أن:
لتطبيق طريقة تجميع الحدود لتحليل هذه الدالة التربيعية، نستخدم هذين العددين لإعادة كتابة الحد الثاني في المعادلة التربيعية كالآتي:
ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة التربيعية على الصورة:
علينا بعد ذلك تحليل الحدين الأوَّلين والحدين الأخيرين كلٌّ على حدة:
يمكننا أخذ العامل المشترك :
لكي يكون حاصل الضرب مساويًا لصفر، يجب أن يساوي أحد العاملَيْن صفرًا. ومن ثَمَّ، يكون:
يمكننا حل كل معادلة على حدة. أولًا:
نُضيف ٥ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على: ثم نقسم الطرفين على ٣، وهو ما يُعطينا:
ثانيًا:
نطرح ٨ من طرفَي المعادلة لنحصل على: نقسم بعد ذلك الطرفين على ٣، وهو ما يُعطينا:
ومن ثَمَّ، فإن صفرَي الدالة هما و.
حتى الآن، لم نُوجِد سوى أصفار كثيرات حدود من الدرجة الثانية أو أقل. في الأمثلة المتبقية، سنُوجِد أصفار كثيرات حدود من الدرجة الثالثة أو أعلى.
مثال ٤: إيجاد أصفار دالة من الدرجة الرابعة باستخدام التحليل
أوجد مجموعة أصفار الدالة .
الحل
لعلنا نتذكَّر أن أصفار أو جذور الدالة هي القيم المُدخَلة التي تجعل القيمة المُخرَجة للدالة تساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار علينا حل المعادلة ؛ وهذه هي المعادلة:
يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام التحليل. ونلاحظ أن الحدين بينهما عامل مشترك هو ؛ بإخراج هذا العامل نحصل على:
إذا أخذنا بعد ذلك العامل المشترك ، فسنحصل على:
يمكننا التحليل أكثر عن طريق تذكُّر نتيجة الفرق بين مربعين، التي تَنُص على أن:
بتطبيق هذا؛ حيث ، نحصل على:
يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة المعادلة:
بما أن ، وهو حاصل ضرب عاملَيْن خطيين، فلا يمكن التحليل أكثر من ذلك. يمكننا الآن إيجاد أصفار المعادلة بتذكُّر أنه إذا كان حاصل الضرب يساوي صفرًا، فلا بد أن أحد العوامل يساوي صفرًا. يمكننا حل كل معادلة تنتج عن مساواة كل عامل من العوامل بصفر على حدة. أولًا:
نقسم الطرفين على :
بعد ذلك، نحسب الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، فنلاحظ أن الجذر يساوي صفرًا فقط:
ثانيًا:
نُضيف ٥ إلى طرفَي المعادلة:
ثالثًا:
نطرح ٥ من طرفَي المعادلة، وهو ما يُعطينا الصفر الأخير للدالة:
علينا ملاحظة أنه نظرًا لأن السؤال لم يطلب منا تحليل كثيرة الحدود تحليلًا كاملًا، فإن بإمكاننا إيجاد قيم التي تجعل قيمة كل عامل من عوامل المقدار: تساوي صفرًا مباشرةً. وكان سيصبح لدينا حينها: ويمكننا حلُّه بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة؛ حيث نتذكَّر أننا سنحصل على الجذر التربيعي الموجب والسالب:
وبالمثل، سيكون لدينا:
بكتابة هذه القيم في صورة مجموعة، نحصل على مجموعة أصفار هذه الدالة، وهي .
مثال ٥: إيجاد أصفار دالة تكعيبية مُحَلَّلة جزئيًّا
أوجد مجموعة أصفار الدالة .
الحل
لعلنا نتذكَّر أن يكون صفرًا للدالة إذا كانت . ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار هذه الدالة، علينا حل المعادلة:
هذه هي المعادلة:
بما أن الحدين في الطرف الأيمن من هذه المعادلة بينهما عامل مشترك هو ، فسنحل هذه المعادلة باستخدام التحليل. بإخراج العامل المشترك، سنحصل على:
يمكننا التحليل أكثر من ذلك بتذكُّر أن الفرق بين مربعين يَنُص على أنه لأيِّ ثابت يكون . بوضع سيكون لدينا: . ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة:
بما أن هذه ثلاثة عوامل خطية، نكون قد حلَّلنا المقدار تحليلًا كاملًا. ولكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يساوي أحد العوامل صفرًا. ومن ثَمَّ، يكون لدينا:
يمكننا حل كل معادلة على حدة. أولًا:
نُضيف ٩ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على:
ثانيًا:
نطرح ٩ من طرفَي المعادلة، وهو ما يُعطينا:
ثالثًا:
نُضيف ٢ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على:
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا ثلاثة حلول: أو أو ٢.
علينا ملاحظة أنه نظرًا لأن السؤال لم يطلب منا تحليل كثيرة الحدود تحليلًا كاملًا، فإن بإمكاننا إيجاد قيم التي تجعل قيمة كل عامل من عوامل المقدار: تساوي صفرًا مباشرةً. وحينها سيصبح لدينا: وهي معادلة يمكننا حلُّها بحساب الجذر التربيعي لطرفَيها؛ حيث نتذكَّر أننا سنحصل على كلٍّ من الجذر التربيعي الموجب والسالب:
وبالمثل، يكون لدينا:
هذه هي أصفار الدالة. وبكتابتها في صورة مجموعة، تكون مجموعة أصفار الدالة هي .
في المثال التالي، سنُحدِّد قيمة ثابت باستخدام مجموعتَي أصفار لدالتين كثيرتَي حدود.
مثال ٦: إيجاد معامل مجهول في دالة تربيعية ودالة خطية بمعلومية أن مجموعتَي أصفارهما متساويتان
الدالتان ، لهما نفس مجموعة الأصفار. أوجد قيمة ، ومجموعة الأصفار.
الحل
نتذكَّر أن مجموعة أصفار دالة ما هي المجموعة التي تحتوي على جميع قيم التي تجعل . إذا كانت دالة خطية ما؛ فيمكننا تحديد مجموعة أصفارها عن طريق حل المعادلة . يكون لدينا:
بطرح ٩ من طرفَي المعادلة نحصل على:
نحن نريد قسمة الطرفين على ، ولكن لا يمكننا فعل ذلك إلا إذا كان لا يساوي صفرًا. لاحظ أنه إذا كان ، فإن . ومن ثَمَّ، ستكون دالة ثابتة ليس لها أصفار. ومع ذلك، فإن:
يمكننا ملاحظة أن هذه الدالة لها صفر، وذلك بحل المعادلة:
بما أن الدالتين ، يجب أن يكون لهما نفس مجموعة الأصفار، يمكننا استنتاج أن يجب ألَّا يساوي صفرًا. يمكننا الآن قسمة طرفَي المعادلة الخطية على :
وبما أن دالة خطية، يكون هذا هو جذرها فقط. يمكننا أيضًا استنتاج أن يجب أن يكون لها جذر متكرِّر، وهو . ونحن نعرف أن ؛ لذا هيا نُعوِّض بـ في :
يمكننا حساب ذلك لنحصل على:
يمكننا الآن الحل لإيجاد قيمة ؛ سنُضيف لطرفَي المعادلة لنحصل على:
نضرب بعد ذلك طرفَي المعادلة في لنحصل على:
وأخيرًا، نقسم طرفَي المعادلة على ١٦٢، ونحل لنحصل على:
لقد أوضحنا أن هاتين الدالتين لهما صفر واحد عند ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا إيجاد هذا الصفر بالتعويض بـ . نحصل على .
ومن ثَمَّ، يكون ، ومجموعة أصفار كلتا الدالتين هي .
في المثال الأخير، سنستخدم التحليل بتجميع الحدود لتحديد مجموعة أصفار دالة كثيرة حدود تكعيبية.
مثال ٧: إيجاد مجموعة الأصفار لدالة تكعيبية
أوجد مجموعة أصفار الدالة ؛ حيث تأخذ الأصفار الثلاثة كلها قيمًا صحيحةً.
الحل
تذكَّر أن صفرٌ للدالة إذا كانت . لإيجاد أصفار الدالة، علينا حل المعادلة:
إذن، في هذا السؤال، علينا حل المعادلة:
لاحظ أن دالة تكعيبية، وتذكَّر أنه يمكننا تحليل بعض كثيرات الحدود ذات الدرجات العليا باستخدام تجميع الحدود. وبما أننا نعلم أن جميع الأصفار الثلاثة لكثيرة الحدود التكعيبية هذه تأخذ قيمًا صحيحةً، فمن المحتمَل أن نتمكَّن من تحديد نمط بين الحدود بحيث نتمكَّن من تجميعها.
في الواقع، يمكننا تحليل الحدين الأوَّلين لنحصل على ، والحدين الأخيرين لنحصل على . ولأن هذين المقدارين بينهما عامل مشترك هو ، يمكننا إخراج هذا العامل لنحصل على:
بعد ذلك، نلاحظ أن على الصورة ، التي نتذكَّر أنها تُعرَف باسم الفرق بين مربعين، ويمكن تحليلها باستخدام الصيغة . هذا يُعطينا:
يمكننا الآن إيجاد أصفار الدالة الأصلية، وهي حلول المعادلة:
بمساواة كل عامل بصفر، نحصل على ، ، ٤، وهي أصفار الدالة. بكتابة هذه القيم في صورة مجموعة، تصبح لدينا مجموعة أصفار الدالة ، وهي .
هيا نختتم الآن بتلخيص بعض النقاط المهمة الواردة في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- أصفار أو جذور كثيرة الحدود هي القيم التي تجعل .
- إذا كانت كثيرة الحدود، ، فإن عاملٌ للدالة . العبارة نفسها صحيحة إذا عكسناها: إذا كان عاملًا لكثيرة الحدود ، فإن .
- يمكننا التحقُّق من أن صفرٌ لكثيرة الحدود من خلال التأكُّد من أن . يمكن أن يكون ذلك مفيدًا للتأكُّد من أن عددًا ما صفرٌ لكثيرة الحدود.
- هناك عدة أساليب يمكننا استخدامها لتساعدنا في تحديد جذور كثيرات الحدود، ومن ذلك القانون العام والتحليل بتجميع الحدود.