شارح الدرس: خواص ضرب المصفوفات الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نستخدم خواص ضرب المصفوفات.

لنفترض أننا عرَّفنا المصفوفة: وقررنا «ضربها في كمية قياسية» هي العدد خمسة. لإكمال هذه العملية، سنأخذ كل عنصر من المصفوفة ، ونضربه في خمسة: وهو ما يعطينا:

يمكننا بسهولة ملاحظة تأثيرين لهذه العملية:

• رتبة المصفوفة المضروبة في عدد قياسي هي نفسها رتبة المصفوفة الأصلية (بمعنى أنها تحتوي على نفس عدد الصفوف والأعمدة).
• طُبقت العملية نفسها على كل عنصر (أي الضرب في خمسة في هذه الحالة).

يُعَدُّ ضرب المصفوفة في عدد قياسي عملية بسيطة وسهلة الفهم، كما أنها مفيدة عادة عند التعامل مع مسائل الجبر الخطي. وبدون مزيد من الدراسة، قد يظن البعض أن هذا النوع من العمليات الحسابية هو النوع الوحيد الذي يمكن تعريفه من ضرب المصفوفات. ولكن، توجد صورة أخرى لضرب المصفوفات يمكن تعريفها بوضوح، ولها خواص تختلف عن أي من خاصتي الضرب في عدد قياسي الموضحة أعلاه. بالإضافة إلى ذلك، تنطبق على هذا النوع الآخر من ضرب المصفوفات مجموعة من الخواص الجبرية التي يمكن دراستها بالمقارنة مع خواص الضرب في العمليات الجبرية التقليدية. لكن قبل أن نبدأ في دراسة بعض من هذه الخواص، سنتناول أولًا تعريف ضرب المصفوفات.

من السمات الشائعة في الجبر الخطي، لا سيما بالنسبة إلى الطلاب الذين يتعلمونه لأول مرة، حقيقة أن التعريفات عادة ما تبدو مجردة للغاية وأكثر تعقيدًا من المفاهيم التي تمثلها، وخاصة مع الأخذ في الاعتبار أن أغلب عمليات المصفوفات يمكن إجراؤها بطريقة مباشرة إلى حد ما. ولكي نوضح أن التعريف أعلاه ليس صعبًا كما قد يبدو للوهلة الأولى، سنعطي مثالًا.

افترض أن لدينا المصفوفتين:

نلاحظ أن مصفوفة رتبتها ، مصفوفة رتبتها . إذن، يجب أن تكون المصفوفة من الرتبة وبالتالي على الصورة: حيث العناصر المشار إليها بالرمز هي القيم المجهولة في الوقت الحالي.

لإيجاد عنصر الصف الأول والعمود الأول من ، سنميّز الصف الأول من والعمود الأول من :

بعد ذلك، نضرب العناصر الملونة معًا بترتيب كتابتها؛ ومن ثَمَّ نجمعها: . والآن يمكننا إدخال العنصر الأول في المصفوفة:

سنحسب الآن عنصر المصفوفة الذي يظهر في الصف الأول والعمود الثاني، عن طريق تمييز العناصر الموجودة في الصف الأول من والعمود الثاني من : ثم نجري العملية الحسابية .

نواصل هذه العملية ونوجد العنصر في الصف الثاني والعمود الأول من ، عن طريق تمييز الصف الثاني من والعمود الأول من : ثم نجري العملية الحسابية لنحصل على .

وأخيرًا، نميِّز الصف الثاني من والعمود الثاني من : ونجري العملية الحسابية النهائية ليصبح لدينا .

تُعد شروط ضرب المصفوفات مقيِّدة إلى حد كبير. فنحن نعلم أن إيجاد حاصل ضرب المصفوفتين لا يتحقق إلا إذا كانت المصفوفة رتبتها والمصفوفة رتبتها ، بمعنى أن عدد الأعمدة في المصفوفة هو نفسه عدد الصفوف في المصفوفة . إذا حاولنا عكس ترتيب عملية الضرب وحساب فهذا يعني أننا في الواقع نحاول ضرب مصفوفة رتبتها في مصفوفة رتبتها . هذا يعني أن لا تكون معرفة جيدًا إلا إذا كان .

وبالنسبة إلى المصفوفتين ، الموضحتين أعلاه، يمكننا أن نلاحظ أن معرفة جيدًا. وعلى الرغم من أن هذه الحالة ليست عامة، نلاحظ في هذه الحالة أيضًا أن المصفوفة معرفة جيدًا ورتبتها هي . وبذلك نحصل على:

مع ذلك، نادرًا ما تكون ، مُعرَّفتَيْن جيدًا بالنسبة مثل المصفوفتين أعلاه، ويمكننا أن نلاحظ على الفور أن لسبب بسيط هو أن المصفوفة رتبتها والمصفوفة رتبتها . هذه خاصية عامة لعملية ضرب المصفوفات، التي يشار إليها بأنها عملية «غير إبدالية».

عندما يكون تكون هذه هي النتيجة الواضحة؛ لأن المصفوفة ستكون رتبتها والمصفوفة ستكون رتبتها وهذا يعني أن التساوي مستحيل. لكن، إذا كان ، فستكون المصفوفة مصفوفة مربعة رتبتها والمصفوفة ستكون أيضًا مصفوفة مربعة رتبتها . وبناءً على هذا الوضع، من الممكن أن يتساوى كل من ، ؛ لأنهما من الرتبة نفسها. وعلى الرغم من وجود بعض أنواع المصفوفات ليست إبدالية تحت شروط معينة، فإن هذا لا ينطبق بصفة عامة.

يوضح المثالان بالأعلى أن بوجه عام لأي مصفوفتين. ولكن، هذا لا يعني بالضرورة أن ضرب المصفوفات ليس عملية إبدالية دائمًا. ففي الواقع، توجد أنواع من المصفوفات تكون إبدالية في عملية ضرب المصفوفات.

هذه الظاهرة الموضحة أعلاه لا تقتصر على المصفوفتين المحددتين ، ؛ إذ يمكننا في الواقع تعميم هذه النتيجة لوضع قاعدة لجميع المصفوفات القُطرية.

يمكننا توضيح هذه النظرية باختيار أي مصفوفتين قطريتين من الرتبة نفسها، فعل ما فعلناه مع المصفوفتين من الرتبة في المثال السابق. من المهم أن نلاحظ أن النظرية أعلاه تنص على أنه يجب أن يكون كلًّا من المصفوفة والمصفوفة مصفوفتين قُطريتين. على سبيل المثال، انظر المصفوفتين: حيث مصفوفة قُطرية، مصفوفة غير قُطرية. في هذا المثال، نجد أن ومن ثَمَّ يتضح لنا أن .

بالإضافة إلى المصفوفات القُطرية، توجد أنواع أخرى من المصفوفات الإبدالية، مثل أزواج المصفوفات القابلة للاستقطار في وقت واحد؛ (هذا موضوع يجب شرحه بشكل منفصل). توجد أيضًا بعض المصفوفات الخاصة التي تكون إبدالية مع كل مصفوفة أخرى ذات رتبة مطابقة.

على سبيل المثال، جميع المصفوفات التالية هي مصفوفات وحدة:

تتمثل إحدى الخواص الأساسية لمصفوفة الوحدة في أنها تكون إبدالية مع أي مصفوفة من الرتبة . على سبيل المثال، افترض أن لدينا مصفوفة الوحدة والمصفوفة:

وعليه، نجد أن:

بالمثل، نجد أن:

نلاحظ هنا أن بمعنى أن هاتين المصفوفتين إبداليتان. ومن المثير للاهتمام أن هذه الخاصية هي في الواقع نتيجة وجود شرط أقوى بكثير ينطبق على مصفوفات الوحدة.

إحدى خواص مصفوفة الوحدة هي أنها تترك أي مصفوفة دون تغيير بعد عملية الضرب، وهو ما يعني أنها إبدالية مع جميع المصفوفات التي لها نفس رتبتها. تستخدم مصفوفة الوحدة أيضًا لتحديد نوع آخر من المصفوفات الإبدالية. ورأينا بالفعل أن المصفوفتين القطريتان تكونا إبداليتين إذا كان لهما الرتبة نفسها، وأن أي مصفوفة تكون إبدالية بالنسبة إلى مصفوفة الوحدة. لكن، بالنسبة لمصفوفة مربعة ، قد تكون هناك مصفوفة أخرى مميزة تكون إبدالية مع هذه المصفوفة.

معكوس المصفوفة هو المصفوفة التي تنتج مصفوفة الوحدة عند دمجها مع في عملية ضرب المصفوفات. تلعب فكرة معكوس المصفوفة دورًا أساسيًّا في العمليات الجبرية الخطية لدرجة أن بعضًا من أفضل علماء الرياضيات ابتكروا طرقًا خاصة لحساب هذه المصفوفات، بما في ذلك نيوتن وجاوس وكيلي وهاميلتون. وعلى الرغم من أننا لن نوضح أي طرق لحساب معكوس المصفوفة في هذا الشارح، فيجب علينا أن نلاحظ أن معكوس المصفوفة غير موجود لجميع المصفوفات. لكي نتمكن من معرفة أي مصفوفات لها معكوس، علينا دراسة «محدد» المصفوفة المربعة، وهو بدوره موضوع مختلف تمامًا.

ثمة خاصية أخرى لمعكوس المصفوفة، وهي أنه وحيد إذا وجد. ومن ثم، فإن المصفوفة لها معكوس واحد فقط، حيث:

كما رأينا، المصفوفة تكون إبدالية مع معكوسها في عملية ضرب المصفوفات، في حين أنه لن يكون لمصفوفتين عامتين ، هذه الخاصية إلا إذا كان كل منهما مصفوفة قطرية (أو قابلة للاستقطار في وقت واحد، وهو موضوع خارج نطاق هذا الشارح).

الخواص الجبرية لمصفوفة الوحدة ومعكوس المصفوفة لها دور مفيد في حل مسائل الجبر الخطي، كما أنها تظهر في أغلب الأحيان في طرق حل أنظمة المعادلات الخطية. وعلى الرغم من أن المصفوفات تمثل شبكات مصفوفة من أعداد لها أي أبعاد اختيارية، فمن الممكن أن نتعامل مع عملياتها الحسابية باستخدام حيل جبرية بسيطة.

على الرغم من أننا تناولنا بعض الخواص الأساسية لضرب المصفوفات، ثمة نتيجة أخرى مهمة سنذكرها في هذا الشارح، والتي يمكن أن تبسط العديد من العمليات الحسابية في الجبر الخطي. سنتناول ذلك أولًا باستخدام مثال، ثم نضع نظرية عامة.

تعرف هذه الظاهرة بخاصية «التوزيع» في عملية ضرب المصفوفات بالنسبة إلى جمع المصفوفات. ويمكن تلخيص هذه الخاصية بالنظرية التالية.

في نص هذه النظرية، كان من الضروري تحديد رتب المصفوفات الثلاثة، للتأكد من أن جميع العمليات ممكنة. إذا كانت المصفوفتان ، من رتبتين مختلفتين، فسيكون من المستحيل تعريف جمع المصفوفتين . أيضًا، إذا كانت المصفوفة لا تحتوي على عدد أعمدة يساوي عدد الصفوف في المصفوفتين ، ، فلن نتمكن من حساب المصفوفة أو . عند التعامل مع المصفوفات، نجد أنه من الشائع جدًّا أن تكون الرتب محددة في أي تعريف أو نظرية؛ وذلك لأن عدم فعل ذلك قد يعني أنه لا يمكن إكمال العمليات الحسابية المتضمنة.

توجد العديد والعديد من خواص ضرب المصفوفات التي لم نستكشفها في هذا الشارح، وخاصة فيما يتعلق بإيجاد مدوِّر المصفوفة والضرب في عدد ثابت. وبالنسبة إلى المصفوفات المربعة تحديدًا، يعتبر ضرب المصفوفات مجالًا أساسيًّا يجب الانتباه إليه عند دراسة مفاهيم مهمة مثل المحددات. أحد أكثر الجوانب لضرب المصفوفات إثارة للفضول هو أن التعريف يبدو معقدًا إلى حد كبير، على الأقل بالنسبة إلى الأشخاص الذين يدرسون الجبر الخطي لأول مرة. وعلى عكس التعريف، تتسم الخواص الجبرية لضرب المصفوفات بأنها مباشرة إلى حد ما، وتشبه إلى حد كبير عملية الضرب في العمليات الجبرية التقليدية وذلك فيما عدا الفرق الأساسي المتعلق بخاصية الإبدال. يوجد أيضًا العديد من أنواع المصفوفات التي لها خواص جبرية خاصة فيما يتعلق بالضرب، ولقد تناولنا بالفعل المصفوفات القطرية ومصفوفة الوحدة ومعكوس المصفوفة. وعلى وجه التحديد، تتميز المصفوفات المتماثلة والمصفوفات القابلة للاستقطار بخواص جبرية محسَّنة تجعل دراستها مثيرة للاهتمام.