تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

شارح الدرس: السرعة المدارية الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب السرعة المدارية لجسم يتحرَّك في مدار دائري بمعلومية نصْف قطر المدار وكتلة الجسم.

في البداية، دعونا نتذكر بعض الخواص الأساسية للحركة في مدار دائري.

تذكر أنه في المدارات الدائرية، يكون لأي جسم يتحرك في المدار سرعة ثابتة المقدار، لكن اتجاهها يتغير باستمرار. يوضح الشكل التالي قمر يوروبا الذي يدور حول كوكب المشتري. يكون اتجاه سرعة القمر دائمًا مُماسًّا لمداره، وهو مُشار إليه بالسهم الأزرق. وتؤثر جاذبية كوكب المشتري باعتبارها قوةً جاذبةً مركزيةً، ونعلم أنها يجب أن تتجه قطريًّا إلى الداخل، ومُشار إليها بالسهم الأحمر.

تساعد هذه العلاقة في تفسير سبب كون السرعة المدارية للقمر ثابتة: لأن قوة الجاذبية ليس لها مركبة في نفس اتجاه سرعة القمر. ومن ثم، لا يتغير مقدار السرعة بفعل الجاذبية، لكن الاتجاه يتغير باستمرار لأن قوة الجاذبية تعيد توجيهها باستمرار في مسار دائري. في أيِّ نقطة على المدار، يكون بين اتجاهَي هاتين الكميتين دائمًا زاويةٌ قائمةٌ، قياسها 90.

وكما هو موضح في الأعلى، تشير قوة جاذبية الجسم دائمًا إلى الداخل نحو مركز كتلته. تذكر أن عجلة الجاذبية، 𝑎، عند نقطةٍ ما بالقرب من جسم، مثل كوكب، تعطى بالمعادلة: 𝑎=𝐺𝑀𝑟, حيث 𝐺 ثابت الجذب العام، و𝑀 كتلة الكوكب، و𝑟 المسافة بين النقطة والكوكب.

في هذه الحالة، تعمل عجلة الجاذبية، التي تشير دائمًا إلى الداخل، وتُبقي القمر يتحرك في مدار دائري، بمثابة عجلة مركزية. إذن، تُعطى العجلة المركزية لجسم يتحرك في مدار دائري، مثل القمر، بالمعادلة: 𝑎=𝑣𝑟, حيث 𝑣 السرعة الخطية للقمر، 𝑟 نصف قطر المدار.

وبما أن الجاذبية هي التي تُسبب العجلة المركزية، فيمكننا مساواة القيمتين 𝑎 و𝑎: 𝑣𝑟=𝐺𝑀𝑟.

في طرفَي المعادلة، يظهر 𝑟 في المقام، لذا يمكننا تبسيط المعادلة بضرب الطرفين في 𝑟: 𝑟𝑣𝑟=𝑟𝐺𝑀𝑟𝑣=𝐺𝑀𝑟.

يمكننا أخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين لجعل 𝑣 في طرف بمفردها في المعادلة: 𝑣=𝐺𝑀𝑟.

الآن، لدينا معادلة للسرعة المدارية لجسم يتحرك في مدار دائري، بمعلومية نصف قطر مداره وكتلة الجسم.

لاحظ أن المعادلة لا تعتمد على 𝑚، أي كتلة الجسم الذي يدور في المدار. وهذا يعني أن جميع الأجسام التي تتحرك في مدارات دائرية، لها نصف قطر المدار نفسه، حول كواكب لها الكتلة نفسها، ستكون لها السرعة المدارية نفسها، بغض النظر عن كتلتها. تذكر أن هذه العلاقة لا تنطبق إلا في حالة المدارات الدائرية، حيث تكون السرعة المدارية ثابتة؛ فهذه المعادلة لا تنطبق على المدارات غير الدائرية.

قبل أن نتدرب على بعض العمليات الحسابية، تجدر الإشارة إلى أن ثابت الجذب العام وجوده شائعٌ في علم الفلك وغيره من مجالات الفيزياء، وله قيمة ثابتة تساوي 𝐺=6.67×10/mkgs.

تعريف: معادلة السرعة المدارية في مدار دائري

في الحالة الخاصة، أي في المدار الدائري، تعطى السرعة المدارية لجسم، 𝑣، بالمعادلة: 𝑣=𝐺𝑀𝑟, حيث 𝐺 ثابت الجذب العام، 𝑀 كتلة الجسم الكبير الموجود في مركز المدار، 𝑟 نصف قطر المدار.

والآن، بعد أن أصبحت لدينا معادلة للسرعة المدارية، دعونا نستخدمها في بعض الأمثلة.

مثال ١: حساب السرعة المدارية

ما السرعة المدارية التي يجب أن تكون لقمر صناعي ليدور حول الأرض في مدار دائري نصف قطره 10‎ ‎000 km؟ استخدم القيمة 5.97×10 kg لكتلة الأرض، والقيمة 6.67×10 m3/kg⋅s2 لثابت الجذب العام. قرب إجابتك لأقرب متر لكل ثانية.

الحل

لدينا هنا قيم 𝑀، 𝑟، 𝐺. لاحظ أن لدينا 𝑟 بوحدة الـكيلومتر، إذن علينا التحويل إلى وحدة الـمتر قبل أن نستخدمها في المعادلة: 𝑟=10000=1.0×10.kmm

نحن الآن جاهزون للتعويض بجميع القيم في معادلة السرعة المدارية: 𝑣=𝐺𝑀𝑟=(6.67×10/)(5.97×10)1.0×10=6310.3/.mkgskgmms

بالتقريب لأقرب متر لكل ثانية نكون قد أوجدنا أن سرعة هذا القمر الصناعي يجب أن تكون 6‎ ‎310 m/s.

لاحظ أننا لا نحتاج إلى معرفة كتلة القمر الصناعي لإيجاد الناتج. وهذا لأن معادلة السرعة المدارية لا تعتمد على كتلة الجسم الذي يتحرك في المدار، 𝑚.

وفي بعض الأحيان، سيكون لدينا معطيات أخرى عن النظام المداري بخلاف 𝑀، 𝑟. وحسب المعطيات التي لدينا، يمكننا إعادة ترتيب معادلة السرعة المدارية لإيجاد أي كمية أخرى، بخلاف 𝑣. على سبيل المثال، سنحسب نصف قطر المدار لنظام مداري في المثال التالي.

مثال ٢: حساب نصف قطر المدار

يدور كوكب في مدار دائري حول نجم. يدور الكوكب بسرعة مدارية 17.9 km/s وتبلغ كتلة النجم 2.18×10 kg. ما نصف قطر مدار الكوكب؟ استخدم القيمة 6.67×10 m3/kg⋅s2 لثابت الجذب العام، والقيمة 1.5×10 m لطول 1 AU. قرب إجابتك لأقرب وحدة فلكية.

الحل

لدينا هنا قيم 𝑣، 𝑀، 𝐺 وعلينا إيجاد قيمة 𝑟. للقيام بذلك، يمكننا إعادة ترتيب معادلة السرعة المدارية، بحيث تُصبح المعادلة: 𝑣=𝐺𝑀𝑟 على هذه الصورة: 𝑟=𝐺𝑀𝑣.

قبل أن نتمكن من إجراء العملية الحسابية، علينا تحويل قيمة 𝑣 إلى وحدة متر لكل ثانية: 𝑣=17.9/=17900/.kmsms

والآن، بالتعويض بالقيم المعطاة، يصبح لدينا: 𝑟=6.67×10/2.18×10(17900/)=4.54×10.mkgskgmsm

لكن، هذه ليست الإجابة النهائية، لأن 𝑟 معبَّر عنه حاليًّا بوحدة المتر وعلينا تحويله إلى الوحدة الفلكية: 𝑟=4.54×10×11.5×10=3.03.mAUmAU

بالتقريب لأقرب وحدة فلكية نكون قد أوجدنا أن نصف قطر مدار الكوكب يساوي 3 AU.

هيا نحوِّل تركيزنا من هذه الأمثلة الحسابية إلى مثالين يتناولان المفاهيم.

مثال ٣: الاعتماد المتغير في معادلة السرعة المدارية

أيُّ خط على التمثيل البياني يوضِّح العلاقة بين السرعة المدارية ونصف قطر المدار للأجسام التي تتحرَّك في مدارات دائرية بسبب الجاذبية؟

الحل

يمكننا البدء بتذكر معادلة السرعة المدارية، التي تربط السرعة المدارية 𝑣 بنصف قطر المدار 𝑟: 𝑣=𝐺𝑀𝑟.

ومن هذا المنطلق، سنضع علاقة تناسُب لتساعدنا في وصف العلاقة بين السرعة المدارية ونصف القطر. بما أن 𝐺، 𝑀 ثابتان في هذا السياق، فلن يظهرا في علاقة التناسب. إذن، يصبح لدينا: 𝑣1𝑟.

ومن ثم، يمكننا القول إن 𝑣، 𝑟 يتناسبان عكسيًّا، لأن الزيادة في إحدى الكميتين تشير إلى انخفاض في الكمية الأخرى. وبسبب هذه العلاقة العكسية، نعرف أن قيمة 𝑣 يجب أن تقل عند زيادة 𝑟، إذن الخط الأخضر غير صحيح.

أيضًا، نظرًا لظهور المتغير المستقل، 𝑟، في المقام، فنحن نعلم أن العلاقة بين 𝑣، 𝑟 لا يمكن أن تكون خطية. ومن ثم، فالخط الأحمر غير صحيح أيضًا.

الخطان الأزرق والبرتقالي لهما شكلان متشابهان لكنهما يختلفان تمامًا عند المحور 𝑦. حيث يتقاطع المنحنى البرتقالي مع المحور، أما المنحنى الأزرق فله خط تقارب رأسي. ولتحديد الشكل الذي يجب أن يكون عليه التمثيل البياني هنا، دعونا نفكر فيما يحدث لمعادلة السرعة المدارية عندما تقترب من 𝑟=0.

كما ذكرنا من قبل، يظهر 𝑟 في المقام، ونحن نعلم أنه لا يمكننا القسمة على صفر. وبالتالي، بينما يقترب 𝑟 من الصفر تتجه قيمة الدالة إلى ما لا نهاية، وتكون غير مُحددة عند المحور 𝑦.

وعليه، فإن الخط الأزرق يوضح العلاقة بين السرعة المدارية ونصف قطر المدار للأجسام في المدارات الدائرية.

مثال ٤: الاعتماد المتغير في معادلة السرعة المدارية

يدور قمر صناعي في مدار دائري حول الأرض نصف قطره 𝑅، وبسرعة مدارية 𝑣. إذا اقترب القمر الصناعي من الأرض؛ بحيث يتبع مدارًا دائريًّا نصف قطره 𝑅9، فماذا ستكون سرعته، بدلالة 𝑣، ليظلَّ محافظًا على مداره؟

الحل

في هذا المثال، سنتناول العلاقة بين السرعة المدارية ونصف القطر من خلال إيجاد علاقة تناسُب. أولًا، علينا تحديد معادلة تتضمن هاتين الكميتين، لذا سنستخدم معادلة السرعة المدارية: 𝑣=𝐺𝑀𝑟.

بعد ذلك، نحدد القيم الثابتة في المعادلة لنتمكن من حذفها لتكوين علاقة التناسب، نظرًا لأن علاقة التناسب توضح كيفية تغيُّر المتغيرات بنسبة بعضها إلى بعض. ونحن نعرف أن 𝐺 تمثل ثابتًا، وبالتالي لن تظهر في علاقة التناسب. وعلى الرغم من ظهور 𝑀 باعتبارها متغيرًا في معادلة السرعة المدارية، فإن 𝑀 في هذه المسألة تمثل كتلة الأرض، وهي ثابتة بالأساس.

يمكننا الآن كتابة علاقة التناسب لتوضيح كيفية اعتماد 𝑣، 𝑟 أحدهما على الآخر باستخدام رمز التناسب، . لم يعد بإمكاننا استخدام علامة يساوي للربط بين 𝑣 و𝑟؛ وذلك لأن التساوي الحقيقي بين قيمتيهما يعتمد على بعض الكميات الثابتة غير ذات الصلة بعلاقة التناسب خاصتنا. سيكون العدد 1 عنصرًا ثابتًا في البسط نيابة عن القيم الثابتة التي كانت في المعادلة الأصلية: 𝑣1𝑟.

ومن ثم، يمكن القول إن 𝑣 تتناسب عكسيًّا مع الجذر التربيعي لـ 𝑟. تُوصف هذه العلاقة باعتبارها تناسبًا عكسيًّا؛ لأن الزيادة في إحدى الكميتين تسبب انخفاضًا في الكمية الأخرى — تذكر أن زيادة المقام يقابلها انخفاض القيمة الكلية، ونقص المقام تقابله زيادة في القيمة الكلية. إذا تَحرَّك القمر الصناعي مقتربًا من الأرض، نعلم أن نصف قطر المدار سيقل، لذا يمكننا توقُّع زيادة السرعة المدارية.

يمكننا إيجاد معامل تغيُّر 𝑣 بالتعويض بمعامل تغيُّر𝑟 — وهنا يسلك التناسب سلوكًا مشابهًا للمعادلة. نريد تغيير نصف قطر مدار القمر الصناعي من 𝑅 إلى 𝑅9، لذا تضرب 𝑅 في المعامل 19، الذي نعوض به في علاقة التناسب: 𝑣1.

وبالتبسيط نحصل على: 1=1=3.

إذن، ضرب 𝑅 في معامل 19 يعني أنه لا بد من ضرب 𝑣 في معاملٍ قدره ثلاثة.

إذن، نقل القمر الصناعي إلى نصف قطر مداري جديد يساوي 𝑅9 سيجعل القمر الصناعي يتحرك بسرعة مدارية جديدة تُساوي 3𝑣.

في المثال السابق، استخدمنا معادلة السرعة المدارية دون وجود أي قيم حقيقية للتعويض بها، لكننا تَمَكَّنَّا من إيجاد نتيجة مفيدة من خلال النظر في العلاقة بين المتغيرات ذات الصلة.

وكما هو موضح في المثال التالي، لا يقتصر الأمر على استخدام معادلة السرعة المدارية في العمليات الحسابية فقط. إذ قد يكون لدينا معلومات أخرى عن النظام المداري، مثل الفترة المدارية، 𝑇. تذكر أن معادلة الفترة المدارية هي: 𝑇=2𝜋𝑟𝑣.

وقد نحتاج إلى استخدام هذه القيمة بالإضافة إلى معادلة السرعة المدارية لمعرفة المزيد عن النظام المداري.

مثال ٥: حساب كتلة جسم في المدار

أيو أحد أقمار جاليليو الأربعة لكوكب المشتري. يدور أيو دورة واحدة كاملة حول المشتري كل 1.77 يوم. بافتراض أنَّ مدار أيو دائري، ونصف قطره يساوي 422‎ ‎000 km احسب كتلة المشتري. استخدم القيمة 6.67×10 m3/kg⋅s2 لثابت الجذب العام. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نريد إيجاد الكتلة، التي تظهر في معادلة السرعة المدارية: 𝑣=𝐺𝑀𝑟.

هيا نحل الآن معادلة السرعة المدارية لحساب 𝑀. نبدأ بتربيع الطرفين لإلغاء الجذر الموجود في الطرف الأيمن: 𝑣=𝐺𝑀𝑟.

والآن، سنضرب كلا طرفَي المعادلة في 𝑟𝐺: 𝑟𝐺𝑣=𝑟𝐺𝐺𝑀𝑟𝑀=𝑟𝑣𝐺.

لدينا الآن معادلة يمكننا استخدامها لإيجاد كتلة كوكب المشتري، لكن لاحظ أنه ليس لدينا بعدُ قيمةُ كلِّ متغير من المتغيرات — نعرف الآن قيمتَي 𝑟، 𝐺، ولكننا لا نعرف السرعة المدارية لأيو، لذا نحتاج إلى طريقة لحساب 𝑣. لدينا في المعطيات الفترة المدارية لأيو، 𝑇=1.77م، ونعرف المعادلة التي تربط بين الفترة المدارية والسرعة المدارية: 𝑇=2𝜋𝑟𝑣.

يمكننا إعادة كتابة المعادلة لإيجاد قيمة 𝑣: 𝑣=2𝜋𝑟𝑇.

نحن نعرف قيمة 𝑟، 𝑇 ولكن لاحظ أن لدينا قيمة 𝑇 بوحدة اليوم، وهي ليست وحدة من وحدات النظام الدولي، لذا علينا تحويلها إلى الثانية وهي وحدة الزمن في النظام الدولي للوحدات. يتم التحويل كما يلي: 24×60×60=86400.موادواةدواةم

بتطبيق هذا على قيمة 𝑇: 𝑇=1.77×86400=152928.مم

سنعوض بقيمة 𝑇 هذه في معادلة الفترة المدارية لإيجاد قيمة 𝑣. لكن أولًا؛ لأن لدينا قيمة 𝑟 بوحدة الكيلومتر فعلينا تحويل 𝑟 إلى المتر. تذكر أن 1=1000kmm، إذن 𝑟=422000000m، ولكن من الأفضل التعبير عن هذه القيمة بالصيغة العلمية على صورة 𝑟=4.22×10m. هيا نعوض بهذه القيم في معادلة الفترة المدارية لإيجاد قيمة 𝑣: 𝑣=2𝜋𝑟𝑇=2𝜋4.22×10152928=17338/.msms

والآن بعد أن حصلنا على قيم 𝑣، 𝑟، 𝐺، يمكننا التعويض بها في معادلة السرعة المدارية المعاد ترتيبها لحساب 𝑀، كتلة كوكب المشتري: 𝑀=𝑟𝑣𝐺=4.22×10(17338/)6.67×10/=1.90×10.mmsmkgskg

وبذلك نكون قد أوجدنا أن كتلة كوكب المشتري 1.90×10 kg.

دعونا نختتم حديثنا بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.

النقاط الرئيسية

  • لأي جسم يتحرك في مدار دائري حول جسم كبير كتلته 𝑀 عند مسافة قطرية 𝑟؛ يجب أن تكون له سرعة مدارية 𝑣، تُحسب بالقانون 𝑣=𝐺𝑀𝑟.
  • لا تعتمد السرعة المدارية على كتلة الجسم الذي يتحرك في المدار.
  • يمكننا استخدام القانون 𝑣=𝐺𝑀𝑟 لإيجاد قيمة 𝑀 أو𝑟𝑀=𝑟𝑣𝐺، و𝑟=𝐺𝑀𝑣.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.