شارح الدرس: العمليات على الأحداث: الفرق الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد احتمال الفرق بين حدثين.

بدايةً، نسترجع العمليات على الأحداث التي درسناها حتى الآن.

تعريف: الأحداث المُكمِّلة وتقاطع الاحداث واتحادها

العمليات على الحدثين: 󰏡، 𞸁 تكون على النحو الآتي؛ حيث تمثِّل المساحة المظلَّلة في شكل فن كلَّ عملية على الترتيب.

  • الحدث المُكمِّل للحدث 󰏡 يُرمز إليه بـ 󰏡 ويتضمَّن العناصر التي ليست في 󰏡.
  • تقاطع الحدثين 󰏡، 𞸁 يُرمز إليه بـ 󰏡𞸁، ويتضمَّن العناصر التي في كلٍّ من 󰏡، 𞸁.
  • اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁 يُرمز إليه بـ 󰏡𞸁، ويتضمَّن العناصر التي في أي من 󰏡 أو 𞸁 أو كليهما.

العملية الجديدة التي سندرسها في هذا الشارح هي الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁، كما هو مُفصَّل في التعريف الآتي.

تعريف: الفرق بين حدثين

الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 يُرمز إليه بـ 󰏡𞸁، ويُوضَّح بالمساحة المظلَّلة في شكل فن الآتي. ويتضمَّن العناصر التي في 󰏡 لكنها ليست في 𞸁.

بالاستفادة من معرفتنا بأشكال فن، يمكننا استنتاج صيغة الفرق بين حدثين.

مساحة المنطقة المظلَّلة لـ 󰏡𞸁 تساوي مساحة 󰏡 ناقص مساحة 󰏡𞸁، كما هو موضَّح أدناه.

إذن، 󰏡𞸁=󰏡(󰏡𞸁). وبناءً عليه، يمكننا الاستفادة من ذلك لاستنتاج صيغة احتمال الفرق بين حدثين.

قاعدة احتمال الفرق بين حدثين

احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 يساوي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

في المثال الآتي، نُطبِّق قاعدة الاحتمال المذكورة في التعريف الوارد أعلاه لإيجاد احتمال الفرق بين حدثين.

مثال ١: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان. إذا كان 𞸋(󰏡)=٣٫٠، 𞸋(󰏡𞸁)=٣٠٫٠، فأوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

لإيجاد الفرق بين الحدثين: 󰏡، 𞸁، نستخدم الصيغة التالية: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

يمكن تمثيل ذلك باستخدام شكل فن، كما يلي:

بالتعويض بقيمتي 𞸋(󰏡)=٣٫٠، 𞸋(󰏡𞸁)=٣٠٫٠ في الصيغة الواردة أعلاه، نحصل على: 𞸋(󰏡𞸁)=٣٫٠٣٠٫٠=٧٢٫٠.

وبالمثل، يمكننا استخدام شكل فن لتوضيح ذلك.

إذن قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٧٢٫٠.

في المثال الآتي، سنتناول كيفية إيجاد احتمال الفرق بين حدثين مُعطيين في سياق ما.

مثال ٢: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين

سُحِبت كرة عشوائيًّا من حقيبة تحتوي على ١٢ كرة، كلُّ واحدة منها ذات رقم مميز من ١ إلى ١٢. بافتراض أن 󰏡 يمثِّل حدث سحب عدد فردي، بينما 𞸁 يمثِّل حدث سحب عدد أوَّلي. أوجد 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نستخدم صيغة احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 وهي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

ولكي نفعل ذلك، لا بد أن نحسب قيمة 𞸋(󰏡)، وقيمة 𞸋(󰏡𞸁).

ولكي نحسب قيمة 𞸋(󰏡)، علينا أوّلاً أن نُحدِّد المجموعة 󰏡. نعلم من المُعطيات أن 󰏡 يمثِّل حدث سحب عدد فردي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن، 󰏡 يُعطى بواسطة المجموعة {١،٣،٥،٧،٩،١١}.

بما أن عدد النواتج في 󰏡 يساوي ٦، وإجمالي عدد النواتج يساوي ١٢ (نظرًا لوجود ١٢ كرة في الحقيبة)، إذن احتمال 󰏡 يُعطى بالصيغة: 𞸋(󰏡)=󰏡=٦٢١=١٢.دااإداا

ومن أجل أن نُوجد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نبدأ بتحديد المجموعة 󰏡، والمجموعة 𞸁، والمجموعة 󰏡𞸁. ونعلم أن 󰏡 يُعطى بواسطة المجموعة {١،٣،٥،٧،٩،١١} (كما هو مذكور سابقًا). المجموعة 𞸁 تمثِّل حدث سحب عدد أوَّلي من حقيبة تحتوي على كرات مرقَّمة من ١ إلى ١٢. إذن، 𞸁 تُعطى بواسطة المجموعة {٢،٣،٥،٧،١١}.

نلاحظ أن 󰏡𞸁؛ أي تقاطع 󰏡، 𞸁 هو المجموعة التي تحتوي على العناصر التي تقع في كلا الحدثين 󰏡، 𞸁. في هذه الحالة، 󰏡𞸁={٣،٥،٧،١١}. احتمال 󰏡𞸁 يُعطى بواسطة: 𞸋(󰏡𞸁)=󰏡𞸁=٤٢١=١٣.داا،إداا

يمكننا الآن التعويض بقيمتي 𞸋(󰏡)=١٢، 𞸋(󰏡𞸁)=١٣ في صيغة 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁) من أجل إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁): 𞸋(󰏡𞸁)=١٢١٣=٣٢٦=١٦.

إذن، قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=١٦.

يمكننا استخدام عدة قواعد للاحتمال لإجراء عمليات على الأحداث بهدف حل المسائل. نتناول بعد ذلك قاعدتين من قواعد الاحتمال هذه، وهما الأحداث المكمِّلة واتحاد الأحداث. دعونا نتذكر هذه القواعد.

تعريف: قواعد الاحتمالات لحساب احتمالات الأحداث المكمِّلة واتحاد الأحداث.

  • احتمال الحدث المكمِّل للحدث 󰏡 يساوي: 𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡) أو: 𞸋󰂔󰏡󰂓=١𞸋(󰏡).
  • احتمال اتحاد الحدثين 󰏡، 𞸁 يساوي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

يستخدم المثال الآتي قواعد الاحتمالات لحساب احتمال اتحاد حدثين والفرق بين حدثين.

مثال ٣: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع

افترِض أن 󰏡، 𞸁 حدثان احتماليهما 𞸋(󰏡)=٥٧، 𞸋(𞸁)=٤٧. إذا كان 𞸋(󰏡𞸁)=٦٧، فأوجد: 𞸋(󰏡𞸁).

الحل

بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، فيجب علينا استخدام قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

وبما أننا لا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، إذن، لا بد أن نستخدم قاعدة أخرى لإيجاد ذلك. وبما أننا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، وقيمة 𞸋(󰏡)، وقيمة 𞸋(𞸁)، فيمكننا استخدام قاعدة الجمع للاحتمال: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

عندما نُعوِّض بقيمتي 𞸋(󰏡)=٥٧، 𞸋(𞸁)=٤٧، وبقيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٦٧، نحصل على مُعادلة بها: 𞸋(󰏡𞸁): ٦٧=٥٧+٤٧𞸋(󰏡𞸁).

وبإعادة ترتيب المُعادلة لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁)، نحصل على: 𞸋(󰏡𞸁)+٦٧=٥٧+٤٧𞸋(󰏡𞸁)=٥٧+٤٧٦٧=٣٧.

بما أننا أوجدنا قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٣٧، فيمكننا التعويض بتلك القيمة، وكذلك قيمة 𞸋(󰏡)=٥٧، في الصيغة الآتية: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

ومن ثَمَّ، بالتعويض، يمكننا إيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁): 𞸋(󰏡𞸁)=٥٧٣٧=٢٧.

إذن، قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٢٧.

يَستخدم المثال التالي قواعد الاحتمالات للحدث المكمِّل، واتحاد حدثين، والفرق بين حدثين.

مثال ٤: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين باستخدام قاعدة الجمع وقاعدة الحدث المكمِّل

افترض أن 󰏡، 𞸁 حدثان في تجربة عشوائية. إذا كان 𞸋(󰏡)=١٧٫٠، 𞸋󰁓𞸁󰁒=٧٤٫٠󰍱، 𞸋(󰏡𞸁)=٩٩٫٠، فأوجد 𞸋(𞸁󰏡).

الحل

بما أنه مطلوب منا إيجاد قيمة 𞸋(𞸁󰏡)، إذن لا بد أن نستخدم قاعدة احتمال الفرق بين حدثين، والتي تنص على الآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

ونظرًا لأن الحدثين 󰏡، 𞸁 مكتوبان بطريقة معكوسة في هذه الصيغة، فعلينا إعادة كتابة تلك الصيغة على الصورة: 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁) نظرًا لأن 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(󰏡𞸁).

وبما أننا نعرف قيمة 𞸋(󰏡)، وقيمة 𞸋󰁓𞸁󰁒󰍱، وقيمة 𞸋(󰏡𞸁)، ولا نعرف قيمة 𞸋(󰏡𞸁) أو قيمة 𞸋(𞸁)، إذن، لا بد أن نستخدم قواعد احتمالات الحدث المكمِّل واتحاد حدثين. بدايةً، نَستخدم قاعدة احتمال الحدث المكمِّل لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁).

نحن نعرف أن: 𞸋󰁓𞸁󰁒=١𞸋(𞸁).󰍱

لذا، إذا أردنا إيجاد قيمة 𞸋(𞸁)، نُعوِّض بقيمة 𞸋󰁓𞸁󰁒=٧٤٫٠󰍱، ثم نُعيد ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁): ٧٤٫٠=١𞸋(𞸁)٧٤٫٠+𞸋(𞸁)=١𞸋(𞸁)=١٧٤٫٠𞸋(𞸁)=٣٥٫٠.

بعد أن أوجدنا قيمة 𞸋(𞸁)، يمكننا استخدام صيغة الجمع لإيجاد قيمة 𞸋(󰏡𞸁). وتكون الصيغة كالآتي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

وبالتعويض بقيم 𞸋(󰏡)=١٧٫٠، 𞸋(𞸁)=٣٥٫٠، 𞸋(󰏡𞸁)=٩٩٫٠، ثم بإعادة ترتيب الصيغة لجعل 𞸋(󰏡𞸁) المتغير التابع، نحصل على: ٩٩٫٠=١٧٫٠+٣٥٫٠𞸋(󰏡𞸁)٩٩٫٠+𞸋(󰏡𞸁)=١٧٫٠+٣٥٫٠𞸋(󰏡𞸁)=١٧٫٠+٣٥٫٠٩٩٫٠=٥٢٫٠.

بما أننا حسبنا قيمة 𞸋(󰏡𞸁)=٥٢٫٠، فإنه، يمكننا الآن استخدام تلك القيمة، بالإضافة إلى قيمة 𞸋(𞸁)=٣٥٫٠ لإيجاد قيمة 𞸋(𞸁󰏡). ونقوم بذلك عن طريق التعويض بهاتين القيمتين في الصيغة ونحسبس قيمة 𞸋(𞸁󰏡): 𞸋(𞸁󰏡)=𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁)𞸋(𞸁󰏡)=٣٥٫٠٥٢٫٠=٨٢٫٠.

إذن، قيمة 𞸋(𞸁󰏡)=٨٢٫٠.

في المثال الأخير، سنتناول كيفية إيجاد احتمال وقوع حدث واحد فقط من حدثين. سنستخدم ما نعرفه عن الفرق بين حدثين لفعل ذلك.

مثال ٥: استخدام قاعدة الجمع لإيجاد احتمال وقوع حدث واحد فقط من حدثين

احتمال اجتياز نادر لاختبار مادة الرياضيات ٠٫٣٣، واحتمال رسوبه في اختبار مادة الفيزياء ٠٫٣٢. إذا كان احتمال اجتيازه لأحد الاختبارين على الأقل ٠٫٧١، فأوجد احتمال اجتيازه لاختبار مادة واحدة فقط من المادتين.

الحل

لإيجاد احتمال اجتياز اختبار مادة واحدة فقط، نوجد احتمال اجتياز اختبار مادة الرياضيات فقط، واحتمال اجتياز اختبار مادة الفيزياء فقط، ثم نجمعها معًا.

لإيجاد احتمال اجتياز اختبار مادة الرياضيات فقط، لا بد أن نُوجد احتمال اجتياز اختبار مادة الرياضيات دون مادة الفيزياء، وهو ما يمكن القيام به باستخدام صيغة الفرق: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

إذ افترضنا أن حدث اجتياز اختبار مادة الرياضيات يُمثله 𞸓، وحدث اجتياز اختبار مادة الفيزياء يُمثله 𞸐، إذن، بالتعويض بهما عن 󰏡، 𞸁 في الصيغة السابقة، يمكننا القول إن احتمال اجتياز اختبار مادة الرياضيات دون مادة الفيزياء هو: 𞸋(𞸓𞸐)=𞸋(𞸓)𞸋(𞸓𞸐).

علمنا من السؤال أن احتمال اجتياز اختبار مادة الرياضيات يساوي ٠٫٣٣، وعليه، يكون 𞸋(𞸓)=٣٣٫٠ واحتمال الرسوب في اختبار مادة الفيزياء يساوي ٠٫٣٢ وعليه، يكون 𞸋󰁓𞸐󰁒=٢٣٫٠󰍱. لإيجاد احتمال اجتياز اختبار مادة الفيزياء، نستخدم صيغة الحدث المكمّل، التي تنص على أن: 𞸋󰁓󰏡󰁒=١𞸋(󰏡)󰍱 أو في هذه الحالة: 𞸋󰁓𞸐󰁒=١𞸋(𞸐).󰍱

إذن، بالتعويض بقيمة 𞸋󰁓𞸐󰁒=٢٣٫٠󰍱 وحساب 𞸋(𞸐)، نحصل على: ٢٣٫٠=١𞸋(𞸐)𞸋(𞸐)=١٢٣٫٠=٨٦٫٠.

وعلمنا من السؤال أيضًا أن احتمال اجتيازه لأحد الاختبارين على الأقل هو ٠٫٧١، وهو يماثل قولنا اجتيازه اختبار مادة الرياضيات، أو اجتيازه اختبار مادة الفيزياء، أو كلاهما. يمكننا كتابة ذلك باستخدام الاتحاد بين 𞸓، 𞸐، وبناءً عليه، فإن: 𞸋(𞸓𞸐)=١٧٫٠.

وبما أننا نحتاج إلى إيجاد 𞸋(𞸓𞸐) من أجل إيجاد 𞸋(𞸓𞸐)، لكن علمنا أن 𞸋(𞸓𞸐)=١٧٫٠، فإننا نستخدم صيغة قاعدة جمع للاحتمالات، والتي تنص على أن: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)+𞸋(𞸁)𞸋(󰏡𞸁).

في هذه الحالة، نَستخدم 𞸓، 𞸐 ليُمثلا الحدثين؛ إذن: 𞸋(𞸓𞸐)=𞸋(𞸓)+𞸋(𞸐)𞸋(𞸓𞸐).

نحن نعرف أن قيمة 𞸋(𞸓)=٣٣٫٠، وقيمة 𞸋(𞸐)=٨٦٫٠، وقيمة 𞸋(𞸓𞸐)=١٧٫٠، إذن، بالتَّعويض بتلك القيم وإيجاد قيمة 𞸋(𞸓𞸐)، نحصل على: 𞸋(𞸓𞸐)=𞸋(𞸓)+𞸋(𞸐)𞸋(𞸓𞸐)١٧٫٠=٣٣٫٠+٨٦٫٠𞸋(𞸓𞸐)١٧٫٠=١٠٫١𞸋(𞸓𞸐)𞸋(𞸓𞸐)=١٠٫١١٧٫٠=٣٫٠.

بعد أن حسبنا قيمة 𞸋(𞸓𞸐)=٣٫٠، يمكننا التعويض بتلك القيمة، مع قيمة 𞸋(𞸓)=٣٣٫٠، في صيغة 𞸋(𞸓𞸐)، وهو ما يعطينا: 𞸋(𞸓𞸐)=𞸋(𞸓)𞸋(𞸓𞸐)=٣٣٫٠٣٫٠=٣٠٫٠، وهو احتمال اجتياز اختبار مادة الرياضيات دون مادة الفيزياء.

بعد ذلك، علينا إيجاد احتمال اجتياز اختبار مادة الفيزياء دون اجتياز اختبار مادة الرياضيات. ويتحقق ذلك بطريقة مشابهة تمامًا لما سبق، لكن بعكس الحدثين 𞸓، 𞸐 في الصيغة الآتية: 𞸋(𞸐𞸓)=𞸋(𞸐)𞸋(𞸐𞸓)، وهي تماثل: 𞸋(𞸐𞸓)=𞸋(𞸐)𞸋(𞸓𞸐)، نظرًا لأن احتمال اجتياز مادة الفيزياء ومادة الرياضيات يساوي احتمال اجتياز مادة الرياضيات ومادة الفيزياء.

وبما أننا نعرف قيمتي 𞸋(𞸐)=٨٦٫٠، 𞸋(𞸓𞸐)=٣٫٠، إذن، بالتعويض، نحصل على: 𞸋(𞸐𞸓)=𞸋(𞸐)𞸋(𞸓𞸐)=٨٦٫٠٣٫٠=٨٣٫٠، وهو احتمال اجتياز اختبار مادة الفيزياء دون مادة الرياضيات.

والآن بعد أن عرفنا أن احتمال اجتياز اختبار مادة الرياضيات دون مادة الفيزياء يساوي 𞸋(𞸓𞸐)=٣٠٫٠، وأن احتمال اجتياز اختبار مادة الفيزياء دون مادة الرياضيات يساوي 𞸋(𞸐𞸓)=٨٣٫٠، واحتمال اجتياز مادة واحدة فقط منهما يساوي مجموع القيمتين، وهو ما يساوي: 𞸋󰁓󰁒=٣٠٫٠+٨٣٫٠=١٤٫٠.ازدةواة

وعليه، فإن احتمال اجتياز مادة واحدة فقط يساوي ٠٫٤١.

في هذا الشارح، تعلمنا معني الفرق بين حدثين، وكيفية تمثيله على شكل فن، وصيغة حساب احتمال ذلك.

النقاط الرئيسية

  • الفرق بين المجموعتين 󰏡، 𞸁 يُرمز إليه بـ 󰏡𞸁 ويُمثل على شكل فن على النحو الآتي:
  • قاعدة احتمال الفرق بين الحدثين 󰏡، 𞸁 هي: 𞸋(󰏡𞸁)=𞸋(󰏡)𞸋(󰏡𞸁).

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.