شارح الدرس: الوسط الحسابي الرياضيات

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد الوسط الحسابي لأي حدين غير متتالين في متتابعة حسابية.

يجب أن يكون مفهوم إيجاد الوسط الحسابي لعددين أو أكثر مألوفًا لك؛ حيث نستخدم هذا القياس لإيجاد متوسط مجموعة من البيانات.

تعريف: الوسط الحسابي لعددين

الوسط الحسابي للعددين 𞸎١، 𞸎٢، يساوي: 𞸎+𞸎٢.١٢

دعونا نبدأ بتوضيح تطبيق هذه الصيغة.

مثال ١: إيجاد مجهولين باستخدام معلومات عن وسطهما الحسابي

إذا كان الوسط الحسابي بين 󰏡، 𞸁 هو ٩ والوسط الحسابي بين ٧󰏡، ٥𞸁 هو ١٥، فإن 𞸁󰏡=.

الحل

تذكر أن الوسط الحسابي للعددين 𞸎١، 𞸎٢ يساوي: 𞸎+𞸎٢.١٢

نعلم من المعطيات أن الوسط الحسابي للعددين 󰏡، 𞸁 هو ٩، إذن: 󰏡+𞸁٢=٩󰏡+𞸁=٨١.

وبالمثل، الوسط الحسابي للعددين ٧󰏡، ٥𞸁 هو ١٥، إذن: ٧󰏡+٥𞸁٢=٥١٧󰏡+٥𞸁=٠٣.

لحل هاتين المعادلتين الآنيتين بالحذف، نضرب المعادلة الأولى في ٥: ٥󰏡٥𞸁=٠٩.

وبإضافة هذه المعادلة إلى المعادلة الثانية، سنحذف المتغير 𞸁: ٠٩٥𞸁=٥󰏡٠٣+٥𞸁=٧󰏡٠٦،=٢󰏡٠٣٫=󰏡+

وبما أن 󰏡+𞸁=٨١؛ ٠٣+𞸁=٨١𞸁=٨٤.

تذكر أن هدفنا هو حساب قيمة 𞸁󰏡. بالتعويض بـ 󰏡=٠٣، 𞸁=٨٤ في هذا المقدار، نحصل على: ٨٤(٠٣)=٨٧.

إذن: 𞸁󰏡=٨٧.

يمكننا تعميم فكرة الوسط الحسابي على الحدود في المتتابعة الحسابية.

تعريف: ن من الأوساط الحسابية

إذا كان لدينا العددان 󰏡، 𞸁؛ فإنه يوجد 𞸍 من الأوساط الحسابية بين 󰏡، 𞸁 هي القيم في المتتابعة الحسابية من 󰏡 إلى 𞸁 حيث بينهما 𞸍 من الحدود.

لديك المتتابعة الحسابية البسيطة (٤،٨،٢١،٦١،٠٢،٤٢). في هذه الحالة، الحدود (٨،٢١،٦١،٠٢) هي ٤ أوساط حسابية بين ٤ و٢٤.

وبوجه خاص، الوسط الحسابي للحدين الثاني والرابع يساوي: 𞸇+𞸇٢=٨+٦١٢=٢١=𞸇.٢٤٣

الحد الثالث هو الوسط الحسابي للحدين الثاني والرابع في أي متتابعة حسابية. في الحقيقة، إذا أخذنا أي ثلاثة حدود متتالية في متتابعة حسابية، فإن الحد الأوسط هو الوسط الحسابي بين الحدين الآخرين. نعمم هذا المفهوم عندما نعرِّف الحدود بين أي حدين في متتابعة حسابية لتصبح الأوساط الحسابية.

نلاحظ العلاقة بين رقم أو رتبة الحد وترتيب الأوساط الحسابية: الوسط الأول هو الحد الثاني في المتتابعة الحسابية، والوسط الحسابي الرابع هو الحد الخامس في المتتابعة، وهكذا. بصفة عامة، الوسط الحسابي الذي ترتيبه ا هو الحد ذو الرتبة (𞸍+١) في المتتابعة الحسابية.

سنوضح الآن كيف نستخدم هذا التعريف لإيجاد الأوساط الحسابية بين عددين.

مثال ٢: إيجاد عدد معين من الأوساط الحسابية بين عددين

أوجد ٥ أوساط حسابية بين ٧ و١٩.

الحل

لإيجاد ٥ أوساط حسابية بين ٧ و١٩، علينا تحديد المتتابعة الحسابية من ٧ إلى ١٩ حيث يوجد ٥ حدود بينهما.

نتذكر أن الحد العام لمتتابعة حسابية حدها الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃 هو: 𞸇=𞸇+𞸃(𞸍١).𞸍١

لكي نوجد الحدود بين ٧ و١٩، الخطوة الأولى هي إيجاد أساس المتتابعة 𞸃. وبما أن هناك ٥ حدود بين ٧ و١٩، فإننا نعلم أن ٧ هو الحد الأول و١٩ هو الحد السابع في المتتابعة الحسابية. بالتعويض بـ 𞸇=٧١ ،𞸇=٩١٧، 𞸍=٧ في صيغة الحد ا نحصل على: ٩١=٧+𞸃(٧١)٩١=٧+٦𞸃٢١=٦𞸃𞸃=٢.

بما أن الحد الأول هو ٧ وأساس المتتابعة هو ٢، فإن المتتابعة الحسابية هي ٧، ٩، ١١، ١٣، ١٥، ١٧، ١٩. نلاحظ أن هناك ٥ حدود بالضبط بين ٧ و١٩، كما هو متوقع.

ومن ثَمَّ، فإن الـ ٥ أوساط حسابية بين ٧ و١٩ هي: (٩،١١،٣١،٥١،٧١).

في المثال التالي، سنوضح كيف نستخدم معلومات عن الأوساط الحسابية في المتتابعات لتكوين معادلات آنية. ستتيح لنا حلول هذه المعادلات الآنية تعريف المتتابعة الحسابية.

مثال ٣: إيجاد متتابعة حسابية باستخدام معلومات عن الأوساط الحسابية

إذا كان مجموع الوسط الثاني والوسط الرابع من متتابعة حسابية يساوي ١٦، وكان الوسط السابع يزيد عن الوسط الثالث بمقدار ٨، فإن المتتابعة هي .

الحل

الحد العام لمتتابعة حسابية حدها الأول 𞸇١ وأساسها 𞸃 يُعطَى بواسطة 𞸇=𞸇+𞸃(𞸍١)𞸍١. وبما أن الوسط الحسابي لا يتضمن الحد الأول في المتتابعة، فإن الوسط الثاني يناظر الحد الثالث في المتتابعة 𞸇٣: 𞸇=𞸇+٢𞸃.٣١

وبالمثل، يمكننا تكوين تعبيرات بدلالة 𞸇١، 𞸃 لكل من الوسط الثالث 󰁓𞸇󰁒٤، والوسط الرابع 󰁓𞸇󰁒٥، والوسط السابع 󰁓𞸇󰁒٨، لنحصل على: 𞸇=𞸇+٣𞸃،𞸇=𞸇+٤𞸃،𞸇=𞸇+٧𞸃.٤١٥١٨١

نكوِّن الآن معادلتين آنيتين باستخدام المعلومات المعطاة. بما أن مجموع الوسطين الثاني والرابع يساوي ١٦، فهذا يعطينا المعادلة 𞸇+𞸇=٦١٣٥ والتي بدورها تعطينا: 󰁓𞸇+٢𞸃󰁒+󰁓𞸇+٤𞸃󰁒=٦١٢𞸇+٦𞸃=٦١.١١١

وبما أن الوسط السابع يزيد عن الوسط الثالث بمقدار ٨، فإننا نكوِّن معادلة ثانية باستخدام 𞸇+٨=𞸇٤٨: 󰁓𞸇+٣𞸃󰁒+٨=󰁓𞸇+٧𞸃󰁒٣𞸃+٨=٧𞸃٨=٤𞸃٢=𞸃.١١

بالتعويض بـ 𞸃=٢ في المعادلة الأولى: ٢𞸇+٦(٢)=٦١٢𞸇+٢١=٦١٢𞸇=٤𞸇=٢.١١١١

ومن ثَمَّ، الحد الأول في هذه المتتابعة هو ٢. إذن، المتتابعة الحسابية التي حدها الأول هو ٢ وأساسها يساوي ٢ هي: ٢،٤،٦.

في المثال التالي، سنستخدم المعلومات المُعطاة عن الأوساط الحسابية لتحديد عدد الأوساط الحسابية بين قيمتين.

مثال ٤: إيجاد عدد الأوساط الحسابية بين عددين بمعلومية مجموع وسطين

أوجد عدد الأوساط الحسابية بين ٨ و٢٣٨ على أن يكون مجموع الوسط الثاني والوسط السادس ٩٦.

الحل

نتذكر أن عدد الأوساط الحسابية بين قيمتين يساوي عدد الحدود بين الحدين المُعطيَين في المتتابعة الحسابية. تذكر أن الصورة العامة للمتتابعة الحسابية هي 𞸇=𞸇+𞸃(𞸍١)𞸍١، حيث 𞸇١ هو الحد الأول، 𞸃 هو أساس المتتابعة الحسابية. نعلم أيضًا أن الحد الأول في المتتابعة ليس وسطًا حسابيًّا؛ لذا الوسط الذي ترتيبه ا هو الحد ذو الرتبة (𞸍+١)، 𞸇𞸍+١. ومن ثَمَّ، يكون الوسط الثاني هو الحد الثالث 𞸇٣، والوسط السادس هو الحد السابع 𞸇٧. إذن، يمكن كتابة الوسطين الثاني والسادس بدلالة الحد الأول ٨، والأساس 𞸃: 𞸇=٨+٢𞸃،𞸇=٨+٦𞸃.٣٧

بما أن مجموع الوسطين الثاني والسادس ٩٦: (٨+٢𞸃)+(٨+٦𞸃)=٦٩٦١+٨𞸃=٦٩٨𞸃=٠٨𞸃=٠١.

لإيجاد عدد الحدود بين ٨ و٢٣٨، يمكننا التعويض بـ 𞸇=٨١ و𞸃=٠١ في صيغة الحد ا للمتتابعة الحسابية: 𞸇=𞸇+𞸃(𞸍١).𞸍١

بما أن الحد الأخير في المتتابعة هو ٢٣٨، فإنه يمكننا التعويض بـ 𞸇=٨٣٢𞸍: ٨٣٢=٨+٠١(𞸍١)٨٣٢=٨+٠١𞸍٠١٠٤٢=٠١𞸍𞸍=٤٢.

هناك ٢٤ حدًّا في المتتابعة، وهو ما يعني أن هناك ٤٢٢=٢٢ حدًّا بين ٨ و٢٣٨.

وبناءً على ذلك، فإن عدد الأوساط الحسابية بين ٨ و٢٣٨ هو ٢٢.

في المثال الأخير، علينا مرة أخرى حساب عدد الأوساط الحسابية بين قيمتين مُعطاتين.

مثال ٥: إيجاد عدد الأوساط الحسابية بين عددين باستخدام معلومات عن مجموع الأوساط الحسابية

أوجد عدد الأوساط الحسابية بين ٢ و٢٥٤، إذا كانت النسبة بين مجموع أول وسطين ومجموع آخر وسطين ١١٥٤٢.

الحل

عدد الأوساط الحسابية بين قيمتين يساوي عدد الحدود بين الحدين الأول والأخير في المتتابعة الحسابية، حيث الصورة العامة للمتتابعة الحسابية هي 𞸇=𞸇+𞸃(𞸍١)𞸍١. إذا افترضنا أن 𞸇=٢١، فإنه يمكننا كتابة أول وسطين بدلالة الحد الأول 𞸇١، وأساس المتتابعة الحسابية 𞸃. الوسط الأول هو الحد الثاني في المتتابعة. إذن: 𞸇=٢+𞸃.٢

والوسط الثاني هو الحد الثالث في المتتابعة. إذن: 𞸇=٢+٢𞸃.٣

نحن نعلم النسبة بين مجموع أول وسطين ومجموع آخر وسطين. يمكننا جمع التعبيرين الدالين على الوسطين الأول والثاني لنحصل على التعبير التالي لمجموع أول وسطين: 𞸇+𞸇=(٢+𞸃)+(٢+٢𞸃)=٤+٣𞸃.٢٣

نتبع عملية مشابهة لآخر وسطين. لكننا لا نعلم رقم الحد لآخر وسطين؛ لذا نكتبهما بدلالة الحد الأخير وأساس المتتابعة الحسابية. الحد الثاني من نهاية المتتابعة سيكون الوسط الحسابي الأخير. ويمكن كتابته أيضًا بدلالة علاقته بالحد الأخير باعتباره: ٤٥٢𞸃.

الوسط الثاني من نهاية المتتابعة هو الحد الذي قبل الوسط الأخير. يمكننا كتابة ذلك التعبير كما يلي: (٤٥٢𞸃)𞸃=٤٥٢٢𞸃.

التعبير الدال على مجموع آخر وسطين هو: (٤٥٢𞸃)+(٤٥٢٢𞸃)=٨٠٥٣𞸃.

نستخدم هذه التعبيرات لتكوين النسبة المكافئة: ٤+٣𞸃٨٠٥٣𞸃=١١٥٤٢.

لإيجاد قيمة 𞸃، نستخدم الضرب التبادلي ثم نوزع الأقواس وهو ما يعطينا: ٤٥٢(٤+٣𞸃)=١١(٨٠٥٣𞸃)٠٨٩+٥٣٧𞸃=٨٨٥٥٣٣٨٦٧𞸃=٨٠٦٤𞸃=٦.

لإيجاد عدد الحدود بين ٢ و٢٥٤، يمكننا التعويض بـ 𞸇=٢١ و𞸃=٦ في صيغة الحد ا للمتتابعة الحسابية: 𞸇=𞸇+𞸃(𞸍١).𞸍١

بما أن الحد الأخير في المتتابعة هو ٢٥٤، فسنعوض بـ 𞸇=٤٥٢𞸍: ٤٥٢=٢+٦(𞸍١)٤٥٢=٢+٦𞸍٦٨٥٢=٦𞸍𞸍=٣٤.

وبما أن هناك ٤٣ حدًّا في المتتابعة، فإن عدد الحدود بين ٢ و٢٥٤ هو ٣٤٢=١٤.

ومنَ ثَمَّ، يكون عدد الأوساط الحسابية بين اثنين و٢٥٤ هو ٤١.

دعونا نختم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة المُستخلَصة من الشارح.

النقاط الرئيسية

  • إذا كان لدينا العددان 󰏡، 𞸁، فإن يوجد 𞸍 من الأوساط الحسابية بين 󰏡، 𞸁 هي القيم في المتتابعة الحسابية من 󰏡 إلى 𞸁 حيث بينهما 𞸍 من الحدود.
  • في أي متتابعة حسابية تكون الصورة العامة 𞸇=𞸇+𞸃(𞸍١)𞸍١ حيث القيم من 𞸇٢ إلى 𞸇𞸍١ يطلق عليها الأوساط الحسابية. الوسط الحسابي 𞸊 يساوي الحد (𞸊+١).
  • بما أن الأوساط الحسابية هي جميع الحدود في متتابعة حسابية باستثناء الحدين الأول والأخير، فإنه بالنسبة للمتتابعة التي تتضمن عدد 𞸍 من الحدود، يكون هناك عدد 𞸍٢ من الأوساط الحسابية بين 𞸇١، 𞸇𞸍.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.