شارح الدرس: الوسط الحسابي الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

مثال ١: إيجاد مجهولين باستخدام معلومات عن وسطهما الحسابي

إذا كان الوسط الحسابي بين ، هو ٩ والوسط الحسابي بين ، هو ١٥، فإن .

الحل

تذكر أن الوسط الحسابي للعددين ، يساوي:

نعلم من المعطيات أن الوسط الحسابي للعددين ، هو ٩، إذن:

وبالمثل، الوسط الحسابي للعددين ، هو ١٥، إذن:

لحل هاتين المعادلتين الآنيتين بالحذف، نضرب المعادلة الأولى في :

وبإضافة هذه المعادلة إلى المعادلة الثانية، سنحذف المتغير :

وبما أن ؛

تذكر أن هدفنا هو حساب قيمة . بالتعويض بـ ، في هذا المقدار، نحصل على:

إذن: .

مثال ٢: إيجاد عدد معين من الأوساط الحسابية بين عددين

أوجد ٥ أوساط حسابية بين ٧ و١٩.

الحل

لإيجاد ٥ أوساط حسابية بين ٧ و١٩، علينا تحديد المتتابعة الحسابية من ٧ إلى ١٩ حيث يوجد ٥ حدود بينهما.

نتذكر أن الحد العام لمتتابعة حسابية حدها الأول وأساسها هو:

لكي نوجد الحدود بين ٧ و١٩، الخطوة الأولى هي إيجاد أساس المتتابعة . وبما أن هناك ٥ حدود بين ٧ و١٩، فإننا نعلم أن ٧ هو الحد الأول و١٩ هو الحد السابع في المتتابعة الحسابية. بالتعويض بـ ،، في صيغة الحد نحصل على:

بما أن الحد الأول هو ٧ وأساس المتتابعة هو ٢، فإن المتتابعة الحسابية هي ٧، ٩، ١١، ١٣، ١٥، ١٧، ١٩. نلاحظ أن هناك ٥ حدود بالضبط بين ٧ و١٩، كما هو متوقع.

ومن ثَمَّ، فإن الـ ٥ أوساط حسابية بين ٧ و١٩ هي: .

مثال ٣: إيجاد متتابعة حسابية باستخدام معلومات عن الأوساط الحسابية

إذا كان مجموع الوسط الثاني والوسط الرابع من متتابعة حسابية يساوي ١٦، وكان الوسط السابع يزيد عن الوسط الثالث بمقدار ٨، فإن المتتابعة هي .

الحل

الحد العام لمتتابعة حسابية حدها الأول وأساسها يُعطَى بواسطة . وبما أن الوسط الحسابي لا يتضمن الحد الأول في المتتابعة، فإن الوسط الثاني يناظر الحد الثالث في المتتابعة :

وبالمثل، يمكننا تكوين تعبيرات بدلالة ، لكل من الوسط الثالث ، والوسط الرابع ، والوسط السابع ، لنحصل على:

نكوِّن الآن معادلتين آنيتين باستخدام المعلومات المعطاة. بما أن مجموع الوسطين الثاني والرابع يساوي ١٦، فهذا يعطينا المعادلة والتي بدورها تعطينا:

وبما أن الوسط السابع يزيد عن الوسط الثالث بمقدار ٨، فإننا نكوِّن معادلة ثانية باستخدام :

بالتعويض بـ في المعادلة الأولى:

ومن ثَمَّ، الحد الأول في هذه المتتابعة هو ٢. إذن، المتتابعة الحسابية التي حدها الأول هو ٢ وأساسها يساوي ٢ هي:

مثال ٤: إيجاد عدد الأوساط الحسابية بين عددين بمعلومية مجموع وسطين

أوجد عدد الأوساط الحسابية بين ٨ و٢٣٨ على أن يكون مجموع الوسط الثاني والوسط السادس ٩٦.

الحل

نتذكر أن عدد الأوساط الحسابية بين قيمتين يساوي عدد الحدود بين الحدين المُعطيَين في المتتابعة الحسابية. تذكر أن الصورة العامة للمتتابعة الحسابية هي ، حيث هو الحد الأول، هو أساس المتتابعة الحسابية. نعلم أيضًا أن الحد الأول في المتتابعة ليس وسطًا حسابيًّا؛ لذا الوسط الذي ترتيبه هو الحد ذو الرتبة ، . ومن ثَمَّ، يكون الوسط الثاني هو الحد الثالث ، والوسط السادس هو الحد السابع . إذن، يمكن كتابة الوسطين الثاني والسادس بدلالة الحد الأول ٨، والأساس :

بما أن مجموع الوسطين الثاني والسادس ٩٦:

لإيجاد عدد الحدود بين ٨ و٢٣٨، يمكننا التعويض بـ و في صيغة الحد للمتتابعة الحسابية:

بما أن الحد الأخير في المتتابعة هو ٢٣٨، فإنه يمكننا التعويض بـ :

هناك ٢٤ حدًّا في المتتابعة، وهو ما يعني أن هناك حدًّا بين ٨ و٢٣٨.

وبناءً على ذلك، فإن عدد الأوساط الحسابية بين ٨ و٢٣٨ هو ٢٢.

مثال ٥: إيجاد عدد الأوساط الحسابية بين عددين باستخدام معلومات عن مجموع الأوساط الحسابية

أوجد عدد الأوساط الحسابية بين ٢ و٢٥٤، إذا كانت النسبة بين مجموع أول وسطين ومجموع آخر وسطين .

الحل

عدد الأوساط الحسابية بين قيمتين يساوي عدد الحدود بين الحدين الأول والأخير في المتتابعة الحسابية، حيث الصورة العامة للمتتابعة الحسابية هي . إذا افترضنا أن ، فإنه يمكننا كتابة أول وسطين بدلالة الحد الأول ، وأساس المتتابعة الحسابية . الوسط الأول هو الحد الثاني في المتتابعة. إذن:

والوسط الثاني هو الحد الثالث في المتتابعة. إذن:

نحن نعلم النسبة بين مجموع أول وسطين ومجموع آخر وسطين. يمكننا جمع التعبيرين الدالين على الوسطين الأول والثاني لنحصل على التعبير التالي لمجموع أول وسطين:

نتبع عملية مشابهة لآخر وسطين. لكننا لا نعلم رقم الحد لآخر وسطين؛ لذا نكتبهما بدلالة الحد الأخير وأساس المتتابعة الحسابية. الحد الثاني من نهاية المتتابعة سيكون الوسط الحسابي الأخير. ويمكن كتابته أيضًا بدلالة علاقته بالحد الأخير باعتباره:

الوسط الثاني من نهاية المتتابعة هو الحد الذي قبل الوسط الأخير. يمكننا كتابة ذلك التعبير كما يلي:

التعبير الدال على مجموع آخر وسطين هو:

نستخدم هذه التعبيرات لتكوين النسبة المكافئة:

لإيجاد قيمة ، نستخدم الضرب التبادلي ثم نوزع الأقواس وهو ما يعطينا:

لإيجاد عدد الحدود بين ٢ و٢٥٤، يمكننا التعويض بـ و في صيغة الحد للمتتابعة الحسابية:

بما أن الحد الأخير في المتتابعة هو ٢٥٤، فسنعوض بـ :

وبما أن هناك ٤٣ حدًّا في المتتابعة، فإن عدد الحدود بين ٢ و٢٥٤ هو .

ومنَ ثَمَّ، يكون عدد الأوساط الحسابية بين اثنين و٢٥٤ هو ٤١.