شارح الدرس: النسب المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

مثال ١: إيجاد قيم النسب المثلثية الثلاث لزاوية ما

أوجد نسب المثلثية الأساسية، إذا كان مثلثًا قائم الزاوية في ؛ حيث ، .

الحل

نبدأ برسم المثلث القائم الزاوية من خلال المعطيات. الزاوية القائمة عند ، ، .

نتذكر أن النسب المثلثية لزاوية ما هي النسب بين أطوال الأضلاع في مثلث قائم الزاوية؛ لذا علينا إيجاد أطوال الأضلاع وتسمية أضلاع هذا المثلث بناءً على مواضعها بالنسبة إلى .

دعونا نبدأ بتسمية أضلاع المثلث. بدايةً، نلاحظ أن هو الضلع الأطول في المثلث؛ حيث إنه مقابل للزاوية القائمة؛ ومن ثم فهو الوتر. بعد ذلك، نلاحظ أن مقابل للزاوية ؛ لذا فهو الضلع المقابل. وأخيرًا، الضلع المتبقي هو الضلع المجاور؛ وعليه فهذا يعطينا ما يأتي.

قبل أن نحدِّد النسب المثلثية لـ علينا إيجاد طول الضلع . يمكننا فعل ذلك من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. في هذه الحالة، نحصل على:

يمكننا إيجاد أولًا عن طريق طرح ٣٢٤ من كلا طرفي المعادلة للحصول على:

بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة حيث نلاحظ أن هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ لا بد أن يكون غير سالب. وهذا يعطينا:

يمكننا إضافة طول هذا الضلع إلى الشكل.

نحن الآن مستعدون لإيجاد النسب المثلثية لـ . نتذكر أنه يمكننا استخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج» ليساعدنا على تذكُّر الأضلاع التي نأخذها في صورة نِسب.

وهذا يساعدنا في تذكر أن جيب الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية ووتر المثلث القائم الزاوية. وبالمثل، جيب تمام الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المجاور للزاوية ووتر المثلث القائم الزاوية. وأخيرًا، ظل الزاوية هو النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الضلع المجاور للزاوية . نعوض بكل طول من الأطوال في هذه الصيغ لإيجاد النسب:

ومن ثَمَّ يكون لدينا، ، ، .

مثال ٢: إيجاد قيم النسب المثلثية بمعلومية طولي ضلعين في المثلث القائم الزاوية

أوجد إذا كان مثلثًا قائم الزاوية في ؛ حيث ، .

الحل

نريد إيجاد قيمتي ، . ولفعل ذلك، نتذكر أن النسب المثلثية لزاوية ما هي النسب بين أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. على وجه التحديد، يمكننا استخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج» ليساعدنا في تذكُّر الأضلاع التي نأخذها في صورة نِسب.

ومن ثَمَّ، لإيجاد قيمتي ، علينا تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية حسب مواضعها بالنسبة إلى الزاوية . سنفعل ذلك بملاحظة أن أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. في هذا المثلث، هو الضلع ، وعليه فهو الوتر. بعد ذلك، نسمِّي الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور للزاوية ، وهو ما يعطينا المثلث الآتي.

ونحن نعرف أن . ومع ذلك، لا يمكننا إيجاد قيمة ؛ لأننا لا نعرف طول الضلع المجاور للزاوية . يمكننا إيجاد طول الضلع الناقص بتذكر أن نظرية فيثاغورس تنُص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. في هذه الحالة، نحصل على:

بعد ذلك، نطرح ٦٤ من طرفي المعادلة لنحصل على:

ثم، نأخُذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، حيث نلاحظ أن هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ فهو غير سالب:

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه القيمة في الصيغة للحصول على نسبة جيب التمام للحصول على:

وأخيرًا، يمكننا استخدام هاتين القيمتين لإيجاد قيمة للمقدار المعطى:

مثال ٣: إيجاد قيم النسب المثلثية لزاويتين مختلفتين

قُطر في دائرة نصف قطرها ٦٢٫٥ سم. تقع النقطة على الدائرة؛ حيث ، . أوجد القيمة الدقيقة لكلٍّ من ، .

الحل

بدايةً، علمنا من المعطيات أن نصف قطر الدائرة يساوي ٦٢٫٥ سم وأن هو القطر؛ إذن طول يساوي ضعف نصف القطر: . دعونا نفصل المثلث ونضيف طول الضلع إلى الشكل.

نريد إيجاد قيمتي ، . لفعل ذلك، يمكننا تذكر الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج».

ومن ثَمَّ، لتحديد قيمتي ، علينا تسمية أضلاع المثلث القائم الزاوية بناء على مواضعها بالنسبة إلى كل زاوية. دعونا نبدأ بالزاوية ، الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية يُسَمَّى الوتر، والضلع المقابل للزاوية ، وهو ما يُسَمَّى الضلع المقابل، والضلع المجاور للزاوية وهو ليس الوتر، الذي يُسمَّى الضلع المجاور. وهذا يعطينا المثلث الآتي.

حسنًا، بما أن ونحن نعلم طولي الضلع المجاور للزاوية والوتر، يمكننا إيجاد قيمة :

يمكننا اتِّباع العملية نفسها لإيجاد . بدايةً، نسمي أضلاع المثلث بناء على مواضعها بالنسبة إلى الزاوية . نلاحظ أن الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، هو الضلع المقابل للزاوية ، هو الضلع المجاور للزاوية . لدينا المثلث الآتي.

بما أن ، يكون لدينا:

وهذا يكفي للإجابة عن السؤال، لكن تجدر الإشارة هنا إلى أنه يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لتحديد طول الضلع المجهول في المثلث القائم الزاوية. نتذكر أن نظرية فيثاغورس تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. في هذه الحالة، نحصل على:

بعد ذلك، نطرح ٥‎ ‎٦٢٥ من طرفي المعادلة لنحصل على:

ثم نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، حيث نلاحظ أن هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ لا بد أن يكون غير سالب:

يمكننا استخدام ذلك لإيجاد أي نسبة من النسب المثلثية الأخرى.

ومن ثَمَّ، ، .

مثال ٤: إيجاد النسب المثلثية الأساسية في مثلث مقسَّم إلى مثلثين قائمي الزاوية

أوجد قيمة إذا كان ، ، ، .

الحل

المطلوب منا هو إيجاد قيمة مقدار يتضمن نسبًا مثلثية في الشكل المعطى. لفعل ذلك، يمكننا تذكر الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج».

وعلى وجه التحديد، بما أن علينا إيجاد نسب مثلثية لزاويتين مختلفتين، فعلينا تسمية أضلاع كل مثلث بالنسبة إلى الزاويتين.

دعونا نبدأ بالزاوية في المثلث القائم الزاوية . أولًا، الوتر هو أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية، وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة؛ وفي هذه الحالة هو الضلع . ثانيًّا، الضلع المقابل للزاوية هو الضلع المقابل؛ أي . ثالثًا، الضلع المتبقي هو الضلع المجاور، وهو . يمكننا تحديث الشكل المُعطى بإضافة هذه التسميات.

نحن نعرف أن ، لكننا لا نعرف الطول . لإيجاد هذا الطول، سنستخدم نظرية فيثاغورس التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. تطبيق هذا على المثلث يعطينا:

يمكننا إيجاد بدايةً عن طريق طرح ٧٨٤ من طرفي المعادلة؛ ما يعطينا:

بعد ذلك، نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة حيث نلاحظ أن هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ فهو غير سالب:

ومن ثَمَّ:

نريد الآن تطبيق العملية نفسها على المثلث لنحدِّد قيمة . يمكننا إضافة إلى الشكل، ونسمي أضلاع هذا المثلث بملاحظة أن هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، مقابل للزاوية ، مجاور للزاوية .

يمكننا الآن إيجاد قيمة كما يأتي:

وأخيرًا، يمكننا التعويض بهذه القيم في المقدار المعطى:

مثال ٥: إيجاد قيمتي جيب التمام والجيب بمعلومية قيمة الظل

أوجد نسب المثلثية الأساسية إذا كان مثلثًا قائم الزاوية في ، فيه .

الحل

نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة المعطاة لكي نجعل نسبة الظل المتغير التابع، ثم نقسم الطرفين على ٢٠ لنحصل على:

نتذكر بعد ذلك أن النسب المثلثية لزاويةٍ ما هي النسب بين أطوال الأضلاع في المثلث القائم الزاوية. يمكننا استخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج» ليساعدنا على تذكر أي النسب التي بين أطوال الأضلاع تناظر كل دالة من الدوال المثلثية.

على وجه التحديد، يمكننا ملاحظة أن دالة الظل هي النسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية، وطول الضلع المجاور للزاوية في المثلث القائم الزاوية. ونعلم أن ؛ لذا ربما نريد استنتاج أن و. ومع ذلك، فهذه نسبة؛ ومن ثَمَّ فإن أي مضاعف لهذه القيم يكون صحيحًا أيضًا. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لدينا و، وعليه:

ومن ثَمَّ، لا يمكننا إيجاد أطوال هذه الأضلاع بدقة. بدلًا من ذلك، سنقول إن طول الضلع المقابل للزاوية هو هو ٢١ مضروبًا في عامل موجب معين ، وأن طول الضلع المجاور للزاوية هو ٢٠ مضروبًا في نفس العامل الموجب. يمكننا بعد ذلك رسم المثلث القائم الزاوية الآتي.

علمنا من المعطيات أن به زاوية قائمة في ، ونعلم أن مقابل للزاوية ، مجاور للزاوية . وأخيرًا، نضيف طولي الضلعين: ، .

لا يمكننا إيجاد نسب الجيب وجيب التمام لهذا المثلث القائم الزاوية في دون إيجاد مقدار يعبِّر عن الوتر. يمكننا إيجاد ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. في هذا المثلث القائم الزاوية، هذا يعطينا:

يمكننا بعد ذلك إيجاد عن طريق أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة حيث نذكر أن هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ، يجب أن يكون موجبًا، . وهذا يساوي:

ثم يمكننا إضافة ذلك على الشكل بالإضافة إلى تسمية هذا الضلع بالوتر. يمكننا بعد ذلك تسمية ضلعي المثلث بناءً على موضعيهما بالنسبة إلى الزاوية . وهذا يعطينا المثلث الآتي.

نحن الآن مستعدون لإيجاد قيم ، ، . أولًا:

ثانيًا:

ثالثًا:

ومن ثَمَّ، ، ، .

مثال ٦: إيجاد النسب المثلثية الأساسية بمعلومية النسبة بين ضلعين في المثلث القائم الزاوية

أوجد النسب المثلثية الأساسية للزاوية إذا كان مثلثًا قائم الزاوية في ؛ حيث النسبة بين ، تساوي .

الحل

يمكننا البدء برسم المثلث ، حيث نعلم أن الزاوية القائمة تقع عند الرأس . بما أن السؤال يطلب منا تحديد النسب المثلثية للزاوية ، يمكننا أيضًا تسمية الأضلاع بناءً على مواضعها بالنسبة إلى .

نعلم أن مقابل للزاوية ، هو الضلع المقابل للزاوية القائمة؛ ومن ثَمَّ فهو الوتر، هو طول ضلع مجاور للزاوية .

إذن، بما أننا علِمنا من المعطيات أن النسبة بين ، تساوي ، فنحن نعلم أيضًا أن النسبة بين طولي الضلع المجاور للزاوية والوتر تساوي . بعبارة أخرى:

يمكننا استخدام الاختصار «جا ق و، جتا ج و، ظا ق ج» ليساعدنا على تذكُّر النسب بين أطوال الأضلاع التي تناظر كل دالة من الدوال المثلثية.

نعلم أن ؛ ومن ثَمَّ . لا يمكننا استخدام ذلك لإيجاد أطوال أضلاع هذا المثلث مباشرة؛ لأننا نعرف النسبة بين الأطوال فقط. لكن يمكننا القول إن ، لقيمةٍ ما موجبة، .

يمكننا استخدام هذين الطولين، ونظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار يعبر عن . نتذكر أن نظرية فيثاغورس تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر. ومن ثَمَّ:

يمكننا إيجاد عن طريق أخذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة حيث نلاحظ أن هو طول ضلع؛ ومن ثَمَّ يجب أن يكون موجبًا، وأن . وعليه، نحصل على:

يمكننا إضافة هذه الأطوال إلى الشكل.

يمكننا الآن إيجاد النسب المثلثية المتبقية للزاوية .

أولًا:

ثانيًا:

ومن ثَمَّ، ، ، .