شارح الدرس: معامل ارتباط بيرسون الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: تحديد نوع الارتباط بين متغيِّرَيْن باستخدام قيمة معامل الارتباط

أيٌّ ممَّا يلي يُمثِّل التفسير الأنسب لمعامل ارتباط بيرسون مقداره ٠٫٨؟

1. ارتباط خطي موجب قوي
2. لا يوجد ارتباط
3. ارتباط خطي موجب متوسِّط
4. ارتباط خطي سالب قوي
5. ارتباط خطي سالب متوسِّط

الحل

بما أن معامل ارتباط بيرسون يوضِّح لنا قوة الارتباط الخطي بين متغيِّرَيْن، إذن يمكننا استخدام خط الأعداد الموضَّح بالأسفل ليساعدنا في تحديد تفسير معامل مقداره ٠٫٨.

بما أن ٠٫٨ عدد موجب، إذن نعرف من ذلك أن مجموعتَي البيانات ترتبطان ارتباطًا موجبًا. وبما أن ٠٫٨ يقترب نسبيًّا من ١، إذن بذلك نعرف أن هناك ارتباطًا قويًّا. ومن ثَمَّ، يوجد ارتباط خطي موجب قوي.

مثال ٢: تحديد معامل الارتباط الأنسب بمعلومية وصف الارتباط

أيٌّ من معاملات الارتباط التالية يوضِّح أضعف معامل ارتباط عكسي؟

الحل

نحن نعلم أنَّ لأيِّ ارتباط عكسي معاملَ ارتباط بيرسون سالبًا، وهو الحال في جميع الخيارات الموضَّحة في المثال. كما نعلم أنه كلما كان الارتباط أضعف، كانت قيمته أقرب إلى الصفر. يمكن أن يساعدنا استخدام خط الأعداد في تحديد القيمة الأنسب.

ومن ثَمَّ، بما أن القيمة هي الأقرب إلى الصفر، إذن فهي تُشير إلى أضعف معامل ارتباط عكسي.

مثال ٣: تحديد معامل الارتباط الأنسب بناءً على شكل الانتشار

ما القيمة الأكثر ترجيحًا لمعامل بيرسون لارتباط عزم حاصل الضرب بالنسبة إلى البيانات الموضَّحة في الشكل؟

2. ٠
4. ٠٫٧٨
5. ٠٫٣٧

الحل

يوضِّح لنا معامل بيرسون لارتباط عزم حاصل الضرب مدى دقة مطابقة مجموعة نقاط لخط أفضل مطابقة. ومن ثَمَّ، من خلال إضافة خط أفضل مطابقة، يمكننا تحديد قوة الارتباط واتجاهه بسهولة.

بذلك، نكون قد أضفنا خط أفضل مطابقة تقريبيًّا إلى البيانات.‎ بما أن خط أفضل مطابقة ميله سالب، إذن نعرف من ذلك أن له ارتباطًا عكسيًّا؛ ومن ثَمَّ، يقع معامل الارتباط بين و٠. وبما أن بعض نقاط البيانات تقع بالقرب من خط أفضل مطابقة، وبعضها الآخر يقع على مسافة أبعد قليلًا، إذن لا بد أن يكون هناك ارتباط سالب متوسِّط. يمكننا أن نقدِّر ذلك بأنه يوجد في الفترة ؛ ومن ثَمَّ، يمكننا اختيار الإجابة .

لاحظ أنه، في هذا المثال، كان لدينا فقط إجابتان سالبتان للاختيار من بينهما. بما أن معامل الارتباط الذي قيمته يُشير إلى ارتباط عكسي قوي، إذن يمكننا استبعاد هذه الإجابة، ليتبقَّى لدينا .

مثال ٤: حساب معامل ارتباط عزم حاصل الضرب لبيرسون بمعلومية ملخَّص الإحصائيات

يمكن اختصار مجموعة بيانات كالآتي:

احسب معامل ارتباط بيرسون لمجموعة البيانات هذه، مع إيجاد الإجابة الصحيحة لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

الطريقة الأولى:

لكي نحسب معامل ارتباط عزم حاصل الضرب لبيرسون، نستخدم المعادلة: حيث عدد أزواج القيم للمتغيِّرَيْن ، .

بالتعويض بكلٍّ من ، ، ، ، ، ، نحصل على:

وبما أن قيمة تقع في الفترة ، إذن الإجابة مناسبة:

الطريقة الثانية:

بدايةً، علينا حساب ملخَّص الإحصائيات ، ، :

من الأفضل عند حساب ، التأكُّد من أنهما موجبان؛ لأن هذين الملخَّصين من الإحصائيات يجب ألَّا يكونا سالبين. لكن يمكن أن يكون سالبًا، ويُحدِّد إذا ما كانت مجموعات البيانات مرتبطة ارتباطًا موجبًا أو سالبًا.

بعد ذلك، يمكننا حساب معامل الارتباط باستخدام الصيغة:

وبما أن قيمة تقع في الفترة ، إذن الإجابة مناسبة:

مثال ٥: حساب معامل ارتباط بيرسون من مجموعة بيانات متصلة ثنائية المتغيِّرات، واستخدامه لتحديد قوة الارتباط واتجاهه

يوضِّح الجدول التالي نتائج القفز العالي والقفز الطويل الذي حققته ١٥ متنافِسة في مسابقة السباعي (ألعاب القوى) للسيدات في أولمبياد ريو دي جانيرو ٢٠١٦.

1. احسب، لأقرب جزء من ألف، قيمة معامل ارتباط بيرسون بين نتائج القفز الطويل ونتائج القفز العالي.
2. ما الذي يُبيِّنه معامل الارتباط عن العلاقة بين نتائج القفز الطويل ونتائج القفز العالي؟

1. يُوجَد ارتباط خطي سالب متوسِّط بين نتائج القفز الطويل ونتائج القفز العالي.
2. يُوجَد ارتباط خطي موجب قوي بين نتائج القفز الطويل ونتائج القفز العالي.
3. يُوجَد ارتباط خطي موجب متوسِّط بين نتائج القفز الطويل ونتائج القفز العالي.
4. يُوجَد ارتباط خطي سالب قوي بين نتائج القفز الطويل ونتائج القفز العالي.
5. لا يُوجَد ارتباط حقيقي بين نتائج القفز الطويل ونتائج القفز العالي.

الحل

الجزء الأول

لحساب معامل ارتباط بيرسون، نحسب قيمة كلٍّ من ، ، ، ، ، ، ثم نعوِّض في المعادلة: حيث عدد أزواج القيم للمتغيِّرَيْن ، .

قد تفيدنا إضافة صفوف/أعمدة إضافية لحساب قيم ، ، ، ثم حساب مجموع كلٍّ منها.

باستخدام القيمة ، وهي عدد نقاط البيانات، وكذلك مجموع كلٍّ من ، ، ، ، من الجدول السابق، يمكننا التعويض في المعادلة لحساب قيمة :

بما أن قيمة تقع في الفترة ، إذن الإجابة ٠٫٨٥٩ مناسبة.

الجزء الثاني

بعد أن حسبنا قيمة ، يمكننا بعد ذلك استخدامها لتحديد قوة الارتباط واتجاهه. بما أن موجب، إذن ترتبط مجموعتا البيانات ارتباطًا موجبًا. وبما أن قريب نسبيًّا من ١، إذن ترتبط مجموعتا البيانات ارتباطًا قويًّا. إذن يُوجَد ارتباط خطي موجب قوي بين نتائج القفز الطويل ونتائج القفز العالي.

مثال ٦: حساب معامل ارتباط بيرسون بمعلومية غ_{س س}، غ_{ص ص}، غ_{س ص}.

تحتوي مجموعة البيانات على ملخَّص إحصائيات ، ، . احسب معامل ارتباط عزم حاصل الضرب لهذه المجموعة من البيانات، مقرِّبًا إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

الحل

تنص صيغة معامل ارتباط بيرسون على أن:

ومن ثَمَّ، بالتعويض بالقيم ، ، ، نحصل على:

وبما أننا نعلم أن يقع في الفترة ، إذن يمكننا استنتاج أن ٠٫٦٢٠ هي القيمة المناسبة: