شارح الدرس: مضروب العدد الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مضروب أي عدد 𞸍، الذي يُعبِّر عن حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الأقل من أو تساوي 𞸍، والأكبر من أو تساوي واحدًا، وكيف نُوجِد المضروب لحل المسائل.

عند التفكير في الطرق المختلفة التي يمكننا بها تكوين أعداد من الأرقام الأربعة ٣، ٥، ٧، ٩، نجد أن هناك إجمالي ٤×٣×٢×١ من الأعداد الممكنة المختلفة. وبشكل عام، إذا كنا نريد معرفة عدد الطرق التي يمكننا بها إعادة ترتيب مجموعة مكوَّنة من 𞸍 من العناصر، فسنجد أن العدد الإجمالي هو 𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)××٢×١. تُستخدَم هذه العملية الحسابية المرتبطة بإيجاد حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي 𞸍 بشكل منتظم في مجالات مختلفة من الرياضيات حتى أطلق عليها علماء الرياضيات مضروب 𞸍.

تعريف: المضروب

مضروب العدد الصحيح الموجب 𞸍 هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي 𞸍. نستخدم الترميز 𞸍، الذي نقرؤه مضروب 𞸍، للإشارة إلى المضروب. ومن ثم، فإن: 𞸍=𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)××٢×١.

نعرف مضروب صفر بأنه يساوي واحدًا. وهو ما يعني أن ٠=١.

حسب التعريف، ليس من الصعب أن نعرف أنه لأي عدد صحيح 𞸍١: 𞸍=𞸍𞸍١.

في كثير من الأحيان، تُعتبر هذه هي الخاصية الأساسية لمضروب العدد، كما سنرى؛ حيث إننا سنطبِّقها مرارًا وتكرارًا لحل المسائل التي تحتوي على المضروبات.

دعونا نتدرب الآن في المثال الأول على إيجاد مضروب عدد.

مثال ١: إيجاد قيمة مضروب العدد

احسب ٤.

الحل

نذكر أن تعريف 𞸍 هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي 𞸍، ما يكافئ: 𞸍=𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)××٢×١.

ومن ثم، فإن: ٤=٤×٣×٢×١=٤٢.

هناك مضروبا عددين يساويان واحدًا، هما ٠، ١. سنستخدم هذه الخاصية لمضروب العدد لحل المثال التالي.

مثال ٢: حل المسائل التي تحتوي على مضروب صفر

أوجد مجموعة حل 𞸍٦٢=٠.

الحل

بما أن 𞸍٦٢=٠، إذن 𞸍٦٢=٠. وبناءً على ذلك، فإن 𞸍=٦٢. لسوء الحظ، هذه ليست الإجابة الكاملة. بدلًا من ذلك، علينا تذكُّر أن ٠=١ وصفر ليس العدد الوحيد الذي يساوي مضروبه واحدًا. وتحديدًا، فإن مضروب واحد يساوي واحدًا أيضًا: ١=١. ومن ثم، لحل 𞸍٦٢=٠، علينا التفكير في الحالتين: حيث 𞸍٦٢=٠، 𞸍٦٢=١. وعليه، نجد أن 𞸍=٦٢، 𞸍=٧٢ هما الحلان الممكنان. ومن ثم، فإن مجموعة الحل هي {٢٦، ٢٧}.

معظم الآلات الحاسبة العلمية تحتوي على زر لحساب مضروب أي عدد. وفي مثال مثل الوارد أعلاه، من المنطقي تمامًا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيم المقادير. ولكن، هذا غير ممكن دائمًا. في الواقع، يزداد ناتج مضروبات الأعداد بسرعة كبيرة؛ بحيث يتعذَّر على معظم الآلات الحاسبة إيجاد مضروبات الأعداد الأكبر من ٦٩. لكن هذا لا يعني أننا غير قادرين على التعامل معها. بدلًا من ذلك، سنتمكَّن باستخدام خواص المضروبات من حل المسائل التي تشمل أعدادًا كبيرة يصعب على الآلة الحاسبة حلها.

في المثال التالي، سنستخدم خواص مضروب العدد لإيجاد قيمة مقدار مُعطى يحتوي على مضروبات أعداد.

مثال ٣: خواص مضروب العدد

بدون استخدام الآلة الحاسبة، أوجد قيمة المقدار ٠١٢٩٠٢٠١٢.

الحل

باستخدام الخاصية التالية للمضروب التي توضِّح أن: 𞸍=𞸍𞸍١، نجد أن: ٠١٢٩٠٢=٠١٢

ومن ثم، فإن: ٠١٢٩٠٢٠١٢=٠١٢٠١٢=٠.

يمكننا أيضًا تطبيق هذه الخاصية عند التعامل مع المقادير التي تحتوي على مضروب عدد مجهول. فلنتناول مثالًا على ذلك.

مثال ٤: تبسيط المقادير التي تحتوي على مضروب عدد

اختصر 𞸍+٢𞸍.

الحل

باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح أن: 𞸓=𞸓𞸓١،

يمكننا إعادة كتابة: 𞸍+٢=(𞸍+٢)𞸍+١.

وبتطبيق الخاصية نفسها مرة أخرى، يمكننا كتابة: 𞸍+٢=(𞸍+٢)(𞸍+١)𞸍.

سنعوِّض بهذه الصيغة في المقدار: 𞸍+٢𞸍=(𞸍+٢)(𞸍+١)𞸍𞸍.

ومن ثم، تُحذف العوامل المشتركة بين البسط والمقام، لنحصل: 𞸍+٢𞸍=(𞸍+٢)(𞸍+١).

هيا نتناول مثالُا نستخدم فيه خواص مضروب العدد لحل معادلة تحتوي على مضروبات أعداد.

مثال ٥: استخدام خواص مضروب العدد في حل المسائل

أوجد قيمة 𞸍 التي تحقِّق المعادلة 𞸍+٨٤𞸍+٧٤=٥٦.

الحل

باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح: 𞸓=𞸓𞸓١، يمكننا إعادة كتابة: 𞸍+٨٤=(𞸍+٨٤)𞸍+٧٤.

وبالتعويض بهذا في المعادلة المعطاة، نحصل على: ٦=𞸍+٨٤𞸍+٧٤=(𞸍+٨٤)𞸍+٧٤𞸍+٧٤.

تُحذف العوامل المشتركة في كلٍّ من البسط والمقام، وبذلك يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: ٥٦=𞸍+٨٤.

وإذا أعدنا الترتيب، فسنحصل على 𞸍=٧١.

لنتناول مثالُا آخر نستخدم فيه خواص مضروب العدد لحل معادلة تحتوي على مضروبات أعداد.

مثال ٦: حل المعادلات التي تشمل مضروبات الأعداد

أوجد مجموعة حل ١𞸍+٧+١𞸍+٨=٦٥٢𞸍+٩.

الحل

سنبدأ بضرب طرفَي المعادلة في 𞸍+٩ وهو ما يعطينا: 𞸍+٩𞸍+٧+𞸍+٩𞸍+٨=٦٥٢.

باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح أن: 𞸓=𞸓𞸓١، يمكننا إعادة صياغة: 𞸍+٩=(𞸍+٩)𞸍+٨ و: 𞸍+٩=(𞸍+٩)(𞸍+٨)𞸍+٧. وبالتعويض بهذين المقدارين في بَسْطَي المعادلة، نحصل على: (𞸍+٩)(𞸍+٨)𞸍+٧𞸍+٧+(𞸍+٩)𞸍+٨𞸍+٨=٦٥٢.

تُحذف العوامل المشتركة في البسطين والمقامين، وهكذا يمكننا كتابة هذا على الصورة: (𞸍+٩)(𞸍+٨)+(𞸍+٩)=٦٥٢.

بفك الأقواس، يصبح لدينا: 𞸍+٧١𞸍+٢٧+𞸍+٩=٦٥٢.٢

وبإعادة الترتيب، نصل إلى المعادلة التربيعية: 𞸍+٨١𞸍٥٧١=٠.٢

بالتحليل أو بتطبيق القانون العام، يمكننا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة: (𞸍+٥٢)(𞸍٧)=٠.

ومن ثم، فإن 𞸍=٥٢ أو 𞸍=٧. وبما أن مضروبات الأعداد معرَّفة فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة، إذن يمكننا تجاهل الحل 𞸍=٥٢. وبذلك، فإن مجموعة حل المعادلة هي {٧}.

حتى الآن، تَمكَّنَّا من استخدام خواص مضروب العدد في تبسيط المعادلات وعزل أي مجاهيل لتعطي حلول للمعادلات الخطية والتربيعية. لكن هذه الطرق لن تساعدنا عندما نريد إيجاد عدد مجهول بمعلومية مضروبه. ومن أجل ذلك، نستخدم حقيقة أن مضروب العدد هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي العددًا المعينًا. إذن، بمعلومية عدد ما، يمكننا القسمة تباعًا على أعداد صحيحة موجبة متتالية حتى يتبقى لدينا عدد صحيح. يوضِّح المثال التالي هذه العملية.

مثال ٧: إيجاد العدد المجهول بمعلومية مضروبه

أوجد قيمة 𞸍؛ حيث 𞸍=٠٢٧.

الحل

بما أن المضروب هو حاصل ضرب أعداد صحيحة موجبة متتالية، إذن يمكننا قسمة ٧٢٠ على أعداد صحيحة موجبة متتالية، كما يلي. لنبدأ بواحد: بما أن: ٠٢٧١=٠٢٧،إذن يمكننا إعادة كتابة: ٠٢٧=٠٢٧×١.

بعد ذلك، سنقسم ٧٢٠ على اثنين، وهو ما يعطينا: ٠٢٧٢=٠٦٣.

ومن ثم، فإن: ٠٢٧=٠٦٣×٢×١.

بقسمة ٣٦٠ على ثلاثة نحصل على ١٢٠. ومن ثم، يمكننا كتابة: ٠٢٧=٠٢١×٣×٢×١.

وبالمثل، بقسمة ١٢٠ على أربعة، نحصل على ٣٠. ومن ثم، فإن: ٠٢٧=٠٣×٤×٣×٢×١.

وأخيرًا، بقسمة ٣٠ على خمسة، نحصل على ٦، وهو ما يعطينا: ٠٢٧=٦×٥×٤×٣×٢×١.

باستخدام هذه العملية، نكون قد عبَّرنا عن ٧٢٠ باعتباره حاصل ضرب أول ستة أعداد صحيحة متتالية. ومن ثم، يصبح لدينا ٠٢٧=٦. يمكننا كتابة ذلك بطريقة أكثر اختصارًا كما يلي: ٠٢٧=٠٢٧×١=٠٦٣×٢×١=٠٢١×٣×٢×١=٠٣×٤×٣×٢×١=٦×٥×٤×٣×٢×١=٦.

إذن الإجابة النهائية هي 𞸍=٦.

سننُهي شرحنا بتناول مثال آخر ؛ حيث يمكننا تطبيق كل الأساليب التي تعلَّمناها لحل مسألة أخيرة تحتوي على مضروب عدد.

مثال ٨: حل المسائل باستخدام مضروب العدد

أوجد قيمة 𞸍؛ حيث 𞸍٨𞸍١=٠٤٠٥.

الحل

لنتناول أولًا القيمة ٥‎ ‎٠٤٠. وبما أن الطرف الأيمن من المعادلة لدينا هو حاصل ضرب مضروب عدد في عدد صحيح، إذن يمكننا التعبير عن ٥‎ ‎٠٤٠ في صورة مضروب عدد أو في صورة حاصل ضرب مضروب عدد في عدد صحيح آخر. لفعل ذلك، يمكننا قسمته تباعًا على الأعداد الطبيعية كما يلي: ٠٤٠٥=٠٤٠٥×١=٠٢٥٢×٢×١=٠٤٨×٣×٢×١=٠١٢×٤×٣×٢×١=٢٤×٥×٤×٣×٢×١=٧×٦×٥×٤×٣×٢×١=٧.

لننظر الآن إلى الطرف الآخر من المعادلة. نذكر أنه لأي عدد صحيح موجب 𞸍، فإن: 𞸍=𞸍𞸍١.

ليس لدينا الآن عددان متتاليان 𞸍، 𞸍١ لتطبيق هذه الصيغة. لكن، عند الضرب في ٨ والقسمة عليها، نحصل على العددين المتتاليين ٨𞸍، ٨𞸍١؛ ومن ثَمَّ يصبح بإمكاننا تطبيق الصيغة على النحو التالي: 𞸍٨𞸍١=١٨٨𞸍٨𞸍١=١٨٨𞸍.

هذا يعني أن: ١٨٨𞸍=٧٨𞸍=٨×٧=٨.

ومن ثم، فإن 𞸍=١.

دعونا نختم هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.

النقاط الرئيسية

  • يُعرَّف مضروب العدد الصحيح الموجب 𞸍 بأنه حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي 𞸍.ويُكتب على الصورة 𞸍.
  • توضِّح الخاصية الأساسية لمضروب العدد أن 𞸍=𞸍𞸍١.باستخدام هذه الخاصية، يمكننا عادةً تبسيط المقادير التي تحتوي على مضروب عدد وحل المعادلات التي تشمل مضروب عدد.
  • عند محاولة إيجاد عدد صحيح مجهول بمعلومية مضروبه، نقسم على أعداد صحيحة موجبة متتالية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.