شارح الدرس: عدُّ النواتج في وجود شروط الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: العدُّ بدون إحلال

أوجد عدد الطرق الممكنة لتكوين عدد مكوَّن من رقمين، بدون أرقام مكرَّرة، إذا كان لدينا ٤ أرقام مختلفة ليس الصفر من بينها للاختيار منها.

الحل

إننا نختار رقمين من مجموعة مكونة من أربعة أرقام مختلفة. وبما أنه غير مسموح لنا اختيار أي أرقام مكرَّرة، فإننا نعدُّ بدون إحلال. إذن، فإنَّ إجمالي عدد النواتج الممكنة هو .

هناك طريقة بديلة للتفكير في هذا، وهي أنه بالنسبة للرقم الأول، يكون لدينا أربعة اختيارات ممكنة. بعد ذلك، بمجرد اختيار هذا الرقم، نختار الثاني. وبالنسبة للثاني، لا يمكننا اختيار الرقم نفسه مرة أخرى ليصبح لدينا ثلاثة اختيارات ممكنة فقط. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، يكون العدد الكلي لدينا طريقة مختلفة لتكوين العدد المكون من رقمين.

مثال ٢: عَدُّ النواتج في وجود شروط

تتكون أرقام الهاتف لشبكة معينة من اثني عشر رقمًا؛ حيث تكون أول ثلاثة أرقام ٠٧٢. احسب إجمالي عدد أرقام الهواتف المختلفة التي يمكن أن تستخدمها الشبكة.

الحل

علمنا أن رقم الهاتف بالكامل يتكون من ١٢ رقمًا. لكن، لدينا شرط على أول ثلاثة أرقام. وتحديدًا، يجب أن تكون أول ثلاثة أرقام ٠٧٢. إذن، بالنسبة إلى هذه الأرقام الثلاثة، لا نملك أي اختيارات. ومن ثَمَّ، علينا التفكير فقط في القيم الممكنة للأرقام التسعة المتبقية. لكل رقم من هذه الأرقام، يوجد ١٠ خيارات. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي عدد أرقام الهواتف الممكنة سيكون .

مثال ٣: العد بدون إحلال في وجود نواتج مشروطة

كم عددًا يُمكننا تكوينه من ثلاثة أرقام ويكون أقل من ٩٠٠، دون تكرار أيِّ رقم وباستخدام عناصر المجموعة ؟

الحل

نبدأ بالتفكير في كيفية تأثير هذا الشرط على عدد النواتج الممكنة. علمنا أن العدد يجب أن يكون أقل من ٩٠٠. هذا يعني أن الرقم الأول لا يمكن أن يكون تسعة. ومن ثَمَّ، يكون لدينا اختياران ممكنان للرقم الأول: ٧ أو ١.

بمجرد أن نختار هذا الرقم، وبما أننا نختار بدون إحلال، يتبقى لدينا اختياران للرقم الثاني، ثم يتبقى لدينا اختيار واحد فقط للرقم الأخير.

إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي الأعداد التي يمكننا تكوينها هو .

مثال ٤: العد في وجود شروط

بكم طريقة يمكن تكوين عدد من ثلاثة أرقام يبدأ برقم زوجي ولا يحتوي على أيِّ أرقام مكرَّرة من الأرقام ؟

الحل

نبدأ بالتفكير في عدد الخيارات الممكنة للرقم المشروط. علمنا أن الرقم الأول يجب أن يكون رقمًا زوجيًّا. ومجموعة الأعداد التي لدينا تحتوي على أربعة أرقام زوجية هي: ٢، ٤، ٦، ٨.

بما أننا نعد بدون إحلال، فبعد اختيار الرقم الأول، يصبح لدينا ٧ خيارات للرقم الثاني و٦ خيارات للرقم الثالث.

إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي الأعداد التي يمكننا تكوينها هو .

مثال ٥: العد في وجود عدة شروط

يجب أن يجلس خمسة أطفال على المقعد الخلفي. حيث يوجد خمسة مقاعد متجاورة. مع ذلك، لا يريد كريم وفادي أن يجلس كل منهما بجوار الآخر. بكم طريقة يمكن أن يجلس الأطفال على المقاعد الخمسة دون أن يجلس كريم وفادي متجاورين؟

الحل

نبدأ بالتفكير في الشرط. بما أن كريم وفادي لا يريدان الجلوس متجاورَيْن، فعلينا أن نفكر في جميع الترتيبات الممكنة لهما بحيث لا يجلس هذان الاثنان أحدهما بجوار الآخر. نبدأ باختيار مقعد فادي؛ إذا جلس في المقعد الأول، فإن كريم يمكنه الجلوس في أي من المقاعد الثلاثة الأخيرة. إذن، سيكون لدينا ثلاثة خيارات إذا جلس فادي في المقعد الأول.

إذا جلس فادي في المقعد الثاني. فإن كريم يمكنه الجلوس فقط في أحد المقعدين الأخيرين. ومن ثَمَّ، سيكون لدينا خياران فقط إذا جلس فادي في المقعد الثاني.

إذا جلس فادي في المقعد الأوسط، فإن كريم يمكنه الجلوس في أي من المقعدين الطرفيين، وسيصبح لدينا خياران في هذه الحالة.

إذا جلس فادي في المقعد الرابع، فإن كريم يمكنه الجلوس في أي من المقعدين الأولين. ومن ثَمَّ، سيكون هناك خياران إذا جلس فادي في المقعد الرابع. لاحظ أن هذه هي الحالة نفسها عندما جلس فادي في المقعد الثاني.

وأخيرًا، يمكن أن يجلس فادي في المقعد الأخير، ليتبقى أمام كريم اختيار أي من المقاعد الثلاثة الأولى. ومن ثَمَّ، توجد ثلاثة خيارات إذا جلس فادي في المقعد الأخير.

إذن، إجمالي عدد خيارات كريم وفادي هو مجموع هذه الخيارات: .

وفي جميع الحالات، يتبقى ثلاثة مقاعد وثلاثة أطفال ليجلسوا فيها. بما أننا نعد بدون إحلال، فإن إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يشغل بها الأطفال الثلاثة المتبقون المقاعد الثلاثة الأخيرة هو . إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها الأطفال على المقاعد الخمسة بحيث لا يجلس كريم وفادي متجاورين هو .

هناك طريقة بديلة لحساب ذلك، وهي التفكير في إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها الأطفال على المقاعد، وعدد الطرق التي يمكن أن يجلسوا بها على المقاعد بحيث يكون كريم وفادي متجاورين، ثم نوجد الفرق. سنشرح هذه الطريقة أيضًا.

أولًا، نحسب إجمالي عدد طرق جلوس الأطفال على المقاعد. وبما أن أننا نعدُّ بدون إحلال، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة يُحدد عن طريق . نفكر الآن في الترتيبات التي يجلس بها كريم وفادي متجاورين. هناك أربعة خيارات يمكن أن يجلس بها الشخصان متجاورين.

لكل خيار من هذه الخيارات الأربعة، يوجد خياران أمام كريم وفادي: إما كريم على يسار فادي أو فادي على يسار كريم. إذن، إجمالي عدد الخيارات لجلوس كريم وفادي متجاورين هو . ثم، يمكن أن يشغل الأطفال المتبقون المقاعد الثلاثة؛ وعدد الخيارات لهؤلاء الأطفال هو . إذن، إجمالي عدد الخيارات لجلوس كريم وفادي متجاورين هو . وأخيرًا، يمكننا حساب إجمالي عدد الطرق التي يمكن أن يجلس بها الأطفال على المقاعد بحيث يكون كريم وفادي غير متجاورين من خلال طرح هذا العدد من إجمالي عدد النواتج الممكنة كما يلي: .

مثال ٦: العد في وجود عدة شروط

يخطط كل من لبنى وآدم لإقامة عرسهما. يدرسان خطة توزيع المقاعد على الطاولة الرئيسية في الاستقبال. الطاولة الرئيسية هي طاولة مستقيمة بها ٨ مقاعد في جانب واحد. يجب أن تكفي لجلوس العروس والعريس، ووالدي العروس، ووالدي العريس، ووصيف العريس، ووصيفة العروس. إذا كان من الواجب أن يجلس كل زوجين متجاورين، وإذا كان الوصيف والوصيفة غير متزوجين، فما عدد الاختيارات المختلفة لجلوس الجميع على الطاولة الرئيسية؟

الحل

نبدأ بالتفكير في الخيارات المحددة بشروط أكثر: يجب أن يجلس الأزواج الثلاثة متجاورِين. سنفكر أولًا في عدد الخيارات التي يمكننا بها ترتيب جلوس الأزواج الثلاثة. باعتبار كل زوجين وحدة واحدة، فإنه يمكننا التفكير في ترتيب ثلاثة عناصر في ثلاثة أماكن. هذا عدٌّ بدون إحلال؛ لذا، فإن عدد الخيارات هو . لكن بالنسبة لكل زوجين، هناك طريقتان يمكن أن يجلس بهما الزوجان أحدهما بجوار الآخر. إذن، بالنسبة لكل خيار من هذه الخيارات الستة، توجد طرق يمكن أن يختارها الأزواج للجلوس. ومن ثَمَّ، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة هو . وأخيرًا، يمكننا التفكير في وصيف العريس ووصيفة العروس. إذا بدأنا بوصيف العريس، فإنه يمكنه الجلوس في أي من الطرفين أو بين أي زوجين وزوجين من الأزواج.

ومن ثم، يوجد أربعة اختيارات لمقعده. وأخيرًا، يمكن أن تجلس وصيفة العروس في أي الطرفين أو بين أي زوجين وزوجين أو بين أي زوجين ووصيف العريس.

ومن ثَمَّ، يوجد خمسة اختيارات لوصيفة العروس. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي عدد الترتيبات للطاولة الرئيسية هو .

هناك طريقة بديلة لحل هذه المسألة، وهي أن نبدأ بتجاهل ترتيب الأزواج ونوضح فقط أن هناك خمس مجموعات (ثلاثة أزواج وفردان)، وعلينا ترتيبها في خمسة أماكن. عدد النواتج الممكنة لذلك هو . يمكننا الآن التفكير في ترتيب الأزواج: فلكل زوجين من الأزواج، يوجد ترتيبان محتملان وهو ما يعطينا إجمالي ترتيبات للأزواج. إذن، وفقًا لمبدأ العد الأساسي، فإن إجمالي عدد الترتيبات للطاولة الرئيسية هو .