شارح الدرس: عدُّ النواتج في وجود شروط الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوجد عدد النواتج الممكنة في وجود شروط.

إن مبدأ العد الأساسي مفيد للغاية في حساب عدد النواتج عندما تكون لدينا أحداث مستقلة.

تعريف: مبدأ العد الأساسي

إذا كان لدينا الحدثان المستقلان 󰏡، 𞸁 بحيث يكون عدد النواتج الممكنة للحدث 󰏡 هو 𞸎 وعدد النواتج الممكنة للحدث 𞸁 هو 𞸑، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة المختلفة لهذين الحدثين معًا يساوي حاصل ضرب 𞸎×𞸑.

في هذا الشارح، نريد أن نتناول الحالات التي يؤثر فيها ناتج حدث ما على نواتج أحداث أخرى، حيث تكون لدينا أحداث مشروطة. في هذه الحالات، يظل بإمكاننا تطبيق مبدأ العد الأساسي. مع ذلك، قد نحتاج إلى تحليل المسألة جيدًا لتحديد عدد النواتج الممكنة لكل حدث.

تخيل أن علينا اختيار رمز سري يتألف من ثلاثة أرقام، إذا لم يكن هناك أي شروط على نوع العدد الذي يمكننا اختياره، فإن مبدأ العد الأساسي يوضح أن إجمالي عدد الاختيارات الممكنة هو ٠١=٠٠٠١٣. ولكن، ما إجمالي عدد النواتج الممكنة إذا كان لدينا شرط بعدم استخدام أي أرقام مكرَّرة (أي ما يكافئ تطبيق شرط أن يكون كل رقم مميزًا)؟ في هذه الحالة، يقلل اختيار الرقم الأول من عدد الاختيارات الممكنة للرقم الثاني، ويقلل اختيار الرقم الثاني من عدد الاختيارات الممكنة للرقم الثالث. وتحديدًا، نجد أن لدينا ١٠ اختيارات للرقم الأول، ٩ اختيارات للرقم الثاني، ٨ اختيارات للرقم الثالث. في هذه المرحلة، يمكننا تطبيق مبدأ العد الأساسي وسنجد أن إجمالي عدد النواتج الممكنة هو ٠١×٩×٨=٠٢٧. هاتان الحالتان شائعتان للغاية لدرجة أننا نميزهما بالمصطلح التالي.

تعريف: العد مع الإحلال وبدون إحلال

عند اختيار 𞸍 من العناصر المأخوذة من مجموعة بها 𞸌 من العناصر، فثمة طريقتان مختلفتان ممكنتان:

  1. مع الإحلال: حيث يظل عدد العناصر التي نختار منها ثابتًا. لذا، كل مرة نختار فيها عنصرًا جديدًا، يوجد 𞸌 من الاختيارات. يبدو الأمر كما لو أنه، كل مرة نختار فيها عنصرًا، نستبدله بنسخة مطابقة له. في هذه الحالة، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة يساوي 𞸌𞸍.
  2. بدون إحلال: حيث يقل عدد العناصر التي نختار من بينها في كل مرة نختار عنصرًا. ومن ثَمَّ، يكون لدينا 𞸌 من الاختيارات للاختيار الأول، 𞸌١ من الاختيارات للاختيار الثاني. يبدو الأمر كما لو أننا نختار كرات صغيرة من حقيبة دون إعادتها. في هذه الحالة، فإن عدد العناصر التي نختارها وهو 𞸍 يجب أن يكون أقل من أو يساوي العدد الكلي للعناصر، ويكون إجمالي عدد النواتج الممكنة يساوي 𞸌×(𞸌١)×(𞸌٢)××(𞸌(𞸍١)).

مثال ١: العدُّ بدون إحلال

أوجد عدد الطرق الممكنة لتكوين عدد مكوَّن من رقمين، بدون أرقام مكرَّرة، إذا كان لدينا ٤ أرقام مختلفة ليس الصفر من بينها للاختيار منها.

الحل

إننا نختار رقمين من مجموعة مكونة من أربعة أرقام مختلفة. وبما أنه غير مسموح لنا اختيار أي أرقام مكرَّرة، فإننا نعدُّ بدون إحلال. إذن، فإنَّ إجمالي عدد النواتج الممكنة هو ٤×٣=٢١.

هناك طريقة بديلة للتفكير في هذا، وهي أنه بالنسبة للرقم الأول، يكون لدينا أربعة اختيارات ممكنة. بعد ذلك، بمجرد اختيار هذا الرقم، نختار الثاني. وبالنسبة للثاني، لا يمكننا اختيار الرقم نفسه مرة أخرى ليصبح لدينا ثلاثة اختيارات ممكنة فقط. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، يكون العدد الكلي لدينا ٤×٣=٢١ طريقة مختلفة لتكوين العدد المكون من رقمين.

سنستعرض الآن طريقة مختلفة تكون الاختيارات فيها مشروطة من خلال مثال بسيط.

مثال ٢: عَدُّ النواتج في وجود شروط

تتكون أرقام الهاتف لشبكة معينة من اثني عشر رقمًا؛ حيث تكون أول ثلاثة أرقام ٠٧٢. احسب إجمالي عدد أرقام الهواتف المختلفة التي يمكن أن تستخدمها الشبكة.

الحل

علمنا أن رقم الهاتف بالكامل يتكون من ١٢ رقمًا. لكن، لدينا شرط على أول ثلاثة أرقام. وتحديدًا، يجب أن تكون أول ثلاثة أرقام ٠٧٢. إذن، بالنسبة إلى هذه الأرقام الثلاثة، لا نملك أي اختيارات. ومن ثَمَّ، علينا التفكير فقط في القيم الممكنة للأرقام التسعة المتبقية. لكل رقم من هذه الأرقام، يوجد ١٠ خيارات. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي عدد أرقام الهواتف الممكنة سيكون ٠١=٠٠٠٠٠٠٠٠٠١٩.

يوضح المثال السابق الطريقة العامة لحل مسائل العد في وجود شروط.

الطريقة: حل مسائل العد في وجود شروط

عندما يكون لدينا مسائل العد في وجود شروط، يكون من الأفضل عادة أن نبدأ بالنواتج المحددة بشروط أكثر. الطريقة العامة التي نتبعها تتمثل فيما يلي:

  1. نحسب عدد النواتج الممكنة للعناصر المشروطة.
  2. نحسب عدد النواتج الممكنة للعناصر المتبقية غير المشروطة.
  3. نوجد حاصل ضربهما، والذي سيكون وفقًا لمبدأ العد الأساسي هو إجمالي عدد النواتج الممكنة.

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نطبق فيها هذه الطريقة.

مثال ٣: العد بدون إحلال في وجود نواتج مشروطة

كم عددًا يُمكننا تكوينه من ثلاثة أرقام ويكون أقل من ٩٠٠، دون تكرار أيِّ رقم وباستخدام عناصر المجموعة {٧،١،٩}؟

الحل

نبدأ بالتفكير في كيفية تأثير هذا الشرط على عدد النواتج الممكنة. علمنا أن العدد يجب أن يكون أقل من ٩٠٠. هذا يعني أن الرقم الأول لا يمكن أن يكون تسعة. ومن ثَمَّ، يكون لدينا اختياران ممكنان للرقم الأول: ٧ أو ١.

بمجرد أن نختار هذا الرقم، وبما أننا نختار بدون إحلال، يتبقى لدينا اختياران للرقم الثاني، ثم يتبقى لدينا اختيار واحد فقط للرقم الأخير.

إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي الأعداد التي يمكننا تكوينها هو ٢×٢×١=٤.

مثال ٤: العد في وجود شروط

بكم طريقة يمكن تكوين عدد من ثلاثة أرقام يبدأ برقم زوجي ولا يحتوي على أيِّ أرقام مكرَّرة من الأرقام ١،٢،٣،٤،٥،٦،٧،٨؟

الحل

نبدأ بالتفكير في عدد الخيارات الممكنة للرقم المشروط. علمنا أن الرقم الأول يجب أن يكون رقمًا زوجيًّا. ومجموعة الأعداد التي لدينا تحتوي على أربعة أرقام زوجية هي: ٢، ٤، ٦، ٨.

بما أننا نعد بدون إحلال، فبعد اختيار الرقم الأول، يصبح لدينا ٧ خيارات للرقم الثاني و٦ خيارات للرقم الثالث.

إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي الأعداد التي يمكننا تكوينها هو ٤×٧×٦=٨٦١.

دعونا نتناول الآن مثالًا واقعيًا على مسألة عدِّ في وجود عدة شروط.

مثال ٥: العد في وجود عدة شروط

يجب أن يجلس خمسة أطفال على المقعد الخلفي. حيث يوجد خمسة مقاعد متجاورة. مع ذلك، لا يريد كريم وفادي أن يجلس كل منهما بجوار الآخر. بكم طريقة يمكن أن يجلس الأطفال على المقاعد الخمسة دون أن يجلس كريم وفادي متجاورين؟

الحل

نبدأ بالتفكير في الشرط. بما أن كريم وفادي لا يريدان الجلوس متجاورَيْن، فعلينا أن نفكر في جميع الترتيبات الممكنة لهما بحيث لا يجلس هذان الاثنان أحدهما بجوار الآخر. نبدأ باختيار مقعد فادي؛ إذا جلس في المقعد الأول، فإن كريم يمكنه الجلوس في أي من المقاعد الثلاثة الأخيرة. إذن، سيكون لدينا ثلاثة خيارات إذا جلس فادي في المقعد الأول.

إذا جلس فادي في المقعد الثاني. فإن كريم يمكنه الجلوس فقط في أحد المقعدين الأخيرين. ومن ثَمَّ، سيكون لدينا خياران فقط إذا جلس فادي في المقعد الثاني.

إذا جلس فادي في المقعد الأوسط، فإن كريم يمكنه الجلوس في أي من المقعدين الطرفيين، وسيصبح لدينا خياران في هذه الحالة.

إذا جلس فادي في المقعد الرابع، فإن كريم يمكنه الجلوس في أي من المقعدين الأولين. ومن ثَمَّ، سيكون هناك خياران إذا جلس فادي في المقعد الرابع. لاحظ أن هذه هي الحالة نفسها عندما جلس فادي في المقعد الثاني.

وأخيرًا، يمكن أن يجلس فادي في المقعد الأخير، ليتبقى أمام كريم اختيار أي من المقاعد الثلاثة الأولى. ومن ثَمَّ، توجد ثلاثة خيارات إذا جلس فادي في المقعد الأخير.

إذن، إجمالي عدد خيارات كريم وفادي هو مجموع هذه الخيارات: ٣+٢+٢+٢+٣=٢١.

وفي جميع الحالات، يتبقى ثلاثة مقاعد وثلاثة أطفال ليجلسوا فيها. بما أننا نعد بدون إحلال، فإن إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يشغل بها الأطفال الثلاثة المتبقون المقاعد الثلاثة الأخيرة هو ٣×٢×١=٦. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها الأطفال على المقاعد الخمسة بحيث لا يجلس كريم وفادي متجاورين هو ٦×٢١=٢٧.

هناك طريقة بديلة لحساب ذلك، وهي التفكير في إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها الأطفال على المقاعد، وعدد الطرق التي يمكن أن يجلسوا بها على المقاعد بحيث يكون كريم وفادي متجاورين، ثم نوجد الفرق. سنشرح هذه الطريقة أيضًا.

أولًا، نحسب إجمالي عدد طرق جلوس الأطفال على المقاعد. وبما أن أننا نعدُّ بدون إحلال، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة يُحدد عن طريق ٥×٤×٣×٢×١=٠٢١. نفكر الآن في الترتيبات التي يجلس بها كريم وفادي متجاورين. هناك أربعة خيارات يمكن أن يجلس بها الشخصان متجاورين.

لكل خيار من هذه الخيارات الأربعة، يوجد خياران أمام كريم وفادي: إما كريم على يسار فادي أو فادي على يسار كريم. إذن، إجمالي عدد الخيارات لجلوس كريم وفادي متجاورين هو ٤×٢=٨. ثم، يمكن أن يشغل الأطفال المتبقون المقاعد الثلاثة؛ وعدد الخيارات لهؤلاء الأطفال هو ٣×٢×١=٦. إذن، إجمالي عدد الخيارات لجلوس كريم وفادي متجاورين هو ٨×٦=٨٤. وأخيرًا، يمكننا حساب إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها الأطفال على المقاعد بحيث يكون كريم وفادي غير متجاورين من خلال طرح هذا العدد من إجمالي عدد النواتج الممكنة كما يلي: ٠٢١٨٤=٢٧.

وكما رأينا، عادة ما يكون هناك عدة طرق لحساب عدد الخيارات. إن الثقة في قدرتنا على استخدام طرق مختلفة ستساعدنا كثيرًا.

نختم بمثال آخر لنوضح كيف يمكننا تطبيق هذه الطريقة حتى على الحالات المعقدة إلى حدٍّ ما.

مثال ٦: العد في وجود عدة شروط

يخطط كل من لبنى وآدم لإقامة عرسهما. يدرسان خطة توزيع المقاعد على الطاولة الرئيسية في الاستقبال. الطاولة الرئيسية هي طاولة مستقيمة بها ٨ مقاعد في جانب واحد. يجب أن تكفي لجلوس العروس والعريس، ووالدي العروس، ووالدي العريس، ووصيف العريس، ووصيفة العروس. إذا كان من الواجب أن يجلس كل زوجين متجاورين، وإذا كان الوصيف والوصيفة غير متزوجين، فما عدد الاختيارات المختلفة لجلوس الجميع على الطاولة الرئيسية؟

الحل

نبدأ بالتفكير في الخيارات المحددة بشروط أكثر: يجب أن يجلس الأزواج الثلاثة متجاورِين. سنفكر أولًا في عدد الخيارات التي يمكننا بها ترتيب جلوس الأزواج الثلاثة. باعتبار كل زوجين وحدة واحدة، فإنه يمكننا التفكير في ترتيب ثلاثة عناصر في ثلاثة أماكن. هذا عدٌّ بدون إحلال؛ لذا، فإن عدد الخيارات هو ٣×٢×١=٦. لكن بالنسبة لكل زوجين، هناك طريقتان يمكن أن يجلس بهما الزوجان أحدهما بجوار الآخر. إذن، بالنسبة لكل خيار من هذه الخيارات الستة، توجد ٢=٨٣ طرق يمكن أن يختارها الأزواج للجلوس. ومن ثَمَّ، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة هو ٦×٨=٨٤. وأخيرًا، يمكننا التفكير في وصيف العريس ووصيفة العروس. إذا بدأنا بوصيف العريس، فإنه يمكنه الجلوس في أي من الطرفين أو بين أي زوجين وزوجين من الأزواج.

ومن ثم، يوجد أربعة اختيارات لمقعده. وأخيرًا، يمكن أن تجلس وصيفة العروس في أي الطرفين أو بين أي زوجين وزوجين أو بين أي زوجين ووصيف العريس.

ومن ثَمَّ، يوجد خمسة اختيارات لوصيفة العروس. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي عدد الترتيبات للطاولة الرئيسية هو ٥×٤×٨٤=٠٦٩.

هناك طريقة بديلة لحل هذه المسألة، وهي أن نبدأ بتجاهل ترتيب الأزواج ونوضح فقط أن هناك خمس مجموعات (ثلاثة أزواج وفردان)، وعلينا ترتيبها في خمسة أماكن. عدد النواتج الممكنة لذلك هو ٥×٤×٣×٢×١=٠٢١. يمكننا الآن التفكير في ترتيب الأزواج: فلكل زوجين من الأزواج، يوجد ترتيبان محتملان وهو ما يعطينا إجمالي ٢٣ ترتيبات للأزواج. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي عدد الترتيبات للطاولة الرئيسية هو ٠٢١×٢=٠٦٩٣.

سنلخص الآن بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • يمكننا توسيع نطاق استخدام مبدأ العد الأساسي ليشمل الحالات التي تتضمن شروطًا مختلفة للنواتج الممكنة.
  • عند العد مع الإحلال، فإن إجمالي عدد النواتج لـ 𞸍 من الأحداث المتكررة للاختيار من بين 𞸌 من العناصر يُحدد عن طريق 𞸌𞸍.
  • عند العد بدون إحلال، فإن إجمالي عدد النواتج عند اختيار 𞸍 من العناصر من مجموعة مكونة من 𞸌 من العناصر يُحدد عن طريق 𞸌×(𞸌١)×(𞸌٢)××(𞸌(𞸍١)).
  • عند عد النواتج في وجود شروط، يجب أن نبدأ بتلك المحددة بشروط أكثر وننتقل إلى تلك المحددة بشروط أقل.
  • باستخدام هذه الطرق، يمكننا التعامل مع الحالات المعقدة نسبيًّا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.