شارح الدرس: السرعة المدارية الفيزياء • الصف الأول الثانوي

مثال ١: حساب السرعة المدارية

ما السرعة المدارية التي يجب أن تكون لقمر صناعي ليدور حول الأرض في مدار دائري نصف قطره 10‎ ‎000 km؟ استخدم القيمة kg لكتلة الأرض، والقيمة m³/kg⋅s² لثابت الجذب العام. قرب إجابتك لأقرب متر لكل ثانية.

الحل

لدينا هنا قيم ، ، . لاحظ أن لدينا بوحدة الـكيلومتر، إذن علينا التحويل إلى وحدة الـمتر قبل أن نستخدمها في المعادلة:

نحن الآن جاهزون للتعويض بجميع القيم في معادلة السرعة المدارية:

بالتقريب لأقرب متر لكل ثانية نكون قد أوجدنا أن سرعة هذا القمر الصناعي يجب أن تكون 6‎ ‎310 m/s.

مثال ٢: حساب نصف قطر المدار

يدور كوكب في مدار دائري حول نجم. يدور الكوكب بسرعة مدارية 17.9 km/s وتبلغ كتلة النجم kg. ما نصف قطر مدار الكوكب؟ استخدم القيمة m³/kg⋅s² لثابت الجذب العام، والقيمة m لطول 1 AU. قرب إجابتك لأقرب وحدة فلكية.

الحل

لدينا هنا قيم ، ، وعلينا إيجاد قيمة . للقيام بذلك، يمكننا إعادة ترتيب معادلة السرعة المدارية، بحيث تُصبح المعادلة: على هذه الصورة:

قبل أن نتمكن من إجراء العملية الحسابية، علينا تحويل قيمة إلى وحدة متر لكل ثانية:

والآن، بالتعويض بالقيم المعطاة، يصبح لدينا:

لكن، هذه ليست الإجابة النهائية، لأن معبَّر عنه حاليًّا بوحدة المتر وعلينا تحويله إلى الوحدة الفلكية:

بالتقريب لأقرب وحدة فلكية نكون قد أوجدنا أن نصف قطر مدار الكوكب يساوي 3 AU.

مثال ٣: الاعتماد المتغير في معادلة السرعة المدارية

أيُّ خط على التمثيل البياني يوضِّح العلاقة بين السرعة المدارية ونصف قطر المدار للأجسام التي تتحرَّك في مدارات دائرية بسبب الجاذبية؟

الحل

يمكننا البدء بتذكر معادلة السرعة المدارية، التي تربط السرعة المدارية بنصف قطر المدار :

ومن هذا المنطلق، سنضع علاقة تناسُب لتساعدنا في وصف العلاقة بين السرعة المدارية ونصف القطر. بما أن ، ثابتان في هذا السياق، فلن يظهرا في علاقة التناسب. إذن، يصبح لدينا:

ومن ثم، يمكننا القول إن ، يتناسبان عكسيًّا، لأن الزيادة في إحدى الكميتين تشير إلى انخفاض في الكمية الأخرى. وبسبب هذه العلاقة العكسية، نعرف أن قيمة يجب أن تقل عند زيادة ، إذن الخط الأخضر غير صحيح.

أيضًا، نظرًا لظهور المتغير المستقل، ، في المقام، فنحن نعلم أن العلاقة بين ، لا يمكن أن تكون خطية. ومن ثم، فالخط الأحمر غير صحيح أيضًا.

الخطان الأزرق والبرتقالي لهما شكلان متشابهان لكنهما يختلفان تمامًا عند المحور . حيث يتقاطع المنحنى البرتقالي مع المحور، أما المنحنى الأزرق فله خط تقارب رأسي. ولتحديد الشكل الذي يجب أن يكون عليه التمثيل البياني هنا، دعونا نفكر فيما يحدث لمعادلة السرعة المدارية عندما تقترب من .

كما ذكرنا من قبل، يظهر في المقام، ونحن نعلم أنه لا يمكننا القسمة على صفر. وبالتالي، بينما يقترب من الصفر تتجه قيمة الدالة إلى ما لا نهاية، وتكون غير مُحددة عند المحور .

وعليه، فإن الخط الأزرق يوضح العلاقة بين السرعة المدارية ونصف قطر المدار للأجسام في المدارات الدائرية.

مثال ٤: الاعتماد المتغير في معادلة السرعة المدارية

يدور قمر صناعي في مدار دائري حول الأرض نصف قطره ، وبسرعة مدارية . إذا اقترب القمر الصناعي من الأرض؛ بحيث يتبع مدارًا دائريًّا نصف قطره ، فماذا ستكون سرعته، بدلالة ، ليظلَّ محافظًا على مداره؟

الحل

في هذا المثال، سنتناول العلاقة بين السرعة المدارية ونصف القطر من خلال إيجاد علاقة تناسُب. أولًا، علينا تحديد معادلة تتضمن هاتين الكميتين، لذا سنستخدم معادلة السرعة المدارية:

بعد ذلك، نحدد القيم الثابتة في المعادلة لنتمكن من حذفها لتكوين علاقة التناسب، نظرًا لأن علاقة التناسب توضح كيفية تغيُّر المتغيرات بنسبة بعضها إلى بعض. ونحن نعرف أن تمثل ثابتًا، وبالتالي لن تظهر في علاقة التناسب. وعلى الرغم من ظهور باعتبارها متغيرًا في معادلة السرعة المدارية، فإن في هذه المسألة تمثل كتلة الأرض، وهي ثابتة بالأساس.

يمكننا الآن كتابة علاقة التناسب لتوضيح كيفية اعتماد ، أحدهما على الآخر باستخدام رمز التناسب، . لم يعد بإمكاننا استخدام علامة يساوي للربط بين و؛ وذلك لأن التساوي الحقيقي بين قيمتيهما يعتمد على بعض الكميات الثابتة غير ذات الصلة بعلاقة التناسب خاصتنا. سيكون العدد 1 عنصرًا ثابتًا في البسط نيابة عن القيم الثابتة التي كانت في المعادلة الأصلية:

ومن ثم، يمكن القول إن تتناسب عكسيًّا مع الجذر التربيعي لـ . تُوصف هذه العلاقة باعتبارها تناسبًا عكسيًّا؛ لأن الزيادة في إحدى الكميتين تسبب انخفاضًا في الكمية الأخرى — تذكر أن زيادة المقام يقابلها انخفاض القيمة الكلية، ونقص المقام تقابله زيادة في القيمة الكلية. إذا تَحرَّك القمر الصناعي مقتربًا من الأرض، نعلم أن نصف قطر المدار سيقل، لذا يمكننا توقُّع زيادة السرعة المدارية.

يمكننا إيجاد معامل تغيُّر بالتعويض بمعامل تغيُّر — وهنا يسلك التناسب سلوكًا مشابهًا للمعادلة. نريد تغيير نصف قطر مدار القمر الصناعي من إلى ، لذا تضرب في المعامل ، الذي نعوض به في علاقة التناسب:

وبالتبسيط نحصل على:

إذن، ضرب في معامل يعني أنه لا بد من ضرب في معاملٍ قدره ثلاثة.

إذن، نقل القمر الصناعي إلى نصف قطر مداري جديد يساوي سيجعل القمر الصناعي يتحرك بسرعة مدارية جديدة تُساوي .

مثال ٥: حساب كتلة جسم في المدار

أيو أحد أقمار جاليليو الأربعة لكوكب المشتري. يدور أيو دورة واحدة كاملة حول المشتري كل 1.77 يوم. بافتراض أنَّ مدار أيو دائري، ونصف قطره يساوي 422‎ ‎000 km احسب كتلة المشتري. استخدم القيمة m³/kg⋅s² لثابت الجذب العام. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نريد إيجاد الكتلة، التي تظهر في معادلة السرعة المدارية:

هيا نحل الآن معادلة السرعة المدارية لحساب . نبدأ بتربيع الطرفين لإلغاء الجذر الموجود في الطرف الأيمن:

والآن، سنضرب كلا طرفَي المعادلة في :

لدينا الآن معادلة يمكننا استخدامها لإيجاد كتلة كوكب المشتري، لكن لاحظ أنه ليس لدينا بعدُ قيمةُ كلِّ متغير من المتغيرات — نعرف الآن قيمتَي ، ، ولكننا لا نعرف السرعة المدارية لأيو، لذا نحتاج إلى طريقة لحساب . لدينا في المعطيات الفترة المدارية لأيو، ، ونعرف المعادلة التي تربط بين الفترة المدارية والسرعة المدارية:

يمكننا إعادة كتابة المعادلة لإيجاد قيمة :

نحن نعرف قيمة ، ولكن لاحظ أن لدينا قيمة بوحدة اليوم، وهي ليست وحدة من وحدات النظام الدولي، لذا علينا تحويلها إلى الثانية وهي وحدة الزمن في النظام الدولي للوحدات. يتم التحويل كما يلي:

بتطبيق هذا على قيمة :

سنعوض بقيمة هذه في معادلة الفترة المدارية لإيجاد قيمة . لكن أولًا؛ لأن لدينا قيمة بوحدة الكيلومتر فعلينا تحويل إلى المتر. تذكر أن ، إذن ، ولكن من الأفضل التعبير عن هذه القيمة بالصيغة العلمية على صورة . هيا نعوض بهذه القيم في معادلة الفترة المدارية لإيجاد قيمة :

والآن بعد أن حصلنا على قيم ، ، ، يمكننا التعويض بها في معادلة السرعة المدارية المعاد ترتيبها لحساب ، كتلة كوكب المشتري:

وبذلك نكون قد أوجدنا أن كتلة كوكب المشتري kg.