تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: أصفار الدوال الكثيرات الحدود الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد مجموعة أصفار الدالة التربيعية أو التكعيبية أو كثيرة الحدود ذات الدرجات العليا.

تَظهر الدوال كثيرات الحدود في جميع مجالات العلوم وفي العديد من التطبيقات الحياتية. على سبيل المثال، ستَتَّبع كرةٌ أُلقيت في الهواء قوسًا على شكل قطع مكافئ يمكن تمثيله بمعادلة تربيعية. وعلى وجه التحديد، سيُمثَّل ارتفاعُ الكرة عن الأرض بدالة تربيعية. وبناءً على ذلك، إذا أردنا إيجاد الزمن الذي ستستغرقه الكرة لتصطدم بالأرض، فعلينا إيجاد القيم التي تكون عندها الدالة التربيعية مساوية للصفر.

إن القيم المدخلة لـ 𞸎 حينما تكون القيمة المخرجة للدالة 󰎨 تساوي صفرًا تُسمى أصفارَ (أو جذورَ) الدالة، ويمكننا كتابة ذلك بطريقة منهجية أكثر على النحو التالي.

تعريف: أصفار أو جذور الدالة

إذا كانت 󰎨(󰏡)=٠، فإننا نقول إن 󰏡 صفر (أو جذر) للدالة 󰎨.

على سبيل المثال، بالنسبة إلى الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+١، يمكننا أن نلاحظ أن: 󰎨(١)=١+١=٠، إذن، ١ جذر لهذه الدالة.

هناك عدة طرق لإيجاد جذور الدالة. على سبيل المثال، بما أننا نبحث عن قيم 𞸎 التي تكون عندها 󰎨(𞸎)=٠، يمكننا تمثيل 𞸑=󰎨(𞸎) بيانيًّا، ومن ثم تكون النقاط التي تقع على المنحنى وتساوي القيمة المخرجة لها صفرًا هي الجذور؛ وستكون هي الأجزاء المقطوعة من المحور 𞸎. ولمعرفة ذلك، انظر إلى التمثيل البياني التالي للدالة 𞸑=󰎨(𞸎).

بالنظر إلى التمثيل البياني، يمكننا ملاحظة أن 󰎨(١)=٠، 󰎨(٠)=٠، 󰎨(٢)=٠؛ هذه النقاط هي جذور الدالة. وبما أنه قد يكون هناك جذور متعددة للدالة، فإننا نكتبها عادةً في مجموعة تُسمى مجموعة جذور الدالة؛ في هذه الحالة، مجموعة جذور 󰎨(𞸎) هي {١،٠،٢}.

ليست كل الدوال تحتوي على أصفار. انظر الدالة 󰎨(𞸎)=١. في هذه الدالة، كل قيمة مخرجة تساوي ١ دائمًا؛ ومن ثَمَّ لا يمكن لأي قيمة مدخلة أن تعطينا صفرًا. في الواقع، لن تحتوي الدالة الثابتة التي تكون على الصورة 󰎨(𞸎)=𞸢 على أصفار إلا إذا كان 𞸢=٠. وعندما لا تكون للدالة أي أصفار، يمكننا القول إن مجموعة الأصفار هي .

هناك إيجابيات وسلبيات لإيجاد أصفار دالة بيانيًّا مقابل إيجاد أصفارها جبريًّا. في هذا الشارح، سنركز على إيجاد الجذور الجبرية لكثيرات الحدود لأنها ستعطينا قيمًا دقيقة للجذور.

يمكننا إيجاد أصفار كثيرات الحدود باستخدام التحليل. على سبيل المثال، انظر الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٥𞸎+٦٢. يمكننا تحليل هذه الدالة عن طريق إيجاد زوج من الأعداد حاصل ضربهما يساوي ٦ ومجموعهما يساوي ٥؛ نجد أن ٢×٣=٦، ٢+٣=٥. ومن ثَمَّ: 𞸎+٥𞸎+٦=(𞸎+٢)(𞸎+٣).٢

وعليه، فإن أصفار الدالة هي حلول المعادلة: (𞸎+٢)(𞸎+٣)=٠.

في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، لدينا حاصل ضرب لا بد أن يساوي صفرًا. ونعلم أنه لكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يكون أحد العاملَيْنِ مساويًا لصفر. ومن ثَمَّ، يكون: 𞸎+٢=٠𞸎+٣=٠.أو

يمكننا حل هاتين المعادلتين كلٍّ على حدة لنحصل على 𞸎=٢، 𞸎=٣ على أنهما صفرَا الدالة. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه كان بإمكاننا استخدام القانون العام لإيجاد جذور المعادلة، لكن لا يمكننا استخدامه إلا عندما تكون الدالة تربيعية.

نتذكر أنه يمكننا تحليل بعض كثيرات الحدود ذات الدرجات العليا عن طريق تجميع الحدود. على سبيل المثال، في الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸎٤𞸎٤٣٢، يمكننا تحليل الحدين الأولين لنحصل على 𞸎(𞸎+١)٢، والحدين الأخيرين لنحصل على ٤(𞸎+١). وبما أن هذين العاملين بينهما عامل مشترك، فيمكننا إخراجه خارج المقدار لنحصل على: 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸎٤𞸎٤=𞸎(𞸎+١)٤(𞸎+١)=(𞸎+١)󰁓𞸎٤󰁒.٣٢٢٢.

يمكننا تحليل 𞸎٤٢ باستخدام الفرق بين مربعين، والذي نتذكر أنه يَنُص على أنه يمكننا تحليل الفرق بين مربعين كما يلي: 󰏡𞸁=(󰏡𞸁)(󰏡+𞸁)٢٢. وهذا يعطينا: 𞸎٤=(𞸎٢)(𞸎+٢).٢

ومن ثَمَّ، فإن أصفار هذه الدالة هي حلول المعادلة: 󰎨(𞸎)=٠(𞸎+١)󰁓𞸎٤󰁒=٠(𞸎+١)(𞸎+٢)(𞸎٢)=٠.٢

بحل كل عامل بمساواته بصفر، نحصل على 𞸎=١،٢،٢ بوصفها أصفار الدالة.

هناك طرق أخرى لتحليل كثيرة الحدود. وتتمثل إحدى هذه الطرق في استخدام حقيقة تُسمى نظرية العوامل إلى جانب قسمة كثيرة الحدود. وتَنُص نظرية العوامل على أنه إذا كانت 󰎨 كثيرة حدود و󰎨(󰏡)=٠، فإن (𞸎󰏡) يجب أن يكون عاملًا لكثيرة الحدود. وجدير بالملاحظة أن عكس هذه العبارة صحيح أيضًا: إذا كان (𞸎󰏡) عاملًا لكثيرة الحدود 󰎨، فإن 󰎨(󰏡)=٠.

يمكننا استخدام هذه النظرية لمساعدتنا في إيجاد جذور كثيرة الحدود. فإذا كانت 󰎨(𞸎) كثيرة حدود، ونعلم أن 󰎨(󰏡)=٠، نعرف إذن أن 𞸎󰏡 عامل لـ 󰎨(𞸎). ويعني هذا تحديدًا أنه يمكننا استخدام قسمة كثيرة الحدود لقسمة 󰎨(𞸎) على 𞸎󰏡، مما يتيح لنا تحليل 󰎨(𞸎).

لنتناول بعض الأمثلة على تطبيق هذه الأساليب لإيجاد أصفار كثيرات الحدود. وسنبدأ بدالة خطية.

مثال ١: إيجاد أصفار دالة خطية

أوجد مجموعة أصفار الدالة 󰎨(𞸎)=١٣(𞸎٤).

الحل

لعلنا نتذكر أن 𞸎=󰏡 صفر للدالة 󰎨 إذا كان 󰎨(󰏡)=٠. ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار هذه الدالة، علينا حل المعادلة: 󰎨(𞸎)=٠.

هذه هي المعادلة: ١٣(𞸎٤)=٠.

بضرب كلا الطرفين في ٣، نحصل على: ٣×١٣(𞸎٤)=٣×٠𞸎٤=٠.

ثم نضيف ٤ إلى كلا طرفَي المعادلة: 𞸎٤+٤=٠+٤𞸎=٤.

نلاحظ أن الصفر الوحيد للدالة 󰎨 يساوي ٤. ومن ثَمَّ، فإن مجموعة أصفار الدالة هي {٤}.

في المثال الثاني، سنوجد أصفار دالة تربيعية باستخدام التحليل.

مثال ٢: إيجاد أصفار دالة تربيعية معاملها الرئيسي يساوي 1 باستخدام التحليل

باستخدام التحليل، أوجد أصفار الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎٥٣٢.

الحل

لعلنا نتذكر أن أصفار الدالة 󰎨 هي القيم المدخلة التي تجعل 󰎨(𞸎)=٠. ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار الدالة التربيعية المعطاة، علينا حل المعادلة: 𞸎+٢𞸎٥٣=٠.٢

هناك عدة طرق مختلفة لفعل ذلك. فعلى سبيل المثال، يمكننا استخدام القانون العام. لكننا سنحلل الدالة التربيعية تحليلًا كاملًا. تذكر أنه لتحليل دالة تربيعية على الصورة 𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢، علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما 𞸢 ومجموعهما 𞸁. في هذه الحالة، لدينا 𞸁=٢، 𞸢=٥٣. ويمكننا سرد أزواج العوامل الممكنة لـ ٥٣ كما يلي:

١٣٥
٥٧
٧٥
٥٣١

من بين هذه الأزواج، نلاحظ أن ٥+٧=٢. ويمكننا استخدام هذين العددين لإعادة كتابة الحد ٢𞸎 في المعادلة التربيعية على الصورة: ٢𞸎=٧𞸎٥𞸎.

باستخدام ذلك لإعادة كتابة المعادلة، نحصل على: 𞸎+٢𞸎٥٣=٠𞸎+٧𞸎٥𞸎٥٣=٠.٢٢

يمكننا بعد ذلك تحليل الحدين الأولين والحدين الأخيرين كلٍّ على حدة: 𞸎+٧𞸎٥𞸎٥٣=٠𞸎(𞸎+٧)٥(𞸎+٧)=٠.٢

ثم نأخذ العامل المشترك 𞸎+٧ لنحصل على: (𞸎+٧)(𞸎٥)=٠.

لكي يكون حاصل ضرب عددين مساويًا الصفر، يجب أن يكون أحد العاملين مساويًا لصفر. ومن ثَمَّ، إما 𞸎+٧=٠ وإما 𞸎٥=٠. يمكننا حل كل معادلة على حدة.

أولًا: 𞸎+٧=٠.

نطرح ٧ من طرفَي المعادلة لنحصل على: 𞸎+٧٧=٠٧𞸎=٧.

ثانيًا: 𞸎٥=٠.

نضيف ٥ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على: 𞸎٥+٥=٠+٥𞸎=٥.

ومن ثَمَّ، فإن صفرَا الدالة التربيعية هما ٧، ٥.

في المثال التالي، سنوجد جذور معادلة تربيعية معاملها الرئيسي لا يساوي ١ باستخدام التحليل.

مثال ٣: إيجاد أصفار معادلة تربيعية معاملها الرئيسي لا يساوي 1 باستخدام التحليل

أوجد بالتحليل أصفار الدالة 󰎨(𞸎)=٩𞸎+٩𞸎٠٤٢.

الحل

لعلنا نتذكر أننا ذكرنا أن 𞸎=󰏡 هو صفر لـ 󰎨 عندما 󰎨(󰏡)=٠. ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار هذه الدالة، علينا حل المعادلة: 󰎨(𞸎)=٠٩𞸎+٩𞸎٠٤=٠.٢

يمكننا فعل ذلك باستخدام القانون العام؛ ولكننا سنستخدم طريقة تجميع الحدود. نتذكر أنه لتحليل دالة تربيعية على الصورة 󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢٢، علينا إيجاد زوج من العوامل 󰏡𞸢 مجموعه يساوي 𞸁. في هذه المعادلة التربيعية، لدينا 󰏡=٩، 𞸁=٩، 𞸢=٠٤، لذا علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما يساوي ٩×(٠٤)=٠٦٣ ومجموعهما يساوي ٩. نلاحظ أن: (٥١)×٤٢=٠٦٣٥١+٤٢=٩.

لتطبيق طريقة تجميع الحدود لتحليل هذه الدالة التربيعية، نستخدم هذين العددين لإعادة كتابة الحد الثاني في المعادلة التربيعية كما يلي: ٩𞸎=٥١𞸎+٤٢𞸎.

ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة التربيعية على الصورة: ٩𞸎+٩𞸎٠٤=٠٩𞸎٥١𞸎+٤٢𞸎٠٤=٠.٢٢

علينا بعد ذلك تحليل الحدين الأولين والحدين الثانيين كلٍّ على حدة: ٣𞸎(٣𞸎٥)+٨(٣𞸎٥)=٠.

يمكننا أخذ العامل المشترك ٣𞸎٥: (٣𞸎٥)(٣𞸎+٨)=٠.

لكي يكون حاصل الضرب مساويًا لصفر، يجب أن يكون أحد العاملين مساويًا لصفر. ومن ثًمَّ، يكون ٣𞸎٥=٠٣𞸎+٨=٠.أو

يمكننا حل كل معادلة على حدة. أولًا: ٣𞸎٥=٠.

نضيف ٥ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على: ٣𞸎٥+٥=٠+٥٣𞸎=٥؛ ثم نقسم الطرفين على ٣، وهو ما يعطينا: 𞸎=٥٣.

ثانيًا: ٣𞸎+٨=٠.

نطرح ٨ من طرفَي المعادلة لنحصل على: ٣𞸎+٨٨=٠٨٣𞸎=٨؛ نقسم بعد ذلك الطرفين على ٣، وهو ما يعطينا: 𞸎=٨٣.

ومن ثَمَّ، فإن صفرَا الدالة هما ٥٣، ٨٣.

حتى الآن، لم نوجِد سوى أصفار كثيرات الحدود من الدرجة الثانية أو أقل. وفي الأمثلة المتبقية، سنوجد أصفار كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة أو أكثر.

مثال ٤: إيجاد أصفار دالة من الدرجة الرابعة باستخدام التحليل

أوجد مجموعة أصفار الدالة 󰎨(𞸎)=٩𞸎+٥٢٢𞸎٤٢.

الحل

لعلنا نتذكر أن أصفار أو جذور الدالة هي القيم المدخلة التي تجعل القيمة المخرجة للدالة تساوي صفرًا. ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار 󰎨 علينا حل المعادلة 󰎨(𞸎)=٠؛ وهذه هي المعادلة: ٩𞸎+٥٢٢𞸎=٠.٤٢

يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام التحليل. ونلاحظ أن الحدين بينهما عامل مشترك هو ٩𞸎٢؛ بإخراج هذا العامل نحصل على: ٩𞸎󰃁٩𞸎+٥٢٢𞸎٩𞸎󰃀=٠٩𞸎󰁓𞸎+٥٢󰁒=٠.٢٤٢٢٢٢

إذا أخذنا بعد ذلك العامل المشترك ١، فسنحصل على: ٩𞸎󰁓𞸎٥٢󰁒=٠.٢٢

يمكننا التحليل أكثر عن طريق تذكُّر نتيجة الفرق بين مربعين، والتي تَنُص على: 𞸎󰏡=(𞸎󰏡)(𞸎+󰏡).٢٢

بتطبيق هذا؛ حيث 󰏡=󰋴٥٢=٥، نحصل على: 𞸎٥٢=(𞸎٥)(𞸎+٥).٢

يمكننا بعد ذلك إعادة كتابة المعادلة: ٩𞸎󰁓𞸎٥٢󰁒=٠٩𞸎(𞸎٥)(𞸎+٥)=٠.٢٢٢

بما أن 𞸎=𞸎𞸎٢، وهذا هو حاصل ضرب عاملين خطيين، فلا يمكن التحليل أكثر من ذلك. يمكننا الآن إيجاد أصفار المعادلة بتذكُّر أنه إذا كان حاصل الضرب يساوي صفرًا، فلا بد أن أحد العوامل يساوي صفرًا. يمكننا حل كل عامل من العوامل بجعله مساويًا لصفر على حدة. أولًا: ٩𞸎=٠.٢

نقسم الطرفين على ٩: 𞸎=٠.٢

بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفَي المعادلة، فنلاحظ أن الجذر يساوي صفرًا فقط: 𞸎=٠.

ثانيًا: 𞸎٥=٠.

نضيف ٥ إلى طرفَي المعادلة: 𞸎٥+٥=٠+٥𞸎=٥.

ثالثًا: 𞸎+٥=٠.

نطرح ٥ من كلا طرفَي المعادلة، وهو ما يعطينا الصفر الأخير للدالة: 𞸎+٥٥=٠٥𞸎=٥.

يجدر بنا ملاحظة أنه نظرًا لأن السؤال لم يطلب منا تحليل كثيرة الحدود تحليلًا كاملًا، كان بإمكاننا إيجاد قيم 𞸎 التي تجعل كل عامل من عوامل المقدار: ٩𞸎󰁓𞸎٥٢󰁒=٠٢٢ يساوي صفرًا مباشرةً. وكان سيكون لدينا حينها: 𞸎٥٢=٠𞸎=٥٢،٢٢ الذي يمكننا حلُّه بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، حيث نحصل على الجذر التربيعي الموجب والسالب: 𞸎=±󰋴٥٢=±٥.

وبالمثل، سيكون لدينا: ٩𞸎=٠𞸎=٠.٢

بكتابة هذه القيم على صورة مجموعة، نحصل على مجموعة أصفار هذه الدالة وهي {٥،٠،٥}.

مثال ٥: إيجاد أصفار دالة تكعيبية مُحَلَّلة جزئيًّا

أوجد مجموعة أصفار الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎󰁓𞸎١٨󰁒٢󰁓𞸎١٨󰁒٢٢.

الحل

لعلنا نتذكر أن 𞸎=󰏡 صفر للدالة 󰎨 إذا كان 󰎨(󰏡)=٠. ومن ثَمَّ، لإيجاد أصفار هذه الدالة، علينا حل المعادلة: 󰎨(𞸎)=٠.

هذه هي المعادلة: 𞸎󰁓𞸎١٨󰁒٢󰁓𞸎١٨󰁒=٠.٢٢

بما أن الحدين في الطرف الأيمن من هذه المعادلة بينهما عامل مشترك هو 𞸎١٨٢، فسنحل هذه المسألة باستخدام التحليل. بإخراج العامل المشترك، سنحصل على: 󰁓𞸎١٨󰁒(𞸎٢)=٠.٢

يمكننا التحليل أكثر من ذلك بتذكُّر أن الفرق بين مربعين يَنُص على أنه لأي ثابت 󰏡، فإن 𞸎󰏡=(𞸎󰏡)(𞸎+󰏡)٢٢. بجعل 󰏡=٩، سيكون لدينا 𞸎١٨=(𞸎٩)(𞸎+٩)٢. ومن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على الصورة: (𞸎٩)(𞸎+٩)(𞸎٢)=٠.

بما أن هذه ثلاثة عوامل خطية، نكون قد حلَّلنا المقدار تحليلًا كاملًا. ولكي يساوي حاصل الضرب صفرًا، يجب أن يكون أحد العوامل مساويًا لصفر. ومن ثَمَّ، يكون لدينا: 𞸎٩=٠،𞸎+٩=٠،𞸎٢=٠.أو

يمكننا حل كل معادلة على حدة. أولًا: 𞸎٩=٠.

نضيف ٩ إلى كلا طرفَي المعادلة: 𞸎٩+٩=٠+٩𞸎=٩.

ثانيًا: 𞸎+٩=٠.

نطرح ٩ من طرفَي المعادلة، وهو ما يعطينا: 𞸎+٩٩=٠٩𞸎=٩.

ثالثًا: 𞸎٢=٠.

نضيف ٢ إلى طرفَي المعادلة لنحصل على: 𞸎٢+٢=٠+٢𞸎=٢.

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا ثلاثة حلول هي: 𞸎=٩ أو ٩ أو ٢.

يجدر بنا ملاحظة أنه نظرًا لأن السؤال لم يطلب منا تحليل كثيرة الحدود تحليلًا كاملًا، كان بإمكاننا إيجاد قيم 𞸎 التي تجعل كل عامل من عوامل المقدار: 󰁓𞸎١٨󰁒(𞸎٢)=٠٢ يساوي صفرًا مباشرةً. وحينها سيكون لدينا: 𞸎١٨=٠𞸎=١٨،٢٢ وهو ما يمكننا حلُّه بأخذ الجذر التربيعي لطرفَي المعادلة، حيث نتذكر أننا سنحصل على كلٍّ من الجذر التربيعي الموجب والسالب: 𞸎=±󰋴١٨=±٩.

وبالمثل، يكون لدينا: 𞸎٢=٠𞸎=٢.

هذه هي أصفار الدالة. وبكتابتها في مجموعة، تكون مجموعة أصفار الدالة 󰎨(𞸎) هي {٩،٢،٩}.

في المثال الأخير، سنستخدم نظرية العوامل لتحديد جذور كثيرة حدود تكعيبية.

مثال ٦: إيجاد أصفار دالة تكعيبية

إذا كان 󰎨(𞸎)=𞸎+٣𞸎٣١𞸎٥١٣٢، 󰎨(١)=٠، فأوجد الأصفار الأخرى للدالة 󰎨(𞸎).

الحل

نبدأ بتذكُّر أن جذور الدالة 󰎨 هي قيم 󰏡 التي تجعل 󰎨(󰏡)=٠. بما أن لدينا 󰎨(١)=٠، فإننا نعلم أن ١ جذر لـ 󰎨(𞸎). وإحدى طرق إيجاد جذور كثيرة الحدود هي تحليل الدالة تحليلًا كاملًا.

بما أن لدينا جذرًا للدالة، يمكننا فعل ذلك بتذكُّر جزء من نظرية العوامل: إذا كانت 󰎨(𞸎) كثيرة حدود، 󰎨(󰏡)=٠، فإن (𞸎󰏡) عامل لـ 󰎨(𞸎).

في هذه الحالة، 󰎨 كثيرة حدود تكعيبية، ونعلم من المعطيات أن 󰎨(١)=٠. إذن، بجعل 󰏡=١، تَنُص نظرية العوامل على أن (𞸎(١))=𞸎+١ عامل لـ 󰎨(𞸎). هناك بعض الطرق المختلفة التي يمكننا استخدامها لتحليل كثيرة الحدود التكعيبية؛ وسنوضِّح طريقتين منها.

أولًا، يمكننا التحليل باستخدام طريقة تجميع الحدود. بما أننا نعلم أن 𞸎+١ عامل لـ 󰎨، يمكننا كتابة 󰎨(𞸎)=(𞸎+١)󰁓󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢󰁒٢. وبتوزيع الأقواس، نحصل على: 𞸎+٣𞸎٣١𞸎٥١=󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢𞸎+󰏡𞸎+𞸁𞸎+𞸢=󰏡𞸎+(󰏡+𞸁)𞸎+(𞸁+𞸢)𞸎+𞸢.٣٢٣٢٢٣٢

وبمساواة معاملات 𞸎٣، نحصل على 󰏡=١. يمكننا بعد ذلك التعويض بذلك في المقدار لنحصل على: 𞸎+٣𞸎٣١𞸎٥١=𞸎+(١+𞸁)𞸎+(𞸁+𞸢)𞸎+𞸢.٣٢٣٢

وبمساواة معاملات 𞸎٢، نحصل على: ٣=١+𞸁، وهو ما يمكننا حله لإيجاد قيمة 𞸁 بطرح ١ من كلا طرفَي المعادلة: ٣١=١+𞸁١٢=𞸁.

وبالمثل، بمساواة الحدود الثابتة نحصل على: 𞸢=٥١.

يمكننا التعويض بهذه القيم في المعادلة لنجد أن: 𞸎+٣𞸎٣١𞸎٥١=𞸎+(١+٢)𞸎+(٢٥١)𞸎٥١=𞸎+٣𞸎٣١𞸎٥١.٣٢٣٢٣٢

هذا يؤكد أننا أوجدنا قيم المعاملات بشكل صحيح. لدينا: 󰎨(𞸎)=(𞸎+١)󰁓𞸎+٢𞸎٥١󰁒.٢

يمكننا التحليل أكثر من ذلك بملاحظة أن ٥×(٣)=٥١، ٥٣=٢. وهذا يعني أن: 𞸎+٢𞸎٥١=(𞸎+٥)(𞸎٣).٢

ومن ثَمَّ، نكون قد أوضحنا أن: 󰎨(𞸎)=(𞸎+١)(𞸎+٥)(𞸎٣).

بالنسبة إلى 󰎨(𞸎)=٠، لدينا: (𞸎+١)(𞸎+٥)(𞸎٣)=٠، ولكي يساوي حاصلُ الضرب صفرًا، يجب أن يكون أحد العوامل مساويًا لصفر؛ إذن 𞸎=١ أو ٥ أو ٣. وبما أن السؤال يطلب إيجاد الجذرين الآخرين، فهُما 𞸎=٣، 𞸎=٥.

بدلًا من ذلك، كان بإمكاننا استخدام قسمة كثيرة الحدود لإخراج العامل 𞸎+١ من 󰎨(𞸎). وسيكون لدينا:

وهكذا، يكون لدينا: 󰎨(𞸎)=(𞸎+١)󰁓𞸎+٢𞸎٥١󰁒.٢

يمكننا بعد ذلك تحليل الدالة التربيعية بالطريقة نفسها، ثم نحلها لإيجاد الجذرين الآخرين لـ 󰎨(𞸎) وهما 𞸎=٣، 𞸎=٥.

دعونا نُنْهِ بتلخيص بعض النقاط المهمة بهذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • أصفار أو جذور كثيرة الحدود 󰎨(𞸎) هي قيم 𞸎=󰏡 بحيث 󰎨(󰏡)=٠.
  • إذا كانت 󰎨 كثيرة حدود، 󰎨(󰏡)=٠، فإن (𞸎󰏡) عامل لـ 󰎨. والعبارة نفسها صحيحة بالعكس: أي إذا كان (𞸎󰏡) عاملًا لكثيرة الحدود 󰎨، فإن 󰎨(󰏡)=٠.
  • هناك العديد من الطرق التي يمكننا استخدامها لتساعدنا في إيجاد جذور كثيرات الحدود، بما في ذلك القانون العام، والتحليل باستخدام تجميع الحدود، وقسمة كثيرة الحدود.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.