شارح الدرس: الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نحسب الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة مؤثِّرة على جسيم.

دعونا أوَّلًا نُعرِّف العجلة الناتجة عن القوة.

تعريف: العجلة الناتجة عن قوة

عندما تؤثِّر قوة محصِّلة على جسم، فإن الجسم يتسارع في اتجاه هذه القوة. ويعتمد مقدار العجلة على مقدار القوة وكتلة الجسم وفقًا للمعادلة: 𞹟=𞸊𞸢، حيث 𞸊 هو كتلة الجسم، 𞸢 هو عجلة الجسم.

حاصل ضرب القوة المؤثِّرة على الجسم وإزاحة الجسم الموازية لاتجاه القوة أثناء تأثير القوة عليه يساوي الشغل المبذول على الجسم، 𞸔: 𞸔=𞹟𞸐.

القوة التي تؤثِّر على الجسم لا تؤثِّر بالضرورة في اتجاه إزاحة الجسم خلال الفترة الزمنية التي تؤثِّر فيها القوة على الجسم. والجسم الذي يتحرَّك قد تؤثِّر عليه قوة لها اتجاه آخَر مخالف لاتجاه سرعة الجسم.

تتيح هذه العلاقة تعريف الشغل المبذول بواسطة القوة.

تعريف: الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة

يعتمد الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة على القوة المؤثِّرة على الجسم، والمسافة التي يقطعها الجسم في اتجاه هذه القوة وفقًا للمعادلة: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، حيث 𞹟 هو مقدار القوة، 𞸐 هو مقدار إزاحة الجسم أثناء تأثير القوة عليه، 𝜃 هي الزاوية بين اتجاهَي 𞹟، 𞸐.

دعونا نلقِ نظرة على مثال يتناول قوة تبذل شغلًا على جسم لتغيير طاقة حركته.

مثال ١: إيجاد الشغل المبذول على جسم بمعلومية عجلته والمسافة التي يقطعها

تحرَّك جسم كتلته ٠٫٩ كجم مسافة ٢٥ سم بعجلة ٨ سم/ث٢. أوجد الشغل المبذول 𞸔.

الحل

يتحرَّك الجسم بعجلة. نُحوِّل العجلة التي مقدارها ٨ سم/ث٢ إلى ٠٫٠٨ م/ث٢ حتى تكون القوة بوحدة نيوتن. عجلة الجسم معلومة وكتلته معلومة، ومن ثَمَّ نحصل على القوة التي تؤثِّر على الجسم ليتسارع بالمعادلة: 𞹟=𞸊𞸢𞹟=٩٫٠(٨٠٫٠)=٢٧٠٫٠.

يتسارع الجسم في اتجاه القوة، لذا يُعطى الشغل المبذول بواسطة القوة بالمعادلة: 𞸔=𞹟𞸐=٢٧٠٫٠(٥٢٫٠)=٨١٠٫٠.ل

يمكن التعبير عن الشغل في صورة عدد صحيح بوحدة إرج؛ حيث ٠١٧ إرج تكافئ جول واحدًا: 𞸔=٨١٠٫٠×٠١=٨٫١×٠١.٧٥إرج

لنتناول الآن مثالًا تبذل فيه القوة شغلًا على الجسم في الاتجاه المعاكس لسرعة الجسم.

مثال ٢: إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوةِ مقاومَةٍ ثابتةٍ

يتحرَّك جسم في خطٍّ مستقيم ضدَّ قوةٍ مقاوِمةٍ مقدارها ٣٦٠ نيوتن. أوجد الشغل المبذول بواسطة هذه القوة خلال الإزاحة 󰄮󰄮𞸐؛ حيث 󰍼󰄮󰄮𞸐󰍼=٠٩٣م.

الحل

القوة الوحيدة التي تؤثِّر على الجسم وهو يتحرَّك هي قوةُ المقاوَمةِ. القوةُ المقاوِمةُ المؤثِّرةُ على الجسم يجب أن تؤثِّر في الاتجاه المعاكس لاتجاه حركة الجسم، ومن ثَمَّ فإن الزاوية بين اتجاه الحركة واتجاه القوة قياسها ١٨٠ درجة. يمكن إيجاد الشغل المبذول بواسطة القوةِ المقاوِمةِ باستخدام المعادلة: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، حيث: 𝜃=٠٨١.

وعليه: 𝜃=١.

ومن ثَمَّ نضرب مقدار الشغل المبذول في ١. لن يتغيَّر المقدار المطلَق بهذا، لكنَّ الشغل المبذول سيكون سالبًا. ونحصل على الشغل المبذول بواسطة القوةِ المقاوِمةِ من المعادلة: ٠٦٣(٠٩٣)(١)=٠٠٤٠٤١.ل

دعونا نلقِ نظرة على مثال يتناول قوة تبذل شغلًا على جسم؛ حيث ينعكس اتجاه السرعة أثناء حركة الجسم.

مثال ٣: إيجاد الشغل المبذول بواسطة جسم قُذِف لأعلى بعد فترة زمنية محدَّدة

جسم كتلته ٩٠٠ جم قُذِفَ رأسيًّا لأعلى بسرعة مقدارها ٦٫٤ م/ث. أوجد الشغل المبذول بواسطة وزن الجسم خلال أول ٥ ثوانٍ من حركة الجسم. علمًا بأن 𞸃=٨٫٩/مث٢.

الحل

في هذا المثال، يكون للجسم سرعة ابتدائية رأسيًّا لأعلى. لكن لا توجد قوة تؤثِّر على الجسم رأسيًّا لأعلى. والقوة الوحيدة المؤثِّرة على الجسم هي وزن الجسم. ويؤثِّر وزن الجسم رأسيًّا لأسفل بمقدارٍ ثابتٍ نحصل عليه من المعادلة: 𞹟=٩٫٠(٨٫٩)=٢٨٫٨.

نُحوِّل كتلة الجسم التي مقدارها ٩٠٠ جم إلى ٠٫٩ كجم حتى تكون وحدة الوزن هي: نيوتن.

ويتحرَّك الجسم ٥ ثوانٍ على الأقل. خلال هذه الفترة الزمنية يؤثِّر وزن الجسم على الجسم، وبذلك يبذل شغلًا على الجسم.

ولإيجاد الشغل المبذول على الجسم بواسطة وزنه، علينا إيجاد المسافة التي يقطعها الجسم في اتجاه تأثير وزنه: رأسيًّا لأسفل. إذا تحرَّك الجسم رأسيًّا لأعلى لمدة ٥ ثوانٍ، فإن الإزاحة ستكون في الاتجاه المعاكس لاتجاه تأثير الوزن، لذا تعتمد قيمة الشغل المبذول على إذا ما كانت الحركة الكلية للجسم رأسيًّا لأعلى أم لأسفل.

تُعطى الإزاحة الكلية لجسمٍ يتحرَّك بعجلة ثابتة 𞸃 بالمعادلة: 𞸐=𞸏𞸍+١٢𞸢𞸍.٠٢

من المهمِّ ملاحظة أن السرعة الابتدائية وعجلة الجسم في اتجاهين متعاكسين. ومن ثَمَّ يجب أن تكون إشارتا 𞸏٠، 𞸢 متعاكستين. بإعطاء الإشارة السالبة لـ 𞸢، والتعويض في المعادلة بالقيم الموجودة في السؤال نحصل على: 𞸐=٤٫٦𞸍٨١٢.٩𞸍𞸐=٤٫٦(٥)١٢٨٫٩(٥)𞸐=٥٫٠٩.٢٢م

الإزاحة الكلية للجسم تساوي ٩٠٫٥ م رأسيًّا لأسفل.

باستخدام: 𞸔=𞹟𞸐، يمكننا أن نلاحظ أن: 𞸔=٢٨٫٨(٥٫٠٩)=١٢٫٨٩٧.ل

دعونا نلقِ نظرة على مثال تبذل فيه قوة شغلًا على جسم بزاوية معينة مع اتجاه سرعة الجسم.

مثال ٤: إيجاد الشغل المبذول بواسطة قوة مائلة

ما مقدار الشغل المبذول بواسطة قوة مقدارها ٢٠٠ نيوتن واتجاهها ٣٠ درجة من الأفقيِّ الذي يجعل صندوقًا ينزلق ٢٠ مترًا أفقيًّا على رصيف؟ أوجد إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

يوضِّح الشكل الآتي المركِّبتين المتعامدتين للقوة التي مقدارها ٢٠٠ نيوتن المؤثِّرة على الصندوق؛ حيث تكون إحدى المركِّبتين موازية لإزاحة الصندوق.

نحصل على الشغل المبذول على الصندوق بواسطة القوة التي مقدارها ٢٠٠ نيوتن من المعادلة: 𞸔=𞹟𞸐𝜃𞸔=٠٠٢(٠٢)((٠٣))𞸔=٠٠٠٤󰋴٣٢.

بتقريب قيمة 𞸔 لأقرب منزلتين عشريتين نحصل على: 𞸔=٠١٫٤٦٤٣،ل حيث: لواواوا=×.

إذن، يمكن التعبير عن الناتج كالتالي: 𞸔=٠١٫٤٦٤٣.

فلننظر إلى مثال آخَر يتناول قوة تؤثِّر بزاوية معينة مع اتجاه إزاحة الجسم الذي تؤثِّر عليه القوة.

مثال ٥: حساب مقدار الشغل المبذول بواسطة قوة

يوضِّح الشكل القوة 𞹟 التي مقدارها ٢ نيوتن، والإزاحة 𞸐=٦١م التي قطعها جسم أثَّرت عليه هذه القوة. أوجد الشغل المبذول بواسطة القوة.

الحل

كما يوضِّح الشكل، لا تؤثِّر القوة على الجسم في اتجاه إزاحة الجسم. بل توجد زاوية غير معطاةٍ بين اتجاه القوة واتجاه الإزاحة.

الزاوية من خطِّ عمل 󰄮󰄮𞹟 هي ٠٨١؛ حيث إن خطَّ العمل خطٌّ مستقيم. تتكوَّن هذه الزاوية من زاويتين، إحداهما مجهولة، والأخرى موضَّحة في الشكل وتساوي ٠٦. إذن، نحصل على قياس الزاوية المجهولة من المعادلة: 𞸢=٠٨١٠٦=٠٢١.

المعادلة الخاصة بالشغل المبذول على الجسم بواسطة قوة هي: 𞸔=𞹟𞸐𝜃𞸔=٢(٦١)((٠٢١))𞸔=٢٣󰂔١٢󰂓=٦١.ل

الشغل المبذول بواسطة القوة على الجسم سالب. يمكن فَهْم القيمة السالبة للشغل بالنظر إلى اتجاهَي مركِّبتَي 󰄮󰄮𞹟 المتعامدتين؛ حيث تكون إحدى المركِّبتين موازيةً لـ 󰄮󰄮𞸐 كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

مركِّبة 󰄮󰄮𞹟 الموازية لـ 󰄮󰄮𞸐 لها اتجاه معاكس لـ 󰄮󰄮𞸐.

النقاط الرئيسية

  • الشغل المبذول على جسم الناتج عن قوة مؤثِّرة عليه يساوي حاصل ضرب القوة المؤثِّرة عليه وإزاحة الجسم في اتجاه القوة وفقًا للمعادلة: 𞸔=𞹟𞸐، حيث 𞹟 هو مقدار القوة، 𞸐 هو مقدار إزاحة الجسم في اتجاه القوة.
  • الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة لا تؤثِّر في اتجاه إزاحة الجسم يساوي الشغل المبذول بواسطة مركِّبة القوة التي تؤثِّر في اتجاه إزاحة الجسم وفقًا للمعادلة: 𞸔=𞹟𞸐𝜃، حيث 𞹟 هو مقدار القوة، 𞸐 هو مقدار إزاحة الجسم أثناء تأثير القوة عليه، 𝜃 هي الزاوية بين اتجاهَي 𞹟، 𞸐.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.