شارح الدرس: التمثيلات البيانية للسرعة مقابل الزمن العلوم • الصف الثالث الإعدادي

لاحظ أنه بما أن سرعة هذا الجسم ثابتة، فسنحصل على قيمة السرعة نفسها في كل مرة نُجري فيها هذا القياس.

والآن، دعونا نمثِّل هذه القياسات على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن.

سنبدأ بالقياسات التي اُخذت عند الزمن ٠ ثانية. وسرعة الجسم في هذا الزمن تساوي ٣ م/ث. لتمثيل ذلك، نبحث في محور الزمن (أو المحور ) عن القيمة ٠ ث. وعند هذا الموضع الأفقي، ننتقل لأعلى على التمثيل البياني حتى نصل إلى ارتفاع على محور السرعة (أو المحور ) يناظر ٣ م/ث. ثم نضع علامة مشتركة في هذا الموضع، حيث يتقاطع الخط الرأسي الذي يمر بنقطة «الزمن ٠ ث» مع الخط الأفقي الذي يمر بنقطة «السرعة ٣ م/ث».

سنفكر الآن في القياس الآتي، الذي أُجري عند زمن مقداره ثانية واحدة. مرة أخرى، سرعة الجسم تساوي ٣ م/ث. نبحث على محور الزمن في التمثيل البياني عن القيمة ١ ث. ثم نتبع خطًّا رأسيًّا لأعلى من هذا الموضع حتى نصل إلى ارتفاع يناظر ٣ م/ث على محور السرعة، حيث يتقاطع الخط الأفقي الذي يمر عبر «السرعة ٣ م/ث» مع الخط الرأسي الذي يمر عبر «الزمن ١ ث».

بتطبيق العملية نفسها على القياسات الأربعة المتبقية، نحصل على التمثيل البياني الآتي لسرعة الجسم مقابل الزمن.

يُمكننا أن نرسم خطًّا يمر عبر النقاط ليساعدنا في توضيح سلوك الجسم. في هذه الحالة، تقع جميع النقاط عند الارتفاع نفسه، أو عند قيمة السرعة نفسها، حيث يتحرَّك الجسم بسرعة ثابتة، ومن ثم فإن السرعة المَقيسة هي نفسها عند كل قيمة زمنية. هذا يعني أن خط الاتجاه سيكون عبارة عن خط أفقي يمر بالنقاط كلها.

تنطبق هذه الحقيقة على الخطوط الأفقية بصورة عامة. فأيُّ جسم يتحرَّك بسرعة ثابتة طوال الفترة الزمنية التي تُقاس فيها سرعته، ستكون له قيمة السرعة نفسها عند جميع قيم الزمن المَقيسة. وهذا يعني أن جميع النقاط الممثَّلة على التمثيل البياني لسرعة الجسم مقابل الزمن ستقع عند نفس الارتفاع على محور السرعة، ومن ثمَّ يكون الخط المار بهذه النقاط خطًّا أفقيًّا.

يمكننا إذن تمثيل حركة أيِّ جسم يتحرَّك بسرعة ثابتة على تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن بخط أفقي. ويمكننا أيضًا قلب هذه العبارة بقولنا إن أيَّ خط أفقي على تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن يمثِّل حركة جسم يتحرَّك بسرعة ثابتة.

تزداد قيمة الزمن من اليسار إلى اليمين على طول المحور الأفقي، أو محور الزمن. فكلما اتجهت النقطة يمينًا على التمثيل البياني، زادت قيمة الزمن التي تمثِّلها. وبالمثل، تزداد السرعة من أسفل إلى أعلى على المحور الرأسي، أو محور السرعة. فكلما ارتفعت النقطة على التمثيل البياني، زادت قيمة السرعة التي تمثِّلها.

إذا كان لدينا خط أفقي يمثِّل حركة ذات سرعة ثابتة، فكلما ارتفع هذا الخط على التمثيل البياني، زادت تلك السرعة الثابتة للجسم.

لنفترض أن لدينا التمثيل البياني الآتي للسرعة مقابل الزمن، الذي يوضح حركة جسمين يتحرَّك كلٌّ منهما بسرعة ثابتة.

يوضِّح التمثيل البياني خطين مستقيمين أفقيين، يمثِّل كلٌّ منهما جسمًا مختلفًا. وحتى دون وجود أيِّ أعداد على المحورين، يمكننا أن ننظر إلى هذا التمثيل البياني ببساطة ونستنتج أن الخط الأزرق يمثِّل جسمًا يتحرَّك بسرعة أكبر. وهذا لأن الخط الأزرق أكثر ارتفاعًا من الخط الأحمر على التمثيل البياني.

لنلقِ نظرة على مثال.

مثال ٢: تحديد أيُّ خط مستقيم على تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن يُمثِّل السرعة الثابتة الكبرى

أيُّ خط مُلوَّن يوضِّح الجسم الذي له أكبر سرعة؟

1. البرتقالي
2. الأزرق
3. الأحمر

الحل

التمثيل البياني الموضَّح في السؤال يُمثِّل السرعة على المحور مقابل الزمن على المحور ، ما يعني أنه تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن.

يوضِّح التمثيل البياني ثلاثة خطوط مستقيمة أفقية، يمثِّل كلٌّ منها حركة جسم مختلف. وبما أن جميع الخطوط أفقية، فهذا يعني أن كل جسم من الأجسام الثلاثة يتحرَّك بسرعة ثابتة.

المطلوب منا هو تحديد الخط الذي يمثِّل الجسم ذا السرعة الكبرى.

يمكننا أن نتذكر أنه كلما ارتفع الخط على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن، زادت القيمة المُناظِرة له على محور السرعة. وهذا يعني أنه كلما ارتفع الخط لأعلى، زادت السرعة التي يمثِّلها.

في هذا الشكل، الخط البرتقالي هو الأكثر انخفاضًا. ولذا، يُمثِّل هذا الخط أبطأ جسم متَحرَّك.

الخط الأزرق أعلى من الخط البرتقالي، وبالتالي يتحرَّك الجسم المُمثَّل بالخط الأزرق بسرعة أكبر من الجسم الممثَّل بالخط البرتقالي.

الخط الأحمر هو أعلى خط بين الخطوط الثلاثة. وهذا يعني أن الجسم الممثَّل بالخط الأحمر يتحرَّك بسرعة أكبر من الجسمين الآخرين.

وبالتالي، إجابة هذا السؤال هي أن الجسم ذا السرعة الكبرى مُمثَّل بالخط الأحمر. وهذه هي الإجابة المعطاة في الخيار (ج).

التمثيل البياني في هذا المثال الأخير لم يتضمن وحدات أو مقياسًا على محور الزمن أو محور السرعة. وهذا يعني أننا لم نتمكن من قراءة قِيَم الزمن أو السرعة الفعلية للأجسام الثلاثة. لكنَّ كلَّ ما أمكننا فعله هو تحديدُ إذا ما كان أحد الأجسام أسرع من الآخر.

لقد رأينا سابقًا كيف يمكننا أن نأخذ قيمًا محددة للزمن والسرعة، ونُمثِّلها على تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن. ولكي نعرف مكان رسم النقاط، نحتاج إلى وجود مقياس على محور الزمن ومحور السرعة.

وبالطريقة نفسها، إذا كان لدينا تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن يتضمن مقاييس مرقَّمة على المحورين، يمكننا استخدام هذه المقاييس لقراءة قيم الزمن والسرعة المُناظِرة للنقاط أو الخطوط الممثَّلة على التمثيل البياني.

انظر إلى التمثيل البياني الآتي للسرعة مقابل الزمن، الذي يوضِّح نقطة واحدة فقط.

تتضمن هذه النقطة قيمتين: قيمة زمن، بمعلومية موضعها على محور الزمن؛ وقيمة سرعة، بمعلومية موضعها على محور السرعة. قيمة الزمن هي الزمن الذي اُجري فيه هذا القياس. وقيمة السرعة هي السرعة التي قِيسَت عند ذلك الزمن.

لكي نقرأ قيمة الزمن التي تمثِّلها النقطة، ننتقل رأسيًّا لأسفل من موضع النقطة حتى نصل إلى محور الزمن كما هو موضَّح بالأسفل.

قيمة الزمن هي القيمة الموضَّحة على محور الزمن عند الموضع الذي يتقاطع فيه المحور مع الخط الرأسي. وفي هذه الحالة، تساوي القيمة ٤ ثوانٍ، مما يعني أن هذا القياس أُجري عند الزمن ٤ ثوانٍ.

ولكي نقرأ قيمة السرعة التي تمثِّلها النقطة، يمكننا تتبُّع المسافة أفقيًّا من هذه النقطة حتى نصل إلى محور السرعة، كما هو موضَّح بالأسفل.

قيمة السرعة هي القيمة الموضَّحة على محور السرعة مقابل الزمن عند الموضع الذي يتقاطع فيه المحور مع الخط الأفقي. وفي هذه الحالة، تساوي القيمة متران لكل ثانية مما يعني أن سرعة الجسم عند إجراء هذا القياس كانت تساوي متران لكل ثانية.

إذا كان لدينا تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن يوضِّح حركة ذات سرعة ثابتة، فإننا نعلم أنها ستُمثَّل بخط أفقي. على سبيل المثال، انظر إلى التمثيل البياني الآتي.

يمكننا اختيار أيِّ نقطة على هذا الخط ثم نتجه رأسيًّا إلى محور الزمن لإيجاد قيمة الزمن المرتبطة بموضع معين على طول هذا الخط.

وبالمثل، يمكننا اختيار أيِّ نقطة على الخط ثم نتجه أفقيًّا إلى محور السرعة لإيجاد سرعة الجسم عند هذه اللحظة. وبما أن سرعة الحركة ثابتة، ولذا يوضِّح التمثيل البياني خطًّا مستقيمًا أفقيًّا، فإن أيَّ نقطة نختارها على الخط ستعطينا القيمة نفسها على محور السرعة. وهذا يعني، من الناحية الفيزيائية، أن قيمة السرعة للجسم هي نفسها عند جميع قيم الزمن.

إذا أردنا إيجاد سرعة جسم من خلال تمثيل بياني كهذا تُمثَّل فيه السرعة بخط مستقيم أفقي، فإنَّ تتبُّع نقطة محددة إلى المحور يصبح أمرًا غير ضروري. حيث تصل جميع النقاط على الخط المستقيم إلى القيمة نفسها، وهي القيمة الموضَّحة على محور السرعة عند النقطة التي يلتقي عندها مع الخط الأفقي.

بالنظر إلى ذلك التمثيل البياني مرة أخرى، يمكننا تحديد القيمة على محور السرعة المُمثَّلة بالنقطة التي يتقاطع عندها الخط الأفقي مع المحور.

ويشير سهم أحمر على التمثيل البياني إلى الموضع الذي يلتقي عنده الخط الأفقي مع محور السرعة. يمكننا ملاحظة أن هذا الموضع عند القيمة ٤ م/ث. وبهذا نكون قد عرفنا أن الجسم يتحرَّك بسرعة ثابتة مقدارها ٤ م/ث.

لنلقِ نظرة على مثال آخر.

مثال ٣: قراءة قيمة سرعة ثابتة على تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن

ما السرعة الموضَّحة على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن؟

الحل

يوضِّح هذا السؤال تمثيلًا بيانيًّا للسرعة مقابل الزمن، ويطلب منا معرفة السرعة الموضحة على التمثيل البياني.

يمكننا أن نلاحظ أن التمثيل البياني يوضِّح خطًّا أفقيًّا. وبإمكاننا تذكُّر أن هذا يُمثِّل حركةً بسرعة ثابتة.

لكي نقرأ قيمة السرعة، علينا تحديد ارتفاع هذا الخط على محور السرعة، أيِ الموضع على محور السرعة الذي يقطع عنده الخط هذا المحور.

يمكننا تحديد هذا الموضع كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

يشير السهم الأزرق إلى الموضع الذي يلتقي عنده الخط الأفقي مع محور السرعة. ويمكننا ملاحظة أن هذا الموضع عند القيمة ٣ م/ث، ونحن نعلم أن هذه القيمة تمثِّل السرعة التي يوضحها التمثيل البياني.

وبذلك، تكون إجابة هذا السؤال هي أن السرعة الموضَّحة على التمثيل البياني تساوي ٣ م/ث.

قد تتوفر لدينا أحيانًا معلومات عن حركة جسم في صورة تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن. ويمكننا أن نتذكر أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يوضِّح المسافة على المحور مقابل الزمن على المحور .

في هذه الحالة، يمكننا استخدام المعلومات المعطاة في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن لمعرفة شكل التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن للجسم. وسوف نرى كيف نفعل ذلك في عددٍ من الحالات البسيطة.

لقد رأينا كيف أن الخط الأفقي على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن يمثِّل حركةً ذات سرعة ثابتة. بعبارة أخرى، لا تتغير سرعة الجسم بمرور الزمن. إذن ماذا يعني هذا الخط الأفقي على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن؟

بالمنطق نفسه، فإن الخط الأفقي على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن يمثِّل جسمًا لا تتغير قيمة مسافته بمرور الزمن.

يمكننا أن نتذكر أن السرعة تُعرف بأنها المسافة المقطوعة لكل وحدة زمن. وهذا يعني أنه إذا كان لدينا جسم له قيمة مسافة لا تتغير في الفترة الزمنية التي نقيس خلالها تلك المسافة، فإن سرعة هذا الجسم تساوي ٠ م/ث؛ أي إنه لا يتحرَّك.

انظر إلى التمثيل البياني الآتي للمسافة مقابل الزمن.

جميع الخطوط الثلاثة على هذا التمثيل البياني أفقية. ومن ثمَّ، تمثِّل الخطوط الثلاثة أجسامًا لا تتحرَّك خلال الفترة التي اُجريَت فيها القياسات المستخدَمة لرسم هذا التمثيل البياني.

يمكننا أن نلاحظ أن الخطوط تقع على ارتفاعات مختلفة على التمثيل البياني، وتقابِل قيمًا مختلفة للمسافة. ربما كانت الأجسام قد تَحرَّكت مسافات مختلفة قبل زمن بدء القياسات المأخوذة من أجل التمثيل البياني. لكن قِيَم المسافة غير ضرورية بالنسبة إلينا؛ ففي جميع الحالات الثلاث، لا تتغير المسافة خلال فترة القياس. وهذا يعني أن سرعة الأجسام الثلاثة جميعها تساوي ٠ م/ث خلال هذا الوقت.

ومن ثم، سيكون للأجسام الثلاثة تمثيلات بيانية متطابقة للسرعة مقابل الزمن. وعلى وجه التحديد، سيبدو التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن لكل جسم من تلك الأجسام على النحو الآتي:

يوضِّح هذا التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن القيمة ٠ م/ث لكل قيم الزمن. ولذلك، فهو يُمثِّل جسمًا له سرعة ثابتة مقدارها ٠ م/ث، أو بعبارة أخرى جسمًا لا يتحرَّك.

والآن لننظرْ إلى التمثيل البياني الآتي للمسافة مقابل الزمن.

يوضِّح هذا التمثيل البياني جسمًا تزداد مسافته بمعدل ثابت. ويمكننا أن نرى ذلك كما يأتي.

في الشكل الآتي، لدينا التمثيل البياني نفسه، لكننا الآن حدَّدْنا مثلثين. يقع وتر المثلثين على طول الخط المستقيم الموضَّح على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.

طولا الضلعين الأفقي والرأسي في المثلث الأحمر المتقطِّع يساويان واحدًا. في حالة الضلع الأفقي، يكون الطول بوحدة الثانية، بينما طول الضلع الرأسي بوحدة المتر. يتضح من هذا المثلث أن الجسم يقطع مسافة ١ م خلال أول ١ ث موضَّحة على التمثيل البياني.

بالنظر إلى المثلث الأزرق، نلاحظ أن طول كلٍّ من الضلعين الرأسي والأفقي يساوي اثنين. وهذا يدل على أن الجسم يقطع مسافة كلية مقدارها ٢ م خلال أول ٢ ث.

نلاحظ أن أضلاع المثلث الأزرق متناسبة مع أضلاع المثلث الأحمر. في الحقيقة، بغض النظر عن موضع رسم المثلث، ما دام وتر المثلث يقع على امتداد الخط الموضَّح على التمثيل البياني، فسنجد أن الضلعين الأفقي والرأسي للمثلث يتشاركان هذه النسبة نفسها. وهذا يوضِّح أن الجسم يقطع مسافات متساوية خلال فترات زمنية متساوية.

ولعلنا نتذكر أنه إذا تَحرَّك الجسم مسافات متساوية خلال فترات زمنية متساوية، فإنه يتحرَّك إذن بسرعة ثابتة.

من خلال رسم مثلثين على النحو الذي أوضحناه، نجد أنه من السهل الآن التحقُّق من أن الضلعين الأفقي والرأسي للمثلثين لهما النسبة نفسها في أيِّ تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن، حيث تزداد المسافة مع الزمن في خط مستقيم.

بعبارة أخرى، كل التمثيلات البيانية للمسافة مقابل الزمن التي تتضمن خطًّا مستقيمًا تمثِّل حركةً ذات سرعة ثابتة. ومن ثم، فإن التمثيل البياني المُناظِر للسرعة مقابل الزمن سيُعطي دائمًا خطًّا أفقيًّا.

كلما زاد انحدار الخط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، زادت المسافة التي يتحرَّكها الجسم لكل وحدة زمن. ويمكننا أن نتذكر أيضًا أنه كلما زادت المسافة لكل وحدة زمن، زادت سرعة الجسم. ومن ثم، نلاحظ أنه كلما زاد انحدار الخط على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، زاد ارتفاع الخط الأفقي المُناظِر على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن.

على سبيل المثال، لننظرْ إلى الشكل الآتي.

كلُّ خط ملوَّن في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يُناظِر الخط الملوَّن نفسه على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. في التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، الخط الأحمر هو الأقل انحدارًا. وبالتالي، يوضِّح هذا الخط أقل سرعة. وتُمثَّل أقل سرعة بالخط الأفقي الأكثر انخفاضًا على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. وبالمثل، فإن الخط الأزرق على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن هو الأكثر انحدارًا. ومن ثم، فهو يُناظِر أعلى خط أفقي على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن. أما الخط الأخضر فيقع بين هذين الخطين.

لنلقِ نظرة على مثال آخر.

مثال ٤: تحديدُ أيُّ خط على تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن يُناظِر خطًّا معطًى على تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن

أيُّ خط ملوَّن على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن يوضِّح حركة الجسم على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن؟

الحل

في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني للمسافة مقابل الزمن إلى جانب تمثيل بياني للسرعة مقابل الزمن. المطلوب منا هو تحديدُ أيُّ الخطين على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن يوضِّح حركة الجسم الممثَّلة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.

بالنظر إلى التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن، نلاحظ أن هذا التمثيل البياني يوضِّح خطًّا مستقيمًا. أيْ إن المسافة تزداد بالتناسب مع الزمن، ما يعني أن الجسم يقطع مسافات متساوية خلال فترات زمنية متساوية.

ومن ثم، نعلم أن التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن يوضِّح حركة جسم يتحرَّك بسرعة ثابتة.

إذا نظرنا الآن إلى التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن، سيكون لدينا خياران محتملان. وعلينا تحديدُ أيُّ الخطين، الأخضر أم الأحمر، هو الذي يمثِّل حركة بسرعة ثابتة.

يوضِّح الخط الأحمر سرعةً تَزيد مع مرور الزمن. وبما أن السرعة في ازدياد، فلا يمكن أن تكون ثابتة. لذا، لا يمكن أن يمثِّل الخط الأحمر الحركة ذات السرعة الثابتة التي يمثِّلها التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.

الخط الأخضر في التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن عبارة عن خط أفقي. وهذا يوضِّح أن سرعة الجسم تأخذ القيمة نفسها عند جميع قيم الزمن. ولذلك، فإن سرعة هذا الجسم لا تتغير، أو، بعبارة أخرى، يوضِّح الخط الأخضر حركةً ذات سرعة ثابتة.

إذن، إجابة هذا السؤال هي أن الخط الأخضر على التمثيل البياني للسرعة مقابل الزمن هو الذي يُمثِّل حركة الجسم الموضَّحة على التمثيل البياني للمسافة مقابل الزمن.

لنختتم بتلخيص ما تعلمناه في هذا الشارح.