شارح الدرس: مضروب العدد الرياضيات

مثال ١: إيجاد قيمة مضروب العدد

احسب .

الحل

نذكر أن تعريف هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي ، ما يكافئ:

ومن ثم، فإن:

مثال ٢: حل المسائل التي تحتوي على مضروب صفر

أوجد مجموعة حل .

الحل

بما أن ، إذن . وبناءً على ذلك، فإن . لسوء الحظ، هذه ليست الإجابة الكاملة. بدلًا من ذلك، علينا تذكُّر أن وصفر ليس العدد الوحيد الذي يساوي مضروبه واحدًا. وتحديدًا، فإن مضروب واحد يساوي واحدًا أيضًا: . ومن ثم، لحل ، علينا التفكير في الحالتين: حيث ، . وعليه، نجد أن ، هما الحلان الممكنان. ومن ثم، فإن مجموعة الحل هي {٢٦، ٢٧}.

مثال ٣: خواص مضروب العدد

بدون استخدام الآلة الحاسبة، أوجد قيمة المقدار .

الحل

باستخدام الخاصية التالية للمضروب التي توضِّح أن: نجد أن:

ومن ثم، فإن:

مثال ٤: تبسيط المقادير التي تحتوي على مضروب عدد

اختصر .

الحل

باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح أن:

يمكننا إعادة كتابة:

وبتطبيق الخاصية نفسها مرة أخرى، يمكننا كتابة:

سنعوِّض بهذه الصيغة في المقدار:

ومن ثم، تُحذف العوامل المشتركة بين البسط والمقام، لنحصل:

مثال ٥: استخدام خواص مضروب العدد في حل المسائل

أوجد قيمة التي تحقِّق المعادلة .

الحل

باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح: يمكننا إعادة كتابة:

وبالتعويض بهذا في المعادلة المعطاة، نحصل على:

تُحذف العوامل المشتركة في كلٍّ من البسط والمقام، وبذلك يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:

وإذا أعدنا الترتيب، فسنحصل على .

مثال ٦: حل المعادلات التي تشمل مضروبات الأعداد

أوجد مجموعة حل .

الحل

سنبدأ بضرب طرفَي المعادلة في وهو ما يعطينا:

باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح أن: يمكننا إعادة صياغة: و: وبالتعويض بهذين المقدارين في بَسْطَي المعادلة، نحصل على:

تُحذف العوامل المشتركة في البسطين والمقامين، وهكذا يمكننا كتابة هذا على الصورة:

بفك الأقواس، يصبح لدينا:

وبإعادة الترتيب، نصل إلى المعادلة التربيعية:

بالتحليل أو بتطبيق القانون العام، يمكننا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة:

ومن ثم، فإن أو . وبما أن مضروبات الأعداد معرَّفة فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة، إذن يمكننا تجاهل الحل . وبذلك، فإن مجموعة حل المعادلة هي {٧}.

مثال ٧: إيجاد العدد المجهول بمعلومية مضروبه

أوجد قيمة ؛ حيث .

الحل

بما أن المضروب هو حاصل ضرب أعداد صحيحة موجبة متتالية، إذن يمكننا قسمة ٧٢٠ على أعداد صحيحة موجبة متتالية، كما يلي. لنبدأ بواحد: بما أن: إذن يمكننا إعادة كتابة:

بعد ذلك، سنقسم ٧٢٠ على اثنين، وهو ما يعطينا:

ومن ثم، فإن:

بقسمة ٣٦٠ على ثلاثة نحصل على ١٢٠. ومن ثم، يمكننا كتابة:

وبالمثل، بقسمة ١٢٠ على أربعة، نحصل على ٣٠. ومن ثم، فإن:

وأخيرًا، بقسمة ٣٠ على خمسة، نحصل على ٦، وهو ما يعطينا:

باستخدام هذه العملية، نكون قد عبَّرنا عن ٧٢٠ باعتباره حاصل ضرب أول ستة أعداد صحيحة متتالية. ومن ثم، يصبح لدينا . يمكننا كتابة ذلك بطريقة أكثر اختصارًا كما يلي:

إذن الإجابة النهائية هي .

مثال ٨: حل المسائل باستخدام مضروب العدد

أوجد قيمة ؛ حيث .

الحل

لنتناول أولًا القيمة ٥‎ ‎٠٤٠. وبما أن الطرف الأيمن من المعادلة لدينا هو حاصل ضرب مضروب عدد في عدد صحيح، إذن يمكننا التعبير عن ٥‎ ‎٠٤٠ في صورة مضروب عدد أو في صورة حاصل ضرب مضروب عدد في عدد صحيح آخر. لفعل ذلك، يمكننا قسمته تباعًا على الأعداد الطبيعية كما يلي:

لننظر الآن إلى الطرف الآخر من المعادلة. نذكر أنه لأي عدد صحيح موجب ، فإن:

ليس لدينا الآن عددان متتاليان ، لتطبيق هذه الصيغة. لكن، عند الضرب في ٨ والقسمة عليها، نحصل على العددين المتتاليين ، ؛ ومن ثَمَّ يصبح بإمكاننا تطبيق الصيغة على النحو التالي:

هذا يعني أن:

ومن ثم، فإن .