تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: النسب المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد ونعبِّر عن قيم ثلاث نسب مثلثية: الجيب، وجيب التمام، والظل، لزاوية معطاة في مثلث قائم الزاوية.

نسب الجيب وجيب التمام والظل هي ثلاث أدوات أساسية للتعامل مع المثلثات القائمة والدوائر. ولفهم ما تصفه هذه النسب، سنتناول بدايةً بعض الخواص الهندسية للمثلثات القائمة الزاوية التي تسمح لنا باستنتاج صيغ كل نسبة.

أولًا، نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث هو ٠٨١. وهذا يعني أنه إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية، وبه زاوية غير قائمة قياسها 󰏡، فإن قياس الزاوية المتبقية دائمًا يساوي ٠٩󰏡.

ثانيًا، نتذكر أن تكبير أي شكل بمعامل القياس 𞸊٠ لا يؤثر على قياس زواياه، ويُكبِّر جميع أطوال الأضلاع بعامل ضربي 𞸊.

تتيح لنا هاتان الحقيقتان ملاحظة خاصية مثيرة للاهتمام تخص المثلثات القائمة الزاوية، وهي أن النسب بين أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية لا تعتمد إلا على الزاوية واختيار الضلعين. لمساعدتنا في فهم ذلك، دعونا نتناول المثلث الآتي.

نلاحظ أن 󰏡𞸁𞸢 هو مثلث قائم الزاوية، 𞹟󰌑𞸁=٠٦؛ ومن ثَمَّ يمكننا استنتاج أن 𞹟󰌑󰏡=٠٣. إذا افترضنا أننا نكبِّر هذا المثلث بعامل 𞸊٠، فستظل الزوايا كما هي، وجميع الأطوال ستُضرب في هذا العامل 𞸊؛ مما يعطينا المثلث الآتي.

نلاحظ هنا أن نسب الأضلاع المتناظرة لا تتأثر بهذا التمدُّد. على سبيل المثال: 󰏡𞸢𞸁𞸢=𞸋𞸋،󰏡𞸢𞸁𞸢=𞸋𞸊𞸋𞸊=𞸋𞸋.٢١٢١٢١

ومن ثَمَّ، فإن كل المثلثات القائمة الزاوية التي بها زاوية قياسها ٠٦ ستكون لها نسب متساوية بين أطوال أضلاعها المتناظرة. وبالطبع، لم يكن هناك ما يميز اختيار الزاوية التي قياسها ٠٦، وتنطبق هذه النتيجة على أي زاوية اخترناها.

قبل ذكر هذه النتيجة ومناقشة استخداماتها، علينا تحديد ما تعنيه عبارة «الأضلاع المتناظرة». في المثال السابق، كان من السهل تحديد الأضلاع المتناظرة؛ لأننا تمكَّنَّا من معرفة أي الأضلاع كان مضاعفًا للآخر. لكن عمومًا، الأمر ليس بهذه السهولة. لذا، يمكننا بدلًا من ذلك تسمية أضلاع المثلث بناءً على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية. نتذكر أيضًا أن الزاوية الواقعة بين ضلعين يتقابلان عند رأس تسمى الزاوية المحصورة بينهما.

ونظرًا لأن هناك ثلاثة أضلاع، فسنحتاج إلى ثلاث تسميات لأضلاع المثلث. أولًا، نتذكر أن وتر المثلث القائم الزاوية هو أطول ضلع فيه، وأنه دائمًا مقابل للزاوية القائمة. في المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸢𞸁 نلاحظ أن 󰏡𞸁 هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، إذن هذا هو الوتر. ثانيًا، يمكننا تسمية الضلعين المتبقيين بالنظر إلى موضعيهما بالنسبة إلى 󰌑𞸁. نلاحظ أن 󰏡𞸢 مقابل للزاوية، ومن ثَمَّ سنسميه الضلع المقابل، 𞸁𞸢 هو الضلع المجاور للزاوية، لكنه ليس الوتر؛ لذا سنسمي هذا الضلع بالضلع المجاور. وهذا يعطينا ما يأتي.

مما سبق، نعلم أن خارج قسمة طول الضلع المقابل للزاوية التي قياسها ٠٦ وطول الضلع المجاور للزاوية التي قياسها ٠٦ في أي مثلث قائم الزاوية يكون متساويًا. يمكننا توسيع نطاق هذه الفكرة لتضمين أي زاوية في الفترة ٠ إلى ٠٩ وربط أي ضلعين بهذه الطريقة. دعونا نُعرِّف الدوال بأنها تأخذ زاوية قياسها بين ٠ و٠٩ باعتبارها القيمة المدخلة وتعطينا قيمة مخرجة وهي خارج القسمة بين طولي ضلعين.

نعطي هذه الدوال اسمًا بِناءً على خارج القسمة الذي تصفه. على سبيل المثال، تربط نسبة الجيب بين الضلع المقابل والوتر، بينما تربط نسبة جيب التمام بين الضلع المجاور والوتر. دعونا نصفهما منهجيًّا.

تعريف: النسب المثلثية

النسب المثلثية، الجيب وجيب التمام والظل، لزاوية 𝜃 هي النسب بين أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. على وجه التحديد، إذا سمَّينا أضلاع أي مثلث قائم الزاوية باعتبار 𝜃 زاوية فيه بالتسميات، الوتر والمقابل والمجاور؛ إذن: اااوراااور𝜃=،𝜃=،𝜃=.

إن تذكُّر بالضبط أي الأضلاع مناظرة لأي نسبة مثلثية يمكن أن يكون صعبًا إلى حدٍّ ما. ومن ثَمَّ، لمساعدتنا في تذكر ذلك، نستخدم الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج».

اختصار: جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج

يمكننا أن نتذكر أي الأضلاع تناظر كل دالة مثلثية باستخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج». ولفعل ذلك، يناظر المقطع الأول في كل ثلاثية الدالة المثلثية، ويناظر المقطع الثاني بسط القسمة، والمقطع الثالث يناظر مقام القسمة.

دعونا ننتقل إلى المثال الأول حيث نحدد قيم النسب المثلثية الثلاث لزاوية ما، بمعلومية طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية.

مثال ١: إيجاد قيم النسب المثلثية الثلاث لزاوية ما

أوجد نسب 󰌑𞸁 المثلثية الأساسية، إذا كان 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا قائم الزاوية في 𞸢؛ حيث 󰏡𞸁=٠٣، 𞸁𞸢=٨١.

الحل

نبدأ برسم المثلث القائم الزاوية من خلال المعطيات. الزاوية القائمة عند 𞸢، 󰏡𞸁=٠٣، 𞸁𞸢=٨١.

نتذكر أن النسب المثلثية لزاوية ما هي النسب بين أطوال الأضلاع في مثلث قائم الزاوية؛ لذا علينا إيجاد أطوال الأضلاع وتسمية أضلاع هذا المثلث بناءً على مواضعها بالنسبة إلى 󰌑𞸁.

دعونا نبدأ بتسمية أضلاع المثلث. بدايةً، نلاحظ أن 󰏡𞸁 هو الضلع الأطول في المثلث؛ حيث إنه مقابل للزاوية القائمة؛ ومن ثم فهو الوتر. بعد ذلك، نلاحظ أن 󰏡𞸢 مقابل للزاوية 󰌑𞸁؛ لذا فهو الضلع المقابل. وأخيرًا، الضلع المتبقي هو الضلع المجاور؛ وعليه فهذا يعطينا ما يأتي.

قبل أن نحدِّد النسب المثلثية لـ 󰌑𞸁 علينا إيجاد طول الضلع 󰏡𞸢. يمكننا فعل ذلك من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. في هذه الحالة، نحصل على: 󰏡𞸁=󰏡𞸢+𞸁𞸢٠٣=󰏡𞸢+٨١٠٠٩=󰏡𞸢+٤٢٣.٢٢٢٢٢٢٢

يمكننا إيجاد 󰏡𞸢 أولًا عن طريق طرح ٣٢٤ من كلا طرفي المعادلة للحصول على: ٠٠٩٤٢٣=󰏡𞸢٦٧٥=󰏡𞸢.٢٢

بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة حيث نلاحظ أن 󰏡𞸢 هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ لا بد أن يكون غير سالب. وهذا يعطينا: 󰏡𞸢=󰋴٦٧٥=٤٢.

يمكننا إضافة طول هذا الضلع إلى الشكل.

نحن الآن مستعدون لإيجاد النسب المثلثية لـ 󰌑𞸁. نتذكر أنه يمكننا استخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج» ليساعدنا على تذكُّر الأضلاع التي نأخذها في صورة نِسب.

وهذا يساعدنا في تذكر أن جيب الزاوية 𝜃 هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 ووتر المثلث القائم الزاوية. وبالمثل، جيب تمام الزاوية 𝜃 هو النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 ووتر المثلث القائم الزاوية. وأخيرًا، ظل الزاوية 𝜃 هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 وطول الضلع المجاور للزاوية 𝜃. نعوض بكل طول من الأطوال في هذه الصيغ لإيجاد النسب: قوجوقج𞸁==٤٢٠٣=٤٥،𞸁==٨١٠٣=٣٥،𞸁==٤٢٨١=٤٣.

ومن ثَمَّ يكون لدينا، 𞸁=٤٥، 𞸁=٣٥، 𞸁=٤٣.

في المثال التالي، سنحدِّد قيمتي نسبتين مثلثيتين لزاوية بمعلومية طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية لإيجاد قيم مقادير مثلثية.

مثال ٢: إيجاد قيم النسب المثلثية بمعلومية طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية

أوجد 𞸢𞸢 إذا كان 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا قائم الزاوية في 𞸁؛ حيث 󰏡𞸁=٨، 󰏡𞸢=٧١.

الحل

نريد إيجاد قيمتي 𞸢، 𞸢. ولفعل ذلك، نتذكر أن النسب المثلثية لزاوية ما هي النسب بين أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. على وجه التحديد، يمكننا استخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج» ليساعدنا في تذكُّر الأضلاع التي نأخذها في صورة نِسب.

ومن ثَمَّ، لإيجاد قيمتي 𞸢، 𞸢 علينا تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية 𞸢. سنفعل ذلك بملاحظة أن أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. في هذا المثلث، هو الضلع 󰏡𞸢، وعليه فهو الوتر. بعد ذلك، نسمِّي الضلع المقابل للزاوية 𞸢 والضلع المجاور للزاوية 𞸢، وهو ما يعطينا المثلث الآتي.

ونحن نعرف أن اا𞸢==٨٧١. ومع ذلك، لا يمكننا إيجاد قيمة 𞸢؛ لأننا لا نعرف طول الضلع المجاور للزاوية 𞸢. يمكننا إيجاد طول الضلع الناقص بتذكر أن نظرية فيثاغورس تنُص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. في هذه الحالة، نحصل على: 󰏡𞸢=󰏡𞸁+𞸁𞸢٧١=٨+𞸁𞸢٩٨٢=٤٦+𞸁𞸢.٢٢٢٢٢٢٢

بعد ذلك، نطرح ٦٤ من طرفي المعادلة لنحصل على: ٩٨٢٤٦=𞸁𞸢٥٢٢=𞸁𞸢.٢٢

ثم، نأخُذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، حيث نلاحظ أن 𞸁𞸢 هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ فهو غير سالب: 𞸁𞸢=󰋴٥٢٢=٥١.

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة في الصيغة للحصول على نسبة جيب التمام للحصول على: اورا𞸢==٥١٧١.

وأخيرًا، يمكننا استخدام هاتين القيمتين لإيجاد قيمة للمقدار المعطى: 𞸢𞸢=󰂔٨٧١󰂓󰂔٥١٧١󰂓=٠٢١٩٨٢.

مثال ٣: إيجاد قيم النسب المثلثية لزاويتين مختلفتين

󰏡𞸁 قُطر في دائرة نصف قطرها ٦٢٫٥ سم. تقع النقطة 𞸢 على الدائرة؛ حيث 󰏡𞸢𞸢𞸁، 󰏡𞸢=٥٧. أوجد القيمة الدقيقة لكلٍّ من 󰏡، 𞸁.

الحل

بدايةً، علمنا من المعطيات أن نصف قطر الدائرة يساوي ٦٢٫٥ سم وأن 󰏡𞸁 هو القطر؛ إذن طول 󰏡𞸁 يساوي ضعف نصف القطر: 󰏡𞸁=٥٫٢٦×٢=٥٢١. دعونا نفصل المثلث 󰏡𞸁𞸢 ونضيف طول الضلع 󰏡𞸁 إلى الشكل.

نريد إيجاد قيمتي 󰏡، 𞸁. لفعل ذلك، يمكننا تذكر الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج».

ومن ثَمَّ، لتحديد قيمتي 󰏡، 𞸁 علينا تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية بناء على مواضعها بالنسبة إلى كل زاوية. دعونا نبدأ بالزاوية 󰏡، الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية يُسَمَّى الوتر، والضلع المقابل للزاوية 󰏡، وهو ما يُسَمَّى الضلع المقابل، والضلع المجاور للزاوية 󰏡 وهو ليس الوتر، الذي يُسمَّى الضلع المجاور. وهذا يعطينا المثلث الآتي.

حسنًا، بما أن اورا󰏡= ونحن نعلم طولي الضلع المجاور للزاوية 󰏡 والوتر، يمكننا إيجاد قيمة 󰏡: اورا󰏡==٥٧٥٢١=٣٥.

يمكننا اتِّباع العملية نفسها لإيجاد 𞸁. بدايةً، نسمي أضلاع المثلث بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية 𞸁. نلاحظ أن الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، 󰏡𞸢 هو الضلع المقابل للزاوية 𞸁، 𞸁𞸢 هو الضلع المجاور للزاوية 𞸁. لدينا المثلث الآتي.

بما أن اا𞸁=، يكون لدينا: اا𞸁==٥٧٥٢١=٣٥.

وهذا يكفي للإجابة عن السؤال، لكن تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لتحديد طول الضلع المجهول في المثلث القائم الزاوية. نتذكر أن نظرية فيثاغورس تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. في هذه الحالة، نحصل على: 󰏡𞸁=󰏡𞸢+𞸁𞸢٥٢١=٥٧+𞸁𞸢٥٢٦٥١=٥٢٦٥+𞸁𞸢.٢٢٢٢٢٢٢

بعد ذلك، نطرح ٥‎ ‎٦٢٥ من طرفي المعادلة لنحصل على: ٥٢٦٥١٥٢٦٥=𞸁𞸢٠٠٠٠١=𞸁𞸢.٢٢

ثم نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، حيث نلاحظ أن 𞸁𞸢 هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ لا بد أن يكون غير سالب: 𞸁𞸢=󰋴٠٠٠٠١=٠٠١.

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد أي نسبة من النسب المثلثية الأخرى.

ومن ثَمَّ، 󰏡=٣٥، 𞸁=٣٥.

مثال ٤: إيجاد النسب المثلثية الأساسية في مثلث مقسَّم إلى مثلثين قائمي الزاوية

أوجد قيمة ٣𞸢+𞸁 إذا كان 󰏡𞸃𞸁𞸢، 󰏡𞸢=٥٣، 𞸃𞸢=٨٢، 󰏡𞸁=٩٢.

الحل

المطلوب منا هو إيجاد قيمة مقدار يتضمن نسبًا مثلثية في الشكل المعطى. لفعل ذلك، يمكننا تذكر الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج».

وعلى وجه التحديد، بما أن علينا إيجاد نسب مثلثية لزاويتين مختلفتين، فعلينا تسمية أضلاع كل مثلث بالنسبة إلى الزاويتين.

دعونا نبدأ بالزاوية 󰌑𞸢 في المثلث القائم الزاوية 󰏡𞸢𞸃. أولًا، الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة؛ وفي هذه الحالة هو الضلع 󰏡𞸢. ثانيًّا، الضلع المقابل للزاوية 󰌑𞸢 هو الضلع المقابل؛ أي 󰏡𞸃. ثالثًا، الضلع المتبقي هو الضلع المجاور، وهو 𞸢𞸃. يمكننا تحديث الشكل المُعطى بإضافة هذه التسميات.

نحن نعرف أن ااور𞸢==󰏡𞸃𞸢𞸃، لكننا لا نعرف الطول 󰏡𞸃. لإيجاد هذا الطول، سنستخدم نظرية فيثاغورس التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. تطبيق هذا على المثلث 󰏡𞸢𞸃 يعطينا: 󰏡𞸢=󰏡𞸃+𞸢𞸃٥٣=󰏡𞸃+٨٢٥٢٢١=󰏡𞸃+٤٨٧.٢٢٢٢٢٢٢

يمكننا إيجاد 󰏡𞸃 بدايةً عن طريق طرح ٧٨٤ من طرفي المعادلة؛ ما يعطينا: ٥٢٢١٤٨٧=󰏡𞸃١٤٤=󰏡𞸃.٢٢

بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة حيث نلاحظ أن 󰏡𞸃 هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ فهو غير سالب: 󰏡𞸃=󰋴١٤٤=١٢.

ومن ثَمَّ: ااور𞸢==󰏡𞸃𞸢𞸃=١٢٨٢=٣٤.

نريد الآن تطبيق العملية نفسها على المثلث 󰏡𞸁𞸃 لنحدِّد قيمة 𞸁. يمكننا إضافة 󰏡𞸃=١٢ إلى الشكل، ونسمي أضلاع هذا المثلث بملاحظة أن 󰏡𞸁 هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، 󰏡𞸃 مقابل للزاوية 󰌑𞸁، 𞸁𞸃 مجاور للزاوية 󰌑𞸁.

يمكننا الآن إيجاد قيمة 𞸁 كما يأتي: اا𞸁==󰏡𞸃󰏡𞸁=١٢٩٢.

وأخيرًا، يمكننا التعويض بهذه القيم في المقدار المعطى: ٣𞸢+𞸁=٣󰂔٣٤󰂓+١٢٩٢=٩٤+١٢٩٢=٥٤٣٦١١.

في المثالين الأخيرين، سنستخدم النسبة المثلثية المعطاة لإيجاد قيم النسب المثلثية الأخرى في المثلث القائم الزاوية.

مثال ٥: إيجاد قيمتي جيب التمام والجيب بمعلومية قيمة الظل

أوجد نسب 󰌑𞸢 المثلثية الأساسية إذا كان 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا قائم الزاوية في 𞸁، فيه ٠٢󰏡=١٢.

الحل

نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة المعطاة لكي نجعل نسبة الظل المتغير التابع، ثم نقسم الطرفين على ٢٠ لنحصل على: 󰏡=١٢٠٢.

نتذكر بعد ذلك أن النسب المثلثية لزاويةٍ ما هي النسب بين أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. يمكننا استخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج» ليساعدنا على تذكر أي النسب التي بين أطوال الأضلاع تناظر كل دالة من الدوال المثلثية.

على وجه التحديد، يمكننا ملاحظة أن دالة الظل هي النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية، وطول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم الزاوية. ونعلم أن ااور󰏡=١٢٠٢=؛ لذا ربما نريد استنتاج أن ا=١٢ واور=٠٢. ومع ذلك، فهذه نسبة؛ ومن ثَمَّ فإن أي مضاعف لهذه القيم يكون صحيحًا أيضًا. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لدينا ا=٢٤ واور=٠٤، وعليه: ااور󰏡==٢٤٠٤=١٢٠٢.

ومن ثَمَّ، لا يمكننا إيجاد أطوال هذه الأضلاع بدقة. بدلًا من ذلك، سنقول إن طول الضلع المقابل للزاوية 󰏡 هو مضاعف ما موجب للعدد ٢١، وأن طول الضلع المجاور للزاوية 󰏡 هو نفس المضاعف الموجب للعدد ٢٠. دعونا نطلق على هذا المضاعف 𞸊. يمكننا بعد ذلك رسم المثلث القائم الزاوية الآتي.

علمنا من المعطيات أن 󰏡𞸁𞸢 به زاوية قائمة في 𞸁، ونعلم أن 𞸁𞸢 مقابل للزاوية 󰏡، 󰏡𞸁 مجاور للزاوية 󰏡. وأخيرًا، نضيف طولي الضلعين: 𞸁𞸢=١٢𞸊، 󰏡𞸁=٠٢𞸊.

لا يمكننا إيجاد نسب الجيب وجيب التمام لهذا المثلث القائم الزاوية في 󰏡 دون إيجاد مقدار يعبِّر عن الوتر. يمكننا إيجاد ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. في هذا المثلث القائم الزاوية، هذا يعطينا: 󰏡𞸢=󰏡𞸁+𞸁𞸢=(٠٢𞸊)+(١٢𞸊)=٠٠٤𞸊+١٤٤𞸊=١٤٨𞸊.٢٢٢٢٢٢٢٢

يمكننا بعد ذلك إيجاد 󰏡𞸢 عن طريق أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة حيث نذكر أن 󰏡𞸢 هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ، يجب أن يكون موجبًا، 𞸊>٠. وهذا يساوي: 󰏡𞸢=󰋴١٤٨𞸊=٩٢𞸊.٢

ثم يمكننا إضافة ذلك على الشكل بالإضافة إلى تسمية هذا الضلع بالوتر. يمكننا بعد ذلك تسمية ضلعي المثلث بناءً على موضعيهما بالنسبة إلى الزاوية 𞸢. وهذا يعطينا المثلث الآتي.

نحن الآن مستعدون لإيجاد قيم 𞸢، 𞸢، 𞸢. أولًا: اا𞸢==٠٢𞸊٩٢𞸊=٠٢٩٢.

ثانيًا: اورا𞸢==١٢𞸊٩٢𞸊=١٢٩٢.

ثالثًا: ااور𞸢==٠٢𞸊١٢𞸊=٠٢١٢.

ومن ثَمَّ، 𞸢=٠٢٩٢، 𞸢=١٢٩٢، 𞸢=٠٢١٢.

مثال ٦: إيجاد النسب المثلثية الأساسية بمعلومية النسبة بين ضلعين في المثلث القائم الزاوية

أوجد النسب المثلثية الأساسية للزاوية 󰌑󰏡 إذا كان 󰏡𞸁𞸢 مثلثًا قائم الزاوية في 𞸁؛ حيث النسبة بين 󰏡𞸁، 󰏡𞸢 تساوي ٤٥.

الحل

يمكننا البدء برسم المثلث 󰏡𞸁𞸢، حيث نعلم أن الزاوية القائمة تقع عند الرأس 𞸁. بما أن السؤال يطلب منا تحديد النسب المثلثية للزاوية 󰌑󰏡، يمكننا أيضًا تسمية الأضلاع بناءً على مواضعها بالنسبة إلى 󰌑󰏡.

نعلم أن 𞸁𞸢 مقابل للزاوية 󰌑󰏡، 󰏡𞸢 هو الضلع المقابل للزاوية القائمة؛ ومن ثَمَّ فهو الوتر، 󰏡𞸁 هو طول ضلع مجاور للزاوية 󰌑󰏡.

إذن، بما أننا علِمنا من المعطيات أن النسبة بين 󰏡𞸁، 󰏡𞸢 تساوي ٤٥، فنحن نعلم أيضًا أن النسبة بين طولي الضلع المجاور للزاوية 󰌑󰏡 والوتر تساوي ٤٥. بعبارة أخرى: اورا=٤٥.

يمكننا استخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج» ليساعدنا على تذكُّر النسب بين أطوال الأضلاع التي تناظر كل دالة من الدوال المثلثية.

نعلم أن اورا󰏡=؛ ومن ثَمَّ 󰏡=٤٥. لا يمكننا استخدام ذلك لإيجاد أطوال أضلاع هذا المثلث مباشرة؛ لأننا نعرف النسبة بين الأطوال فقط. لكن يمكننا القول إن 󰏡𞸁=٤𞸊، 󰏡𞸢=٥𞸊 لقيمةٍ ما موجبة، 𞸊.

يمكننا استخدام هذين الطولين، ونظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار يعبر عن 𞸁𞸢. نتذكر أن نظرية فيثاغورس تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. ومن ثَمَّ: 󰏡𞸁+𞸁𞸢=󰏡𞸢(٤𞸊)+𞸁𞸢=(٥𞸊)𞸁𞸢=٩𞸊.٢٢٢٢٢٢٢٢

يمكننا إيجاد 𞸁𞸢 عن طريق أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة حيث نلاحظ أن 𞸁𞸢 هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ يجب أن يكون موجبًا، وأن 𞸊>٠. وعليه، نحصل على: 𞸁𞸢=󰋴٩𞸊=٣𞸊.٢

يمكننا إضافة هذه الأطوال إلى الشكل.

يمكننا الآن إيجاد النسب المثلثية المتبقية للزاوية 󰌑󰏡.

أولًا: اا󰏡==٣𞸊٥𞸊=٣٥.

ثانيًا: ااور󰏡==٣𞸊٤𞸊=٣٤.

ومن ثَمَّ، 󰏡=٣٥، 󰏡=٤٥، 󰏡=٣٤.

دعونا نختم بتلخيص بعض النقاط المهمة في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • لإيجاد قيم النسب المثلثية الثلاث لأي زاوية، علينا أن نتذكَّر الخطوات الآتية:
    1. تسمية أضلاع المثلث بناءً على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية التي نريد حساب نسبها المثلثية. يكون الوتر دائمًا مقابلًا للزاوية القائمة، ويكون هو الضلع الأطول، والضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية، والضلع المجاور هو الضلع المتبقي المجاور للزاوية.
    2. تذكر الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج»؛ حيث يرمز ق إلى طول الضلع المقابل، ويرمز ج إلى الضلع المجاور، ويرمز و إلى الوتر. إذا كانت الزاوية 𝜃، فهذا يساعدنا في تذكُّر أن النسب المثلثية هي: قوجوقج𝜃=،𝜃=،𝜃=.
  • إذا عرفنا طولي ضلعين فقط في مثلث قائم الزاوية، فيمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لتحديد طول الضلع الأخير. هذا يتيح لنا إيجاد جميع النسب المثلثية لمثلث قائم الزاوية من خلال زاوية واحدة وطولي ضلعين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.