في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد مضروب أي عدد ، الذي يُعبِّر عن حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الأقل من أو تساوي ، والأكبر من أو تساوي واحدًا، وكيف نُوجِد المضروب لحل المسائل.
عند التفكير في الطرق المختلفة التي يمكننا بها تكوين أعداد من الأرقام الأربعة ٣، ٥، ٧، ٩، نجد أن هناك إجمالي من الأعداد الممكنة المختلفة. وبشكل عام، إذا كنا نريد معرفة عدد الطرق التي يمكننا بها إعادة ترتيب مجموعة مكوَّنة من من العناصر، فسنجد أن العدد الإجمالي هو . تُستخدَم هذه العملية الحسابية المرتبطة بإيجاد حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي بشكل منتظم في مجالات مختلفة من الرياضيات حتى أطلق عليها علماء الرياضيات مضروب .
تعريف: المضروب
مضروب العدد الصحيح الموجب هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي . نستخدم الترميز ، الذي نقرؤه مضروب ، للإشارة إلى المضروب. ومن ثم، فإن:
نعرِّف مضروب صفر بأنه يساوي واحدًا، وهو ما يعني أن .
حسب التعريف، ليس من الصعب أن نعرف أنه لأي عدد صحيح :
في كثير من الأحيان، تُعتبر هذه هي الخاصية الأساسية لمضروب العدد، كما سنرى؛ حيث إننا سنطبِّقها مرارًا وتكرارًا لحل المسائل التي تحتوي على المضروبات.
دعونا نتدرب الآن في المثال الأول على إيجاد مضروب عدد.
مثال ١: إيجاد قيمة مضروب العدد
احسب .
الحل
نذكر أن تعريف هو حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي ، ما يكافئ:
ومن ثم، فإن:
هناك مضروبا عددين يساويان واحدًا، هما ، . سنستخدم هذه الخاصية لمضروب العدد لحل المثال التالي.
مثال ٢: حل المسائل التي تحتوي على مضروب صفر
أوجد مجموعة حل .
الحل
بما أن ، إذن . وبناءً على ذلك، فإن . لسوء الحظ، هذه ليست الإجابة الكاملة. بدلًا من ذلك، علينا تذكُّر أن وصفر ليس العدد الوحيد الذي يساوي مضروبه واحدًا. وتحديدًا، فإن مضروب واحد يساوي واحدًا أيضًا: . ومن ثم، لحل ، علينا التفكير في الحالتين: حيث ، . وعليه، نجد أن ، هما الحلان الممكنان. ومن ثم، فإن مجموعة الحل هي {٢٦، ٢٧}.
معظم الآلات الحاسبة العلمية تحتوي على زر لحساب مضروب أي عدد. وفي مثال مثل الوارد أعلاه، من المنطقي تمامًا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيم المقادير. ولكن، هذا غير ممكن دائمًا. في الواقع، يزداد ناتج مضروبات الأعداد بسرعة كبيرة؛ بحيث يتعذَّر على معظم الآلات الحاسبة إيجاد مضروبات الأعداد الأكبر من ٦٩. لكن هذا لا يعني أننا غير قادرين على التعامل معها. بدلًا من ذلك، سنتمكَّن باستخدام خواص المضروبات من حل المسائل التي تشمل أعدادًا كبيرة يصعب على الآلة الحاسبة حلها.
في المثال التالي، سنستخدم خواص مضروب العدد لإيجاد قيمة مقدار مُعطى يحتوي على مضروبات أعداد.
مثال ٣: خواص مضروب العدد
بدون استخدام الآلة الحاسبة، أوجد قيمة المقدار .
الحل
باستخدام الخاصية التالية للمضروب التي توضِّح أن: نجد أن:
ومن ثم، فإن:
يمكننا أيضًا تطبيق هذه الخاصية عند التعامل مع المقادير التي تحتوي على مضروب عدد مجهول.
هيَّا نتناول مثالًا على ذلك.
مثال ٤: تبسيط المقادير التي تحتوي على مضروب عدد
اختصر .
الحل
باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح أن:
يمكننا إعادة كتابة:
وبتطبيق الخاصية نفسها مرة أخرى، يمكننا كتابة:
سنعوِّض بهذه الصيغة في المقدار:
ومن ثم، تُحذف العوامل المشتركة بين البسط والمقام، لنحصل:
هيا نتناول مثالُا نستخدم فيه خواص مضروب العدد لحل معادلة تحتوي على مضروبات أعداد.
مثال ٥: استخدام خواص مضروب العدد في حل المسائل
أوجد قيمة التي تحقِّق المعادلة .
الحل
باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح: يمكننا إعادة كتابة:
وبالتعويض بهذا في المعادلة المعطاة، نحصل على:
تُحذف العوامل المشتركة في كلٍّ من البسط والمقام، وبذلك يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة:
وإذا أعدنا الترتيب، فسنحصل على .
لنتناول مثالُا آخر نستخدم فيه خواص مضروب العدد لحل معادلة تحتوي على مضروبات أعداد.
مثال ٦: حل المعادلات التي تشمل مضروبات الأعداد
أوجد مجموعة حل .
الحل
سنبدأ بضرب طرفَي المعادلة في وهو ما يعطينا:
باستخدام خاصية مضروب العدد التي توضِّح أن: يمكننا إعادة صياغة: و: وبالتعويض بهذين المقدارين في بَسْطَي المعادلة، نحصل على:
تُحذف العوامل المشتركة في البسطين والمقامين، وهكذا يمكننا كتابة هذا على الصورة:
بفك الأقواس، يصبح لدينا:
وبإعادة الترتيب، نصل إلى المعادلة التربيعية:
بالتحليل أو بتطبيق القانون العام، يمكننا التعبير عن هذه المعادلة على الصورة:
ومن ثم، فإن أو . وبما أن مضروبات الأعداد معرَّفة فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة، إذن يمكننا تجاهل الحل . وبذلك، فإن مجموعة حل المعادلة هي {٧}.
حتى الآن، تَمكَّنَّا من استخدام خواص مضروب العدد في تبسيط المعادلات وعزل أي مجاهيل لتعطي حلول للمعادلات الخطية والتربيعية. لكن هذه الطرق لن تساعدنا عندما نريد إيجاد عدد مجهول بمعلومية مضروبه. ومن أجل ذلك، نستخدم حقيقة أن مضروب العدد هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي العددًا المعينًا. إذن، بمعلومية عدد ما، يمكننا القسمة تباعًا على أعداد صحيحة موجبة متتالية حتى يتبقى لدينا عدد صحيح. يوضِّح المثال التالي هذه العملية.
مثال ٧: إيجاد العدد المجهول بمعلومية مضروبه
أوجد قيمة ؛ حيث .
الحل
بما أن المضروب هو حاصل ضرب أعداد صحيحة موجبة متتالية، إذن يمكننا قسمة ٧٢٠ على أعداد صحيحة موجبة متتالية، كما يلي. لنبدأ بواحد: بما أن: إذن يمكننا إعادة كتابة:
بعد ذلك، سنقسم ٧٢٠ على اثنين، وهو ما يعطينا:
ومن ثم، فإن:
بقسمة ٣٦٠ على ثلاثة نحصل على ١٢٠. ومن ثم، يمكننا كتابة:
وبالمثل، بقسمة ١٢٠ على أربعة، نحصل على ٣٠. ومن ثم، فإن:
وأخيرًا، بقسمة ٣٠ على خمسة، نحصل على ٦، وهو ما يعطينا:
باستخدام هذه العملية، نكون قد عبَّرنا عن ٧٢٠ باعتباره حاصل ضرب أول ستة أعداد صحيحة متتالية. ومن ثم، يصبح لدينا . يمكننا كتابة ذلك بطريقة أكثر اختصارًا كما يلي:
إذن الإجابة النهائية هي .
سننُهي شرحنا بتناول مثال آخر ؛ حيث يمكننا تطبيق كل الأساليب التي تعلَّمناها لحل مسألة أخيرة تحتوي على مضروب عدد.
مثال ٨: حل المسائل باستخدام مضروب العدد
أوجد قيمة ؛ حيث .
الحل
لنتناول أولًا القيمة ٥ ٠٤٠. وبما أن الطرف الأيمن من المعادلة لدينا هو حاصل ضرب مضروب عدد في عدد صحيح، إذن يمكننا التعبير عن ٥ ٠٤٠ في صورة مضروب عدد أو في صورة حاصل ضرب مضروب عدد في عدد صحيح آخر. لفعل ذلك، يمكننا قسمته تباعًا على الأعداد الطبيعية كما يلي:
لننظر الآن إلى الطرف الآخر من المعادلة. نذكر أنه لأي عدد صحيح موجب ، فإن:
ليس لدينا الآن عددان متتاليان ، لتطبيق هذه الصيغة. لكن، عند الضرب في ٨ والقسمة عليها، نحصل على العددين المتتاليين ، ؛ ومن ثَمَّ يصبح بإمكاننا تطبيق الصيغة على النحو التالي:
هذا يعني أن:
ومن ثم، فإن .
دعونا نختم هذا الشارح بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.
النقاط الرئيسية
- يُعرَّف مضروب العدد الصحيح الموجب بأنه حاصل ضرب كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من أو تساوي . ويُكتب على الصورة .
- توضِّح الخاصية الأساسية لمضروب العدد أن . باستخدام هذه الخاصية، يمكننا عادةً تبسيط المقادير التي تحتوي على مضروب عدد وحل المعادلات التي تشمل مضروب عدد.
- عند محاولة إيجاد عدد صحيح مجهول بمعلومية مضروبه، نقسم على أعداد صحيحة موجبة متتالية.