في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب السرعة المتجهة باعتبارها معدَّل التغيُّر في الإزاحة، ونوضِّح التشابهات والاختلافات بين السرعة القياسية والسرعة المتجهة.
ترتبط السرعة المتجهة، ، لجسم بالإزاحة، ، لهذا الجسم خلال فترة زمنية، ، بالمعادلة:
معادلة السرعة المتجهة مطابقة تقريبًا لمعادلة السرعة القياسية. والفرق الوحيد بينهما هو أن معادلة السرعة القياسية تربط التغيُّر في المسافة، ، بدلًا من الإزاحة، ، بالتغيُّر في الزمن، .
الإزاحة هي المسافة المستقيمة من نقطة إلى نقطة أخرى. بالنسبة إلى جسم يقطع مسارًا مستقيمًا ولا يغيِّر اتجاهه، تكون المسافة المقطوعة هي مقدار إزاحة الجسم.
ومن ثَمَّ، يمكننا أن نلاحظ أنه بالنسبة إلى جسم يتحرَّك في مسار مستقيم في اتجاه واحد فقط على طول المسار، تكون سرعة الجسم القياسية هي مقدار السرعة المتجهة للجسم.
بالنسبة إلى جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، فإن الفرق الوحيد بين سرعة الجسم القياسية وسرعته المتجهة هو أن السرعة المتجهة لها اتجاه، من بداية المسار إلى نهايته، أما السرعة القياسية فليس لها اتجاه.
يمكن إيجاد السرعة المتجهة من خلال قسمة الإزاحة (كمية متجهة) على الزمن (كمية قياسية). نلاحِظ من ذلك أن السرعة المتجهة كمية متجهة. وهذا يتفق مع أن السرعة المتجهة لها مقدار واتجاه.
ومثلما يمكن أن يكون للجسم سرعة قياسية ثابتة وسرعة قياسية متوسطة، يمكن أن تكون له سرعة متجهة ثابتة وسرعة متجهة متوسطة. والسرعة المتجهة المتوسطة لجسم له سرعة متجهة ثابتة تساوي سرعته المتجهة الثابتة.
نلقي نظرة على مثال نُوجِد فيه السرعة المتجهة المتوسطة لجسم يتحرَّك في مسار مستقيم.
مثال ١: إيجاد السرعة المتجهة لجسم
ما السرعة المتجهة المتوسطة لجسم باتجاه الغرب، إذا تحرَّك مسافة 11 m نحو الغرب في زمن قدره 0.25 s؟
الحل
يَطلب السؤال إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للجسم. في هذا السؤال، لا تُوجَد طريقة لتحديد الفرق بين السرعة المتجهة المتوسطة للجسم وسرعته المتجهة الثابتة؛ لذا، يمكننا افتراض أنهما متساويتان.
ترتبط السرعة المتجهة، ، لجسم بالإزاحة، ، لهذا الجسم خلال فترة زمنية، ، بالمعادلة:
عندما يتحرَّك الجسم في مسار مستقيم، يكون الفرق الوحيد بين سرعة الجسم المتجهة وسرعته القياسية هو أن السرعة المتجهة لها اتجاه، والسرعة القياسية ليس لها اتجاه.
ينص السؤال على أن السرعة المتجهة المطلوب إيجادها هي في اتجاه الغرب؛ ومن ثَمَّ، فهذا يُحدِّد اتجاه السرعة المتجهة. وذُكِر أن إزاحة الجسم في اتجاه الغرب، في نفس اتجاه السرعة المتجهة المطلوب إيجادها.
علينا فقط معرفة المسافة التي يتحرَّكها الجسم في هذا الاتجاه والفترة الزمنية التي يتحرَّك خلالها.
مقدار الإزاحة هو المسافة المستقيمة بين نقطة بداية ونقطة نهاية حركة الجسم، وهي تساوي في هذه الحالة: 11 مترًا.
وإزاحة الجسم تساوي 11 مترًا باتجاه الغرب، والفترة الزمنية التي يتحرَّك خلالها الجسم تساوي 0.25 ثانية.
ومن ثَمَّ، تُعطى السرعة المتجهة باتجاه الغرب بالعلاقة:
نلقي نظرة الآن على مثال يتحرَّك فيه الجسم في خط مستقيم، لكن ليس له سرعة متجهة ثابتة.
مثال ٢: إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة لجسم
يتحرَّك جسم باتجاه الشمال بسرعة 12 m/s لمدة زمنية قدرها 10 ثوانٍ، ثم يتوقَّف، ويظل ساكنًا لمدة 10 ثوانٍ قبل أن يتحرَّك باتجاه الشمال بسرعة 12 m/s لمدة 10 ثوانٍ أخرى. ما السرعة المتجهة المتوسطة للجسم باتجاه الشمال؟
الحل
يتحرَّك الجسم في البداية، لكنه يتوقَّف بعد ذلك ثم يبدأ في الحركة مرة أخرى. تتغيَّر السرعة المتجهة للجسم؛ ومن ثَمَّ، لا يمكن أن تكون ثابتة. والمطلوب إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة للجسم.
ترتبط السرعة المتجهة المتوسطة، ، لجسم بالإزاحة، ، لهذا الجسم خلال فترة زمنية، ، بالمعادلة:
ينص السؤال على أن إزاحة الجسم باتجاه الشمال ويَطلب منا إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة باتجاه الشمال. لإيجاد ذلك، علينا معرفة الإزاحة الكلية باتجاه الشمال والفترة الزمنية التي تحدُث خلالها هذه الإزاحة.
يتحرَّك الجسم باتجاه الشمال بسرعة 12 m/s لمدة 10 ثوانٍ قبل أن يتوقَّف. يمكن إيجاد الإزاحة في هذا الزمن باستخدام المعادلة: وبضرب هذه المعادلة في ، نحصل على:
عندما يتحرَّك الجسم للمرة الثانية، يتحرَّك مرة أخرى باتجاه الشمال بسرعة 12 m/s لمدة 10 ثوانٍ؛ ومن ثَمَّ، يجب أن تكون إزاحته 120 مترًا أخرى.
تُعطى الإزاحة الكلية للجسم باتجاه الشمال بالعلاقة:
الفترة الزمنية التي يتحرَّك خلالها الجسم في المرتين مسافة 120 متر هي 10 ثوانٍ. إذن هناك فترتان زمنيتان. وبين هاتين الفترتين الزمنيتين فترة زمنية أخرى قدرها 10 ثوانٍ يكون الجسم فيها في حالة سكون.
إننا نُوجِد السرعة المتجهة المتوسطة باتجاه الشمال لحركة الجسم من 10 ثوانٍ قبل أن يتوقَّف الجسم عن الحركة حتى 10 ثوانٍ بعد أن بدأ الحركة مرة أخرى. تُعَد الفترة الزمنية التي كان الجسم فيها في حالة سكون جزءًا من هذه الحركة.
ومن ثَمَّ، تُعطى الفترة الزمنية الكلية للحركة بالعلاقة:
بالتعويض بقيم ، ، التي تم الحصول عليها، نجد أن السرعة المتجهة المتوسطة باتجاه الشمال تُعطى بالعلاقة:
نلاحظ أن السرعة المتجهة المتوسطة أقل من السرعة المتجهة في أيٍّ من الفترتين الزمنيتين اللتين يتحرَّك خلالها الجسم. وهذا يتسق مع حقيقة أن الجسم كان في حالة سكون، في جزء من الفترة الزمنية الكلية التي تم إيجاد سرعتها المتجهة المتوسطة.
نلقي نظرة على مثال يعكس فيه الجسم اتجاه حركته.
مثال ٣: إيجاد إزاحة جسم له سرعة قياسية ثابتة معلومة
تحرَّك جسم إلى الأمام بسرعة 10 m/s لمدة 4 s، ثم تحرَّك إلى الخلف لمدة 2 s بنفس السرعة. ما المسافة الكلية التي تحرَّكها الجسم إلى الأمام من نقطة البداية؟
الحل
السرعة القياسية للجسم عندما يتحرَّك للأمام كما هي عندما يتحرَّك للخلف، 10 m/s. ومقدار السرعة المتجهة إلى الأمام وإلى الخلف هو 10 m/s، لكن هاتين السرعتين المتجهتين لهما اتجاهان متعاكسان.
يجب أن نُحدِّد أحد هذين الاتجاهين على أنه موجب، والاتجاه المعاكس على أنه سالب. نحدِّد أن الاتجاه إلى الأمام هو الموجب.
يمكن إيجاد إزاحة الجسم خلال فترة زمنية باستخدام المعادلة: وبضرب هذه المعادلة في ، نحصل على:
عندما يتحرَّك الجسم إلى الأمام، نجد أن:
وعندما يتحرَّك الجسم إلى الخلف، تكون سرعته المتجهة m/s؛ ومن ثَمَّ، نجد أن:
ومن ثَمَّ، تُعطى الإزاحة الكلية للجسم إلى الأمام بالمعادلة:
والآن، نلقي نظرة على مثال يتم فيه إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة لجسم يعكس اتجاهه.
مثال ٤: إيجاد السرعة المتجهة المتوسطة لجسم يعكس اتجاهه
ما السرعة المتجهة المتوسطة في اتجاه الشرق لجسم يتحرَّك مسافة 6 m شرقًا، ومسافة 2 m غربًا، في زمن كلي قدره 0.75 s؟ قرِّب إجابتك لأقرب رقم عشري.
الحل
نفترض أن الإزاحة في اتجاه الشرق موجبة.
تُعطى إزاحة الجسم بالعلاقة:
الفترة الزمنية التي تحدث فيها هذه الإزاحة هي 0.75 ثانية.
ترتبط السرعة المتجهة المتوسطة، ، لجسم بالإزاحة، ، لهذا الجسم خلال فترة زمنية، ، بالمعادلة:
بالتعويض بقيم ، نجد أن السرعة المتجهة المتوسطة في اتجاه الشرق تُعطى بالعلاقة:
وهذا يساوي 5.3 m/s لأقرب منزلة عشرية.
والآن، نلقي نظرة على مثال يتم فيه إيجاد السرعة المتجهة لجسم خلال أجزاء حركته المختلفة التي يعكس فيها الجسم اتجاهه.
مثال ٥: إيجاد السرعة المتجهة لجسم خلال فترات مختلفة من حركته
تسبح سمكة مسافة 15 m ناحية اليسار بمتوسط سرعة 2 m/s، وتغيِّر اتجاهها على الفور وتسبح نصف تلك المسافة ناحية اليمين. الوقت المستغرَق في حدوث ذلك 12 s، كما هو موضَّح في الشكل. في هذه المسألة، افترض أن الإزاحة إلى اليسار موجبة.
ما إزاحة السمكة من نقطة البدء بعد مرور 12 s من بدء حركتها؟
ما الزمن الذي استغرقته السمكة في السباحة ناحية اليسار؟
ما السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة أثناء حركتها ناحية اليمين؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.
ما السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة خلال الـ 12 s التي تحرَّكتها؟
الحل
وُصِفت السمكة بأنها تسبح ناحية اليسار، ثم تسبح ناحية اليمين. يوضِّح الشكل بعض الحركة لأسفل، لكن الغرض من هذا هو تسهيل قراءة الشكل. يجب افتراض أن حركة السمكة في خط مستقيم. التحرُّك إلى اليسار على طول هذا الخط المستقيم يُعَدُّ إزاحة موجبة.
الزمن الإجمالي الذي تتحرَّك خلاله السمكة هو 12 ثانية. ويكون موضع السمكة بعد 12 ثانية من بدء حركتها هو موضعها النهائي.
تتحرَّك السمكة في البداية ناحية اليسار. تقطع السمكة مسافة قدرها 15 m ناحية اليسار. وهذا يناظر الإزاحة التي قدرها 15 m.
ثم تتحرَّك السمكة ناحية اليمين نصف المسافة التي قطعتها ناحية اليسار. هذه المسافة تساوي:
اتجاه السمكة عندما تتحرَّك هذه المسافة يكون عكس الاتجاه الموجب؛ لذا، يناظر هذا إزاحة قدرها m.
إذن الإزاحة الإجمالية للسمكة بعد 12 ثانية من بدء حركتها تُعطى بالعلاقة:
المسافة التي تسبحها السمكة ناحية اليسار تساوي 15 مترًا. ذكر السؤال أن سرعة السمكة عند السباحة ناحية اليسار تساوي 2 m/s.
يمكن إيجاد الزمن الذي استغرقته السمكة في السباحة ناحية اليسار باستخدام المعادلة: وبضرب المعادلة في ، ثم قسمة المعادلة الناتجة على ، نحصل على:
بالتعويض بقيمتَي المسافة والسرعة المعلومتين، نجد أن:
يبلغ إجمالي الزمن الذي تسبح خلاله السمكة 12 ثانية. تسبح السمكة ناحية اليسار لمدة 7.5 ثوانٍ. ومن ثَمَّ، يُعطى الزمن الذي تسبح خلاله السمكة ناحية اليمين، بالعلاقة:
لقد لاحظنا أن إزاحة السمكة خلال حركتها ناحية اليمين تساوي أمتار. وتُعطى السرعة المتجهة للسمكة أثناء السباحة ناحية اليمين بالعلاقة: حيث السرعة المتجهة، الإزاحة، الفترة الزمنية التي تسبح خلالها السمكة ناحية اليمين.
بالتعويض بقيمتَي الإزاحة والزمن المعلومتين، نجد أن:
وهذا يساوي m/s لأقرب منزلة عشرية.
السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة خلال الـ 12 ثانية التي تتحرَّك خلالها تمثِّل ببساطة إزاحتها الكلية مقسومة على 12 ثانية. وقد تبيَّن أن الإزاحة الكلية تساوي 7.5 أمتار. ومن ثَمَّ، نجد أن السرعة المتجهة المتوسطة تُعطى بالعلاقة:
تكون السرعة المتجهة المتوسطة موجبة؛ لأن موضع السمكة بعد 12 ثانية هو نقطة اتجاهها ناحية اليسار من موضع بداية حركتها.
وملخص ذلك أن:
- إزاحة السمكة من نقطة البدء بعد مرور 12 ثانية تساوي 7.5 m.
- الزمن الذي استغرقته السمكة في السباحة ناحية اليسار يساوي 7.5 ثوانٍ.
- السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة أثناء حركتها ناحية اليمين تساوي m/s.
- السرعة المتجهة المتوسطة للسمكة خلال الـ 12 ثانية التي تحرَّكتها تساوي 0.625 m/s.
نلخِّص الآن ما تعلَّمناه في هذه الأمثلة.
النقاط الرئيسية
- ترتبط السرعة المتجهة، ، لجسم بالإزاحة، ، لهذا الجسم خلال فترة زمنية، ، بالمعادلة:
- السرعة المتجهة كمية متجهة؛ لذا، فإن لها اتجاهًا ومقدارًا.
- بالنسبة إلى جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، يساوي مقدار السرعة المتجهة للجسم السرعة القياسية للجسم.
- الجسم الذي يغيِّر السرعة المتجهة ليس له سرعة متجهة ثابتة، لكن له سرعة متجهة متوسطة.
- بالنسبة إلى الجسم الذي يتحرَّك في خط مستقيم، لا بد من تحديد اتجاه واحد على طول هذا الخط المستقيم بأنه اتجاه السرعة المتجهة الموجبة، والاتجاه المضاد بأنه اتجاه السرعة المتجهة السالبة.
- الجسم الذي يغيِّر اتجاهه يغيِّر سرعته المتجهة، حتى إن كان يتحرَّك بسرعة ثابتة.
