شارح الدرس: التوافيق الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص التوافيق لحل المسائل، وكيف نستخدمها لعد النواتج الممكنة.

يُمثِّل التوافيق 𞸍𞸓𞹟 عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد 𞸓 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. ولا يُهِم ترتيب العناصر 𞸓 في التوافيق. لكي يكون هذا التعريف منطقيًّا، يجب أن يكون المتغيران 𞸍 ،𞸓 عددين صحيحين غير سالبين وأن يكون 𞸍𞸓.

نتذكر أن التباديل 𞸍𞸓𞸋 يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد 𞸓 من العناصر من إجمالي عدد 𞸍 من العناصر المختلفة. إن ترتيب العناصر 𞸓 مهم في التباديل 𞸍𞸓𞸋، وهو ما يُميِّزه عن التوافيق 𞸍𞸓𞹟.

ولكي نُميِّز بين التوافيق والتباديل عند التعامل معهما، لنفترض أن لدينا نوعين مختلفين من السباقات بها عدد 𞸍 من المشاركين. في السباق الأول، يحصل أول 𞸓 من المتسابقين على ميداليات مطبوع عليها مراكزهم. على سبيل المثال، يوضح الشكلان الآتيان طريقتين مختلفتين ممكنتين لتوزيع الميداليات؛ حيث 𞸓=٣.

على الرغم من أن نفس المتسابقين الثلاثة احتلوا المراكز الثلاثة الأولى في كلتا الحالتين، لكن كلًّا منهم فاز بميدالية مختلفة. وهذا لأن ترتيب المتسابقين الأوائل الثلاثة مهم نظرًا لأن كلًّا منهم حصل على ميدالية مختلفة حسب ترتيبه. عدد الطرق المختلفة لتوزيع الميداليات في هذا السباق هو نفسه عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر. ويُعطَى ذلك بالتباديل 𞸍𞸓𞸋.

دعونا نُعدِّل نظام توزيع جوائز السباق بحيث يحصل أول ثلاثة متسابقين يُنْهُون السباق على ثلاث كئوس متشابهة مكتوب على كلٍّ منها كلمة «الفائز» بدلًا من الميداليات المختلفة. في هذه الحالة، لا يؤدي ترتيب 𞸓 من المتسابقين الأوائل إلى نتائج مختلفة. على سبيل المثال، إذا طبَّقنا نظام الجوائز المعدل على النتيجتين المذكورتين بالأعلى، فسيكون لدينا المجموعة نفسها من الفائزين بالكئوس كما هو موضح في الصورة بالأسفل.

عدد المجموعات المختلفة للفائزين بالكئوس في هذا السباق يساوي عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر. ويُعطَى ذلك بالتوافيق 𞸍𞸓𞹟. دعونا نفكر في كيفية حساب هذا العدد باستخدام مبدأ العد الأساسي.

نظرية: مبدأ العد الأساسي

إذا كان لدينا الحدثان المستقلان 󰏡، 𞸁 حيث عدد النتائج الممكنة للحدث 󰏡 يساوي 𞸎 وعدد النتائج الممكنة للحدث 𞸁 يساوي 𞸑، فإن العدد الكلي للنواتج المختلفة الممكنة لهذين الحدثين معًا يساوي حاصل الضرب 𞸎×𞸑.

نتذكر أن أي حدثين يكونان مستقلين إذا كان وقوع أحد الحدثين لا يغير عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.

دعونا نطبق مبدأ العد الأساسي على هذا المثال. نفترض أن 󰏡 هو حدث اختيار أول 𞸓 من العدائين من إجمالي 𞸍 من العدائين ونفترض أن 𞸁 هو حدث ترتيب أول 𞸓 من العدائين. إذن، هذان الحدثان مستقلان، ووقوع كل منهما يعطينا عدد طرق ترتيب 𞸓 من العدائين من 𞸍. ومن ثَمَّ، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، لدينا: #𞸓𞸍×#𞸓=#𞸓𞸍.قارقااقاا

وكما ذكرنا سابقًا، يُمثِّل 𞸍𞸓𞹟 عدد طرق اختيار 𞸓 من العدائين من إجمالي 𞸍، وثمة 𞸍𞸓𞸋 من الطرق لترتيب 𞸓 من العدائين من إجمالي 𞸍. كما نتذكر أنه يوجد 𞸓 من الطرق لترتيب 𞸓 من العدائين. إذن: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞹟×𞸓=𞸋.

بقسمة كلا الطرفين على 𞸓، نحصل على: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞹟=𞸋𞸓.

وهذه متطابقة مهمة تربط التوافيق بالتباديل. بما أن 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓، نحصل على: 𞸍𞸓𞸍𞸓𞹟=𞸋𞸓=𞸍𞸍𞸓𞸓=𞸍𞸍𞸓𞸓.

يقودنا هذا إلى الصيغة الموضَّحة في المستطيل الآتي.

تعريف: التوافيق

إذا كان لدينا العددان الصحيحان غير السالبين 𞸍، 𞸓؛ حيث 𞸍𞸓، فإن التوافيق 𞸍𞸓𞹟 يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة. ولا يُهِم ترتيب العناصر 𞸓. وصيغته هي: 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓.

نلاحظ استخدام عدة ترميزات متكافئة للتوافيق. الرموز 𞸍𞸓𞹟، 𞸍𞸓𞹟، 𞹟(𞸍،𞸓) جميعها متكافئة.

بالنظر إلى الصيغة 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓، نلاحظ وجود عاملين في المقام، بينما في التباديل 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓 يوجد عامل واحد فقط في المقام. العامل الإضافي في مقام التوافيق يسمح لنا باستخدام المتطابقة الناتجة عن التماثل: 𞸍𞸍𞸓𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍(𞸍𞸓)𞸍𞸓=𞸍𞸓𞸍𞸓=𞹟.

ومن ثَمَّ، يصبح لدينا المتطابقة 𞸍𞸍𞸓𞸍𞸓𞹟=𞹟. على سبيل المثال، ٥١٥٥١٠١𞹟=𞹟.

يمكننا أيضًا أن نفهم هذه المتطابقة من منظور العد. يُمثِّل التوافيق 𞸍𞸓𞹟 عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر. لكن عندما نختار 𞸓 من العناصر، فإننا نكوِّن مجموعة من 𞸍𞸓 عناصر متبقية. ولذا؛ فإن أي طريقة لاختيار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر سينتج عنها طريقة فريدة لاختيار 𞸍𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر. باختصار، هذا يعني أن 𞸍𞸍𞸓𞸍𞸓𞹟=𞹟.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لكي نتعرف على السياقات المختلفة.

مثال ١: كتابة التوافيق بدلالة التباديل

أيٌّ مما يلي يساوي ١٤٥𞹟؟

  1. ١٤٥𞸋٥
  2. ١٤٥𞸋٥
  3. ١٤٥𞸋×٥
  4. ١٤٥𞸋×٥

الحل

سنستعرض طريقتين لحل هذا المثال. في الطريقة الأولى، نستخدم صيغتَي التباديل والتوافيق لإيجاد العلاقة بينهما. وفي الطريقة الثانية، نستخدم مبدأ العد الأساسي لإيجاد الحل.

الطريقة الأولى

  • نتذكر صيغتَي التباديل والتوافيق: 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓، 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓. بما أننا نعلم أن 𞸍=١٤، 𞸓=٥ فإن: ١٤٥١٤٥𞸋=١٤١٤٥=١٤٦٣،𞹟=١٤١٤٥٥=١٤٦٣٥.
  • نلاحظ وجود ٥ إضافي في مقام ١٤٥𞹟. وبضرب ٥ في ١٤٥𞹟 يكون لدينا: ١٤٥𞹟×٥=١٤٦٣٥×٥=١٤٦٣..
  • نلاحظ أن المقدار الناتج يساوي ١٤٥𞸋. إذن يصبح لدينا المتطابقة ١٤٥١٤٥𞹟×٥=𞸋. وبقسمة طرفَي المعادلة على ٥ نحصل على: ١٤٥١٤٥𞹟=𞸋٥..

الطريقة الثانية

  • نتذكر أن التوافيق ١٤٥𞹟 يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار ٥ عناصر من إجمالي ٤١ عنصرًا. من ناحية أخرى، نتذكر أيضًا أن التباديل ١٤٥𞸋 يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لترتيب ٥ عناصر من إجمالي ٤١ عنصرًا.
  • نتذكر مبدأ العد الأساسي، الذي ينص أن إجمالي عدد النتائج المختلفة لعدة أحداث مستقلة يساوي حاصل ضرب عدد النواتج الممكنة لكلٍّ منها.من التعريفين بالأعلى، نلاحظ أن المهمة المرتبطة بالتباديل يمكن تحليلها إلى مرحلتين. المرحلة الأولى هي اختيار ٥ عناصر من إجمالي ٤١ عنصرًا، وثمة ١٤٥𞹟 طريقة مختلفة لعمل ذلك. المرحلة الثانية هي ترتيب الخمسة عناصر ويوجد ٥ طريقة مختلفة لعمل ذلك.إذن؛ وفقًا لمبدأ العد الأساسي، يصبح لدينا: ١٤٥١٤٥𞹟×٥=𞸋.
  • وبقسمة الطرفين على ٥، نحصل على: ١٤٥١٤٥𞹟=𞸋٥.

ومن ثَمَّ؛ الإجابة هي الخيار (أ).

مثال ٢: حساب التوافيق

احسب ٣٢٩١𞹟.

الحل

نتذكر صيغة التوافيق: 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓.

بالنسبة لـ ٣٢٩١𞹟، لدينا 𞸍=٣٢، 𞸓=٩١، ومن ثَمَّ؛ علينا حساب: ٣٢٣٢٩١٩١=٣٢٤٩١.

يمكننا كتابة ٣٢=٣٢×٢٢×١٢×٠٢×٩١، ٤=٤×٣×٢×١ وبالتالي: ٣٢٤٩١=٣٢×٢٢×١٢×٠٢×٩١٤٩١=٣٢×٢٢×١٢×٠٢٤×٣×٢×١.

يمكننا تبسيط الكسور: ٠٢٤=٥، ١٢٣=٧، ٢٢٢=١١. ومن ثَمَّ، يُختصَر الكسر الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة بالأعلى إلى: ٣٢×١١×٧×٥=٥٥٨٨.

إذن؛ ٣٢٩١𞹟=٥٥٨٨.

مثال ٣: حساب التوافيق

احسب ٧٢٨٦𞹟𞹟.

الحل

نتذكر صيغة التوافيق 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓. إذن: ٧٢٨٦𞹟=٧٧٢٢=٧٥٢𞹟=٨٨٦٦=٨٢٦.،

نلاحظ أن قسمة ٧٢𞹟 على ٨٦𞹟 لحساب المقدار المعطى يكافئ ضرب ٧٢𞹟 في مقلوب ٨٦𞹟. إذن؛ ٧٢٨٦𞹟𞹟=٧٥٢×٢٦٨=٧٥×٦٨.

يمكننا كتابة: ٨=٨×٧٦=٦×٥.،

ومن ثَمَّ؛ ٧٥×٦٨=٧٥×٦×٥٨×٧=٦٨=٣٤.

إذن؛ ٧٢٨٦𞹟𞹟=٣٤.

في المثال الآتي، سنتناول مسألة عد نستخدم فيها التوافيق.

مثال ٤: حل مسألة عد بسيطة باستخدام توافيق

كم مجموعة مكوَّنة من ٣ بطاقات يمكن اختيارها من مجموعة بطاقات تتكوَّن من ٥٢ بطاقة؟

الحل

نتذكر أن التوافيق 𞸍𞸓𞹟 يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة. نعد هنا المجموعات المختلفة المكونة من ثلاث بطاقات مختارة من ٥٢ بطاقة مختلفة. نلاحظ أن ترتيب البطاقات الثلاث المختارة غير مهم. يُعطَى عدد طرق اختيار ثلاث بطاقات من ٥٢ بطاقة مختلفة بالتوافيق ٢٥٣𞹟.

نتذكر صيغة التوافيق: 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓.

نريد اختيار ثلاث بطاقات من ٥٢، إذن 𞸍=٢٥، 𞸓=٣ وهو ما يعطينا: ٢٥٣𞹟=٢٥٢٥٣٣=٢٥٩٤٣.

يمكننا كتابة ٢٥=٢٥×١٥×٠٥×٩٤، ٣=٣×٢×١. إذن: ٢٥٩٤٣=٢٥×١٥×٠٥×٩٤٩٤٣=٢٥×١٥×٠٥٣×٢×١.

يمكننا تبسيط الكسرين: ١٥٣=٧١ ،٢٥٢=٦٢. ومن ثَمَّ، يُختصَر الكسر الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة بالأعلى إلى: ٦٢×٧١×٠٥=٠٠١٢٢.

وهذا يؤدي إلى أن ٢٥٣𞹟=٠٠١٢٢.

إذن؛ يمكننا اختيار ٢٢‎ ‎١٠٠ مجموعة مختلفة مكونة من ٣ بطاقات من مجموعة مكونة من ٥٢ بطاقة.

في المثالين الأخيرين، سنتناول كيفية إيجاد معاملات مجهولة في التوافيق.

مثال ٥: حساب التوافيق لإيجاد قيمةِ مجهولٍ

إذا كان 𞸍٣𞸍٩𞹟=𞹟، فإن 𞸍=.

الحل

نتذكر أن 𞸍𞸓𞹟 يُمثِّل عدد طرق اختيار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة، ولا يهمنا هنا ترتيب العناصر 𞸓. نتذكر المتطابقة الآتية للتوافيق: 𞸍𞸍𞸓𞸍𞸓𞹟=𞹟.

يمكن فهم هذه المتطابقة في سياق مسألة عد. يُمثِّل 𞸍𞸓𞹟 عدد طرق اختيار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر. ومع ذلك، عندما نختار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر، فإننا تلقائيًّا نكوِّن مجموعة من 𞸍𞸓 عناصر متبقية. إذن عدد طرق تكوين مجموعة عدد عناصرها 𞸓 يجب أن يكون مساويًا بالضبط لعدد طرق تكوين مجموعة عدد عناصرها 𞸍𞸓. العدد الأول معطًى بالصيغة 𞸍𞸓𞹟، والثاني معطًى بالصيغة 𞸍𞸍𞸓𞹟.

في هذا المثال، لدينا 𞸍٣𞸍٩𞹟=𞹟. إذا جعلنا 𞸍=٣+٩=٢١، فسيصبح عدد طرق تكوين مجموعة عدد عناصرها ٣ يساوي عدد طرق تكوين مجموعة عدد عناصرها ٢١٣=٩. إذن 𞸍=٢١ هي الإجابة الصحيحة.

يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة عن طريق حساب قيمة كل توافيق. نتذكر الصيغة 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓. ومن ثَمَّ: ٢١٣𞹟=٢١٢١٣٣=٢١٩٣.

وعلى الجهة الأخرى: ٢١٩𞹟=٢١٢١٩٩=٢١٣٩.

وهذا يؤكد صحة إجابتنا: 𞸍=٢١.

حسنًا، إذا كان 𞸍٣𞸍٩𞹟=𞹟، فإن 𞸍=٢١.

مثال ٦: حساب التوافيق لإيجاد قيمة مجهول

إذا كان 𞸍٣𞹟=٠٢١، فأوجد 𞸍.

الحل

نتذكر صيغة التوافيق: 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓.

تذكر أنه يجب أن يكون 𞸍𞸓 عند تعريف 𞸍𞸓𞹟. لدينا 𞸓=٣، إذن يجب أن يكون 𞸍٣. عند التعويض بـ 𞸓=٣ في الصيغة نحصل على: 𞸍𞸍٣٣=٠٢١.

نضرب الطرفين في ٣=٣×٢×١=٦ لنحصل على: 𞸍𞸍٣=٠٢٧.

بما أن 𞸍٣، إذن يمكننا كتابة 𞸍=𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)×𞸍٣. الطرف الأيمن من المعادلة بالأعلى يساوي: 𞸍𞸍٣=𞸍×(𞸍١)×(𞸍٢)×𞸍٣𞸍٣=𞸍(𞸍١)(𞸍٢).

ونعلم من المسألة أن هذا يساوي ١٢٠، إذن لدينا المعادلة: 𞸍(𞸍١)(𞸍٢)=٠٢٧.

لأي 𞸍>٢، نلاحظ أن: (𞸍٢)<𞸍(𞸍١)(𞸍٢)<𞸍.٣٣

إذن؛ لا بد أن يكون: (𞸍٢)<٠٢٧<𞸍.٣٣

نأخذ الجذر التكعيبي للمتباينتين بالأعلى. بما أن ٣󰋴٠٢٧٦٩٫٨، 𞸍٢<٦٩٫٨<𞸍.

وبما أن ٦٩٫٨<𞸍، فإن العدد الصحيح 𞸍 يجب أن يساوي ٩ على الأقل. وعلى الجانب الآخر، بما أن 𞸍٢<٦٩٫٨𞸍<٦٩٫٠١، فإن 𞸍 يجب أن يساوي ١٠ على الأكثر. إذن 𞸍 يجب أن يكون ٩ أو ١٠. وأيضًا يجب أن يحقق 𞸍 المعادلة 𞸍(𞸍١)(𞸍٢)=٠٢٧. يمكننا التعويض بـ 𞸍=٩، 𞸍=٠١ في هذه المعادلة لنعرف أيٌّ منهما القيمة الصحيحة لـ 𞸍.

إذا كان 𞸍=٩، فإن: 𞸍(𞸍١)(𞸍٢)=٩×٨×٧=٤٠٥.

وبما أن هذا لا يساوي ٧٢٠، إذن 𞸍٩.

وإذا كان 𞸍=٠١، فإن: 𞸍(𞸍١)(𞸍٢)=٠١×٩×٨=٠٢٧.

إذن 𞸍=٠١ يحقق 𞸍٣𞹟=٠٢١.

النقاط الرئيسية

  • يُمثِّل التوافيق 𞸍𞸓𞹟 عدد الطرق المختلفة لاختيار 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة.ولا يُهِم ترتيب العناصر 𞸓 في التوافيق.
  • الرموز 𞸍𞸓𞹟، 𞸍𞸓𞹟، 𞹟(𞸍،𞸓)، جميعها متكافئة.
  • يُمثِّل التباديل 𞸍𞸓𞸋 عدد الطرق المختلفة لترتيب 𞸓 من العناصر من إجمالي 𞸍 من العناصر المختلفة.وترتيب العناصر 𞸓 مهم في التباديل.
  • 𞸍𞸓𞹟=𞸍𞸍𞸓𞸓، 𞸍𞸓𞸋=𞸍𞸍𞸓.لاحظ أن 𞸍𞸓𞸍𞸓𞹟=𞸋𞸓.
  • يحقق التوافيق 𞸍𞸓𞹟 المتطابقة 𞸍𞸓𞸍𞸍𞸓𞹟=𞹟.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.