شارح الدرس: الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

مثال ١: إيجاد الشغل المبذول على جسم بمعلومية عجلته والمسافة التي يقطعها

تحرَّك جسم كتلته ٠٫٩ كجم مسافة ٢٥ سم بعجلة ٨ سم/ث^٢. أوجد الشغل المبذول .

الحل

يتحرَّك الجسم بعجلة. نُحوِّل العجلة التي مقدارها ٨ سم/ث^٢ إلى ٠٫٠٨ م/ث^٢ حتى تكون القوة بوحدة نيوتن. عجلة الجسم معلومة وكتلته معلومة، ومن ثَمَّ نحصل على القوة التي تؤثِّر على الجسم ليتسارع بالمعادلة:

يتسارع الجسم في اتجاه القوة، لذا يُعطى الشغل المبذول بواسطة القوة بالمعادلة:

يمكن التعبير عن الشغل في صورة عدد صحيح بوحدة إرج؛ حيث إرج تكافئ جول واحدًا:

مثال ٢: إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوةِ مقاومَةٍ ثابتةٍ

يتحرَّك جسم في خطٍّ مستقيم ضدَّ قوةٍ مقاوِمةٍ مقدارها ٣٦٠ نيوتن. أوجد الشغل المبذول بواسطة هذه القوة خلال الإزاحة ؛ حيث .

الحل

القوة الوحيدة التي تؤثِّر على الجسم وهو يتحرَّك هي قوةُ المقاوَمةِ. القوةُ المقاوِمةُ المؤثِّرةُ على الجسم يجب أن تؤثِّر في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة الجسم، ومن ثَمَّ فإن الزاوية بين اتجاه الحركة واتجاه القوة قياسها ١٨٠ درجة. يمكن إيجاد الشغل المبذول بواسطة القوةِ المقاوِمةِ باستخدام المعادلة: حيث:

وعليه:

ومن ثَمَّ نضرب مقدار الشغل المبذول في . لن يتغيَّر المقدار المطلَق بهذا، لكنَّ الشغل المبذول سيكون سالبًا. ونحصل على الشغل المبذول بواسطة القوةِ المقاوِمةِ من المعادلة:

مثال ٣: إيجاد الشغل المبذول بواسطة جسم قُذِف لأعلى بعد فترة زمنية محدَّدة

جسم كتلته ٩٠٠ جم قُذِفَ رأسيًّا لأعلى بسرعة مقدارها ٦٫٤ م/ث. أوجد الشغل المبذول بواسطة وزن الجسم خلال أول ٥ ثوانٍ من حركة الجسم. علمًا بأن .

الحل

في هذا المثال، يكون للجسم سرعة ابتدائية رأسيًّا لأعلى. لكن لا توجد قوة تؤثِّر على الجسم رأسيًّا لأعلى. والقوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم هي وزن الجسم. ويؤثِّر وزن الجسم رأسيًّا لأسفل بمقدارٍ ثابتٍ نحصل عليه من المعادلة:

نُحوِّل كتلة الجسم التي مقدارها ٩٠٠ جم إلى ٠٫٩ كجم حتى تكون وحدة الوزن هي: نيوتن.

ويتحرَّك الجسم ٥ ثوانٍ على الأقل. خلال هذه الفترة الزمنية يؤثِّر وزن الجسم على الجسم، وبذلك يبذل شغلًا على الجسم.

ولإيجاد الشغل المبذول على الجسم بواسطة وزنه، علينا إيجاد المسافة التي يقطعها الجسم في اتجاه تأثير وزنه: رأسيًّا لأسفل. إذا تحرَّك الجسم رأسيًّا لأعلى لمدة ٥ ثوانٍ، فإن الإزاحة ستكون في الاتجاه المعاكس لاتجاه تأثير الوزن، لذا تعتمد قيمة الشغل المبذول على إذا ما كانت الحركة الكلية للجسم رأسيًّا لأعلى أم لأسفل.

تُعطى الإزاحة الكلية لجسمٍ يتحرَّك بعجلة ثابتة بالمعادلة:

من المهمِّ ملاحظة أن السرعة الابتدائية وعجلة الجسم في اتجاهين متعاكسين. ومن ثَمَّ يجب أن تكون إشارتا ، متعاكستين. بإعطاء الإشارة السالبة لـ ، والتعويض في المعادلة بالقيم الموجودة في السؤال نحصل على:

الإزاحة الكلية للجسم تساوي ٩٠٫٥ م رأسيًّا لأسفل.

باستخدام: يمكننا أن نلاحظ أن:

مثال ٤: إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة مائلة

ما مقدار الشغل المبذول بواسطة قوة مقدارها ٢٠٠ نيوتن واتجاهها يميل بزاوية ٣٠ درجة على الأفقيِّ الذي يجعل صندوقًا ينزلق ٢٠ مترًا أفقيًّا على رصيف؟ أوجد إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي المركِّبتين المتعامدتين للقوة التي مقدارها ٢٠٠ نيوتن المؤثِّرة على الصندوق؛ حيث تكون إحدى المركِّبتين موازية لإزاحة الصندوق.

نحصل على الشغل المبذول على الصندوق بواسطة القوة التي مقدارها ٢٠٠ نيوتن من المعادلة:

بتقريب قيمة لأقرب منزلتين عشريتين نحصل على: حيث:

إذن، يمكن التعبير عن الناتج كالتالي:

مثال ٥: حساب مقدار الشغل المبذول بواسطة قوة

يوضِّح الشكل القوة التي مقدارها ٢ نيوتن، والإزاحة التي قطعها جسم أثَّرت عليه هذه القوة. أوجد الشغل المبذول بواسطة القوة.

الحل

كما يوضِّح الشكل، لا تؤثِّر القوة على الجسم في اتجاه إزاحة الجسم. بل توجد زاوية غير معطاةٍ بين اتجاه القوة واتجاه الإزاحة.

الزاوية من خطِّ عمل هي ؛ حيث إن خطَّ العمل خطٌّ مستقيم. تتكوَّن هذه الزاوية من زاويتين، إحداهما مجهولة، والأخرى موضَّحة في الشكل وتساوي . إذن، نحصل على قياس الزاوية المجهولة من المعادلة:

المعادلة الخاصة بالشغل المبذول على الجسم بواسطة قوة هي:

الشغل المبذول بواسطة القوة على الجسم سالب. يمكن فَهْم القيمة السالبة للشغل بالنظر إلى اتجاهَي مركِّبتَي المتعامدتين؛ حيث تكون إحدى المركِّبتين موازيةً لـ كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

مركِّبة الموازية لـ لها اتجاه معاكس لـ .