في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص التوافيق لحل المسائل، وكيف نستخدمها لعد النواتج الممكنة.
يُمثِّل التوافيق عدد الطرق المختلفة لاختيار عدد من العناصر من إجمالي عدد من العناصر المختلفة. ولا يُهِم ترتيب العناصر في التوافيق. لكي يكون هذا التعريف منطقيًّا، يجب أن يكون المتغيران ، عددين صحيحين غير سالبين وأن يكون .
نتذكر أن التباديل يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لترتيب عدد من العناصر من إجمالي عدد من العناصر المختلفة. إن ترتيب العناصر مهم في التباديل ، وهو ما يُميِّزه عن التوافيق .
ولكي نُميِّز بين التوافيق والتباديل عند التعامل معهما، لنفترض أن لدينا نوعين مختلفين من السباقات بها عدد من المشاركين. في السباق الأول، يحصل أول من المتسابقين على ميداليات مطبوع عليها مراكزهم. على سبيل المثال، يوضح الشكلان الآتيان طريقتين مختلفتين ممكنتين لتوزيع الميداليات؛ حيث .
على الرغم من أن نفس المتسابقين الثلاثة احتلوا المراكز الثلاثة الأولى في كلتا الحالتين، لكن كلًّا منهم فاز بميدالية مختلفة. وهذا لأن ترتيب المتسابقين الأوائل الثلاثة مهم نظرًا لأن كلًّا منهم حصل على ميدالية مختلفة حسب ترتيبه. عدد الطرق المختلفة لتوزيع الميداليات في هذا السباق هو نفسه عدد الطرق المختلفة لترتيب من العناصر من إجمالي من العناصر. ويُعطَى ذلك بالتباديل .
دعونا نُعدِّل نظام توزيع جوائز السباق بحيث يحصل أول ثلاثة متسابقين يُنْهُون السباق على ثلاث كئوس متشابهة مكتوب على كلٍّ منها كلمة «الفائز» بدلًا من الميداليات المختلفة. في هذه الحالة، لا يؤدي ترتيب من المتسابقين الأوائل إلى نتائج مختلفة. على سبيل المثال، إذا طبَّقنا نظام الجوائز المعدل على النتيجتين المذكورتين بالأعلى، فسيكون لدينا المجموعة نفسها من الفائزين بالكئوس كما هو موضح في الصورة بالأسفل.
عدد المجموعات المختلفة للفائزين بالكئوس في هذا السباق يساوي عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر. ويُعطَى ذلك بالتوافيق . دعونا نفكر في كيفية حساب هذا العدد باستخدام مبدأ العد الأساسي.
نظرية: مبدأ العد الأساسي
إذا كان لدينا الحدثان المستقلان ، حيث عدد النتائج الممكنة للحدث يساوي وعدد النتائج الممكنة للحدث يساوي ، فإن العدد الكلي للنواتج المختلفة الممكنة لهذين الحدثين معًا يساوي حاصل الضرب .
نتذكر أن أي حدثين يكونان مستقلين إذا كان وقوع أحد الحدثين لا يغير عدد النواتج الممكنة للحدث الآخر.
دعونا نطبق مبدأ العد الأساسي على هذا المثال. نفترض أن هو حدث اختيار أول من العدائين من إجمالي من العدائين ونفترض أن هو حدث ترتيب أول من العدائين. إذن، هذان الحدثان مستقلان، ووقوع كل منهما يعطينا عدد طرق ترتيب من العدائين من . ومن ثَمَّ، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، لدينا:
وكما ذكرنا سابقًا، يُمثِّل عدد طرق اختيار من العدائين من إجمالي ، وثمة من الطرق لترتيب من العدائين من إجمالي . كما نتذكر أنه يوجد من الطرق لترتيب من العدائين. إذن:
بقسمة كلا الطرفين على ، نحصل على:
وهذه متطابقة مهمة تربط التوافيق بالتباديل. بما أن ، نحصل على:
يقودنا هذا إلى الصيغة الموضَّحة في المستطيل الآتي.
تعريف: التوافيق
إذا كان لدينا العددان الصحيحان غير السالبين ، ؛ حيث ، فإن التوافيق يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة. ولا يُهِم ترتيب العناصر . وصيغته هي:
نلاحظ استخدام عدة ترميزات متكافئة للتوافيق. الرموز ، ، جميعها متكافئة.
بالنظر إلى الصيغة ، نلاحظ وجود عاملين في المقام، بينما في التباديل يوجد عامل واحد فقط في المقام. العامل الإضافي في مقام التوافيق يسمح لنا باستخدام المتطابقة الناتجة عن التماثل:
ومن ثَمَّ، يصبح لدينا المتطابقة . على سبيل المثال، .
يمكننا أيضًا أن نفهم هذه المتطابقة من منظور العد. يُمثِّل التوافيق عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر. لكن عندما نختار من العناصر، فإننا نكوِّن مجموعة من عناصر متبقية. ولذا؛ فإن أي طريقة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر سينتج عنها طريقة فريدة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر. باختصار، هذا يعني أن .
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لكي نتعرف على السياقات المختلفة.
مثال ١: كتابة التوافيق بدلالة التباديل
أيٌّ مما يلي يساوي ؟
الحل
سنستعرض طريقتين لحل هذا المثال. في الطريقة الأولى، نستخدم صيغتَي التباديل والتوافيق لإيجاد العلاقة بينهما. وفي الطريقة الثانية، نستخدم مبدأ العد الأساسي لإيجاد الحل.
الطريقة الأولى
- نتذكر صيغتَي التباديل والتوافيق: ، . بما أننا نعلم أن ، فإن:
- نلاحظ وجود إضافي في مقام . وبضرب في يكون لدينا: .
- نلاحظ أن المقدار الناتج يساوي . إذن يصبح لدينا المتطابقة . وبقسمة طرفَي المعادلة على نحصل على: .
الطريقة الثانية
- نتذكر أن التوافيق يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار ٥ عناصر من إجمالي ٤١ عنصرًا. من ناحية أخرى، نتذكر أيضًا أن التباديل يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لترتيب ٥ عناصر من إجمالي ٤١ عنصرًا.
- نتذكر مبدأ العد الأساسي، الذي ينص أن إجمالي عدد النتائج المختلفة لعدة أحداث مستقلة يساوي حاصل ضرب عدد النواتج الممكنة لكلٍّ منها. من التعريفين بالأعلى، نلاحظ أن المهمة المرتبطة بالتباديل يمكن تحليلها إلى مرحلتين. المرحلة الأولى هي اختيار ٥ عناصر من إجمالي ٤١ عنصرًا، وثمة طريقة مختلفة لعمل ذلك. المرحلة الثانية هي ترتيب الخمسة عناصر ويوجد طريقة مختلفة لعمل ذلك. إذن؛ وفقًا لمبدأ العد الأساسي، يصبح لدينا:
- وبقسمة الطرفين على ، نحصل على:
ومن ثَمَّ؛ الإجابة هي الخيار (أ).
مثال ٢: حساب التوافيق
احسب .
الحل
نتذكر صيغة التوافيق:
بالنسبة لـ ، لدينا ، ، ومن ثَمَّ؛ علينا حساب:
يمكننا كتابة ، وبالتالي:
يمكننا تبسيط الكسور: ، ، . ومن ثَمَّ، يُختصَر الكسر الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة بالأعلى إلى:
إذن؛ .
مثال ٣: حساب التوافيق
احسب .
الحل
نتذكر صيغة التوافيق إذن:
نلاحظ أن قسمة على لحساب المقدار المعطى يكافئ ضرب في مقلوب . إذن؛
يمكننا كتابة:
ومن ثَمَّ؛
إذن؛ .
في المثال الآتي، سنتناول مسألة عد نستخدم فيها التوافيق.
مثال ٤: حل مسألة عد بسيطة باستخدام توافيق
كم مجموعة مكوَّنة من ٣ بطاقات يمكن اختيارها من مجموعة بطاقات تتكوَّن من ٥٢ بطاقة؟
الحل
نتذكر أن التوافيق يُمثِّل عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة. نعد هنا المجموعات المختلفة المكونة من ثلاث بطاقات مختارة من ٥٢ بطاقة مختلفة. نلاحظ أن ترتيب البطاقات الثلاث المختارة غير مهم. يُعطَى عدد طرق اختيار ثلاث بطاقات من ٥٢ بطاقة مختلفة بالتوافيق .
نتذكر صيغة التوافيق:
نريد اختيار ثلاث بطاقات من ٥٢، إذن ، وهو ما يعطينا:
يمكننا كتابة ، . إذن:
يمكننا تبسيط الكسرين: ،. ومن ثَمَّ، يُختصَر الكسر الموجود في الطرف الأيسر من المعادلة بالأعلى إلى:
وهذا يؤدي إلى أن .
إذن؛ يمكننا اختيار ٢٢ ١٠٠ مجموعة مختلفة مكونة من ٣ بطاقات من مجموعة مكونة من ٥٢ بطاقة.
في المثالين الأخيرين، سنتناول كيفية إيجاد معاملات مجهولة في التوافيق.
مثال ٥: حساب التوافيق لإيجاد قيمةِ مجهولٍ
إذا كان ، فإن .
الحل
نتذكر أن يُمثِّل عدد طرق اختيار من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة، ولا يهمنا هنا ترتيب العناصر . نتذكر المتطابقة الآتية للتوافيق:
يمكن فهم هذه المتطابقة في سياق مسألة عد. يُمثِّل عدد طرق اختيار من العناصر من إجمالي من العناصر. ومع ذلك، عندما نختار من العناصر من إجمالي من العناصر، فإننا تلقائيًّا نكوِّن مجموعة من عناصر متبقية. إذن عدد طرق تكوين مجموعة عدد عناصرها يجب أن يكون مساويًا بالضبط لعدد طرق تكوين مجموعة عدد عناصرها . العدد الأول معطًى بالصيغة ، والثاني معطًى بالصيغة .
في هذا المثال، لدينا . إذا جعلنا ، فسيصبح عدد طرق تكوين مجموعة عدد عناصرها ٣ يساوي عدد طرق تكوين مجموعة عدد عناصرها . إذن هي الإجابة الصحيحة.
يمكننا التأكد من صحة هذه الإجابة عن طريق حساب قيمة كل توافيق. نتذكر الصيغة . ومن ثَمَّ:
وعلى الجهة الأخرى:
وهذا يؤكد صحة إجابتنا: .
حسنًا، إذا كان ، فإن .
مثال ٦: حساب التوافيق لإيجاد قيمة مجهول
إذا كان ، فأوجد .
الحل
نتذكر صيغة التوافيق:
تذكر أنه يجب أن يكون عند تعريف . لدينا ، إذن يجب أن يكون . عند التعويض بـ في الصيغة نحصل على:
نضرب الطرفين في لنحصل على:
بما أن ، إذن يمكننا كتابة . الطرف الأيمن من المعادلة بالأعلى يساوي:
ونعلم من المسألة أن هذا يساوي ١٢٠، إذن لدينا المعادلة:
لأي ، نلاحظ أن:
إذن؛ لا بد أن يكون:
نأخذ الجذر التكعيبي للمتباينتين بالأعلى. بما أن ،
وبما أن ، فإن العدد الصحيح يجب أن يساوي ٩ على الأقل. وعلى الجانب الآخر، بما أن ، فإن يجب أن يساوي ١٠ على الأكثر. إذن يجب أن يكون ٩ أو ١٠. وأيضًا يجب أن يحقق المعادلة . يمكننا التعويض بـ ، في هذه المعادلة لنعرف أيٌّ منهما القيمة الصحيحة لـ .
إذا كان ، فإن:
وبما أن هذا لا يساوي ٧٢٠، إذن .
وإذا كان ، فإن:
إذن يحقق .
النقاط الرئيسية
- يُمثِّل التوافيق عدد الطرق المختلفة لاختيار من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة. ولا يُهِم ترتيب العناصر في التوافيق.
- الرموز ، ، ، جميعها متكافئة.
- يُمثِّل التباديل عدد الطرق المختلفة لترتيب من العناصر من إجمالي من العناصر المختلفة. وترتيب العناصر مهم في التباديل.
- ، . لاحظ أن .
- يحقق التوافيق المتطابقة .
