الشارح للدرس: محصلة الحركة والقوة المحصلة الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نوضِّح أن الحركة في اتجاهات متعامدة يمكن التعبير عنها بالحركة في اتجاه واحد.

يجب أن يحتوي الوصف الكامل لبعض الكميات الفيزيائية، مثل الإزاحة، والسرعة المتجهة، والعجلة، والقوة، على معلومات عن الاتجاه والمقدار. ونتيجة لذلك، نمثِّل هذه الكميات عمومًا باستخدام متجهات؛ وهي عناصر رياضية لها مقدار واتجاه. يتيح لنا استخدام المتجهات لتمثيل الكميات المتجهة أن نجمع هذه الكميات معًا، وأيضًا إجراء العديد من العمليات الرياضية الأخرى عليها.

تذكَّر أنه يمكن جمع المتجهات معًا باستخدام طريقة بيانية تُسمَّى طريقة الرأس للذيل. وهذه الطريقة هي كالآتي: لجمع متجهين معًا (ممثَّلين بسهمين)، نحرِّك أحد سهمَي المتجهين؛ بحيث يكون ذيله عند رأس المتجه الآخر. بعد ذلك، نرسم متجهًا جديدًا من ذيل المتجه الذي لم يتحرَّك إلى رأس المتجه الذي تحرَّك. هذا المتجه الجديد هو مجموع المتجهين الأصليين.

على سبيل المثال، يمكننا جمع المتجهين الأزرق والأصفر الموضَّحين على الشبكة البيانية الآتية.

أولًا، نحرِّك المتجه البرتقالي؛ بحيث يلمس ذيله رأس المتجه الأزرق.

والآن، نرسم متجهًا جديدًا باللون الوردي، يبدأ من ذيل المتجه الذي لم يتحرَّك (الأزرق) إلى رأس المتجه الذي تحرَّك (البرتقالي).

هذا المتجه الوردي يساوي حاصل جمع المتجه الأزرق والمتجه البرتقالي. وعلى نحو مكافئ، يمكننا القول إن هذا المتجه هو محصلة هذين المتجهين.

ويمكننا التعبير عن العلاقة بين المتجهات الأزرق، والبرتقالي، والوردي جبريًّا باستخدام ترميز المتجهات. هيا نرمز للمتجه الأزرق بالرمز ، والمتجه البرتقالي بالرمز ، والمتجه الوردي بالرمز .

بما أننا أوضحنا أن المتجه الوردي هو مجموع المتجهين الآخرين، يمكننا أن نكتب الصيغة الآتية:

وسنحصل أيضًا على النتيجة نفسها إذا استخدمنا طريقة الرأس للذيل لجمع المتجهين بترتيب عكسي:

ومن ثَمَّ، نكون قد أوضحنا أنه إذا جمعنا متجهًا مقداره 3 يشير نحو اليمين مع متجه مقداره 5 يشير نحو الأعلى ، فسنحصل على متجه جديد. هذا المتجه الجديد، الذي رمزنا له بالرمز ، سيُشير إلى زاوية ما (يُشير نحو الأعلى جهة اليمين)، ويبدو مقداره (أي طوله) أطول من أيٍّ من المتجهين أو ، ولكن ليس بنفس طول مجموع كلا المتجهين. توضِّح لنا حقيقة أن مقدار هذا المتجه لا يساوي مجموع مقدارَي المتجهين و، أنه لا يمكن جمع المتجهات مثل الأعداد العادية.

إن الفكرة الأساسية لهذا الشارح هي أن الكميات المتجهة في الفيزياء تخضع لقواعد جمع المتجهات. بعبارة أخرى، يمكن جمع الكميات المتجهة من النوع نفسه، القوى على سبيل المثال، معًا بالطريقة نفسها التي استخدمناها مع الأسهم على التمثيل البياني.

وهذا يعني أنه إذا كانت لدينا قوة مقدارها 3 N تدفع جسمًا نحو اليمين (التي يمكننا تمثيلها بالمتجه )، وقوة مقدارها 5 N تدفع الجسم نفسه نحو الأعلى (التي يمكننا تمثيلها بالمتجه )، فإن القوة المركبة التي تؤثِّر على الجسم (بعبارة أخرى، القوة المحصلة) تُمثَّل بالمتجه .

والآن، هيا نتناول كيفية جمع الكميات المتجهة بطريقة دقيقة دون رسمها.

لا يعتمد جمع المتجهات بدقة على فكرة المركبات. تذكَّر أننا نستخدم المركبات للتعبير عن المتجهات بدلالة مقدارها في الاتجاه الأفقي، ومقدارها في الاتجاه الرأسي. هيا نتناول متجهين جديدين، و.

يمكننا التعبير عن هذين المتجهين في صورة مجموع مركباتهما:

عند وصف الكميات المتجهة بدلالة مركباتها في الاتجاهين الأفقي والرأسي يكون من السهل جمعها معًا. إذا أردنا جمع المتجهين و، كل ما علينا فعله هو جمع مركبتَيْهما الأفقيتين ومركبتَيْهما الرأسيتين كلٌّ على حدة:

بعد إجراء عملية الجمع نجد أن متجه المحصلة الناتج عن جمع المتجهين و له مركبة أفقية تساوي 1، ومركبة رأسية تساوي 3.

هيا نرمز لمتجه المحصلة بالرمز ، ثم نضيفه إلى التمثيل البياني.

تنطبق العلاقة نفسها على الكميات المتجهة في الفيزياء. على سبيل المثال، جسم تؤثِّر عليه قوة يمثِّلها المتجه ، وقوة أخرى يمثِّلها المتجه ، ستؤثِّر عليه قوة محصلة تناظر المتجه .

تناولنا حتى الآن طريقتين مختلفتين للتعبير عن المتجهات:

• الصورة المركبة: يمكننا التعبير عن المتجه بأنه مجموع مركبتَيْه الأفقية والرأسية.
• صورة المقدار والاتجاه: يمكننا التعبير عن المتجه بدلالة مقداره واتجاهه.

رأينا أن الصورة المركبة مفيدة عند جمع المتجهات. ومع ذلك، غالبًا ما يكون أكثر فائدة وبديهيةً التعبير عن الكميات المتجهة بدلالة مقدارها واتجاهها. إن القدرة على التحويل بين هاتين الصورتين هي الخطوة الأخيرة لاستخدام المتجهات بفاعلية في الفيزياء. هيا نبدأ بالتحويل من الصورة المركبة إلى صورة المقدار والاتجاه.

هيا نفترض وجود جسم تقاس سرعته بالمتر لكل ثانية (m/s) ويمثِّله المتجه . ونفترض أن المتجه له مركبة أفقية تساوي 4، ومركبة رأسية تساوي .

ما مقدار واتجاه سرعة الجسم المتجهة؟

يمكننا حساب المقدار والاتجاه باستخدام العلاقات الهندسية. أولًا، هيا نرسم المركبتين الأفقية والرأسية و على التمثيل البياني.

عند هذه المرحلة، يمكننا تذكَّر أن المتجه يكافئ مجموع مركبتَيْه. أي إن:

تذكَّر أنه في هذه المعادلة كلٌّ من ، و و متجهات. وهذا يعني أنه لا يمكننا ببساطة جمع مقدارَي و لنحصل على مقدار .

لاحظ أن المتجه ومركبتَيْه تكوِّن معًا مثلثًا قائم الزاوية. وهذا يتيح لنا استخدام العلاقات الهندسية لحساب مقدار واتجاه سرعة الجسم. في البداية، يمكننا حساب مقدار (أي طول) كلٍّ من المتجهين و باستخدام نظرية فيثاغورس. نفترض أن مثلثًا قائم الزاوية طول وتره وطولا ضلعَيْه الآخرين و، كما هو موضَّح في التمثيل البياني الآتي.

ترتبط أطوال الأضلاع معًا بالمعادلة الآتية:

وبتطبيق هذه المعادلة على المثلث الذي كوَّنه المتجه ومركبتاه، نحصل على: حيث و مقدارا المركبتين الأفقية والرأسية على الترتيب. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة، نحصل على:

إذن مقدار السرعة المتجهة للجسم يساوي 5 m/s.

هيا نتناول مثالًا نطبِّق فيه هذه الفكرة.

مثال ١: إيجاد مقدارَي متجهَي إزاحة متعامدين

تقع النقطة على بُعد 8 m أفقيًّا من قاعدة جدار منزل، وتقع النقطة على بُعد 6 m رأسيًّا أعلى قاعدة الجدار، كما هو موضَّح في الشكل. ما مقدار الإزاحة من النقطة إلى النقطة ؟

الحل

مفتاح حل هذا السؤال هو التفكير في متجه الإزاحة من النقطة إلى النقطة . يمكننا أن نُسمِّي هذا المتجه . يَصِف هذا المتجه مقدار واتجاه إزاحة النقطة من (أو بالنسبة إلى) النقطة .

لاحظ أنه في هذه الحالة، المركبتان الأفقية والرأسية للمتجه موضَّحتان على الشكل.

باتباع التعريف السائد أن الاتجاه الأفقي يُشير نحو اليمين، وأن الاتجاه الرأسي يُشير نحو الأعلى، يمكننا التعبير عن المتجه بأنه يساوي مجموع مركبتَيْه على الصورة:

يمكننا حساب مقدار أي متجه بمعلومية مركبتَيْه. فمقدار أي متجه ثنائي الأبعاد يُعطى من خلال المعادلة: حيث و هما المركبتان الأفقية والرأسية للمتجه على الترتيب.

في هذا السؤال، علينا إيجاد مقدار المتجه . وبالتعويض بمركبتَيْه في المعادلة السابقة، نحصل على:

يمكننا بعد ذلك حساب المقدارين في الطرف الأيمن (أي نتجاهل أي إشارات سالبة)، ثم إيجاد الناتج على النحو الآتي:

بما أن الأطوال التي استخدمناها مقيسة بوحدة المتر، فستكون الإجابة مقيسة بوحدة المتر أيضًا. إذن نحصل على قيمة نهائية لمقدار الإزاحة من النقطة إلى النقطة تساوي 10 m.

هيا نَعُد إلى متجه السرعة . الآن، بعد أن أوجدنا مقداره، هيا نُوجِد اتجاهه. يمكننا فعل ذلك باستخدام حساب المثلثات.

تذكَّر أنه لأي مثلث قائم الزاوية، تُعطى العلاقة بين الزاوية ، وطول الضلع المقابل للزاوية O، وطول الضلع المجاور لها A، من خلال المعادلة:

يمكننا تطبيق هذه المعادلة على المتجه .

لاحظ أن المركبة الأفقية مجاورة للزاوية ، والمركبة الرأسية مقابلة لها. وهذا يُعطينا المعادلة:

لإيجاد زاوية متجه السرعة أسفل المحور الأفقي، كل ما علينا فعله هو إعادة ترتيب المعادلة لجعل ثيتا في طرف بمفردها:

بالتعويض بمقدارَي و في المعادلة، نحصل على:

ومن ثَمَّ، نعرف أن المتجه يميل بزاوية قياسها أسفل المحور الأفقي.

هيا نتناول مثالًا على سؤال علينا فيه حساب اتجاه متجه بناءً على مركبتَيْه.

مثال ٢: إيجاد اتجاه متجه إزاحة

يُحلِّق طائر في خط مستقيم؛ حيث تكون إزاحته في اتجاه الشرق 450 m، وإزاحته في اتجاه الشمال 350 m من النقطة التي بدأ منها الطيران، كما هو موضَّح في الشكل. ما الزاوية التي ينبغي أن يدور بها الطائر في اتجاه الغرب ليُغيِّر اتجاهه ويطير في اتجاه الشمال مباشرةً؟ قرِّب إجابتك لأقرب درجة.

الحل

في الشكل، يمثِّل السهم الأزرق متجه إزاحة الطائر. أما السهمان الأسودان، فيُشيران إلى إزاحة مقدارها 450 m في اتجاه الشرق وإزاحة مقدارها 350 m في اتجاه الشمال، وهما يمثِّلان في الواقع المحورين الأفقي والرأسي على الترتيب. يوضِّح لنا هذان القياسان أن المركبة الأفقية لإزاحة الطائر تساوي 450 m في اتجاه الشرق، وأن المركبة الرأسية لإزاحة الطائر تساوي 350 m في اتجاه الشمال.

هيا نبدأ بتعديل الشكل لتوضيح الزاوية التي ينبغي أن يدور بها الطائر ليطير في اتجاه الشمال.

هذه هي الزاوية التي نحاول إيجادها. لاحظ أن هذه الزاوية هي نفسها زاوية متجه إزاحة الطائر من المحور الرأسي (اتجاه الشمال).

وهذا يعني أنه علينا فعليًّا إيجاد الزاوية التي كان يحلق عندها الطائر، مقيسة في اتجاه عقارب الساعة من المحور الرأسي. يمكننا القول أيضًا إنه علينا إيجاد اتجاه متجه إزاحة الطائر، مقيسًا في اتجاه عقارب الساعة من المحور الرأسي.

يمكننا إيجاد الاتجاه الذي يُشير إليه المتجه باستخدام حساب المثلثات. أولًا، نرتِّب متجه إزاحة الطائر ومركبتَيْه الرأسية والأفقية لتكوين مثلث قائم الزاوية.

طول الوتر هو مقدار متجه إزاحة الطائر، وطول الضلع المجاور للزاوية هو مقدار المركبة الرأسية لمتجه الإزاحة، وطول الضلع المقابل للزاوية هو مقدار المركبة الأفقية لمتجه الإزاحة.

نرمز لهذه الأضلاع بالرموز H وA وO على الترتيب.

نعرف طولَي O وA، وعلينا إيجاد قياس الزاوية . يمكننا فعل ذلك باستخدام العلاقة المثلثية الآتية:

لجعل الزاوية في طرف بمفردها، نُوجِد معكوس دالة الظل للطرفين:

والآن، كل ما علينا فعله هو التعويض بالطولين O وA في المعادلة:

إذن، على الطائر أن يدور بهذا الزاوية في عكس اتجاه عقارب الساعة ليتجه شمالًا. كل ما علينا فعله الآن هو التقريب لأقرب درجة للحصول على الإجابة النهائية، وهي .

والآن، هيا نتناول كيفية العمل بطريقة عكسية. يمكننا حساب مركبتَي متجه ما بمعلومية مقداره واتجاهه. هيا نتناول متجه قوة مقداره 8 N يؤثِّر بزاوية أعلى المستوى الأفقي في اتجاه اليسار.

هيا نوضِّح هذا المتجه على الشبكة البيانية مع مركبتَيْه الأفقية والرأسية.

يمكننا الآن ملاحظة أن المركبة الأفقية لـ وهي سالبة، ويبدو أن مقدارها أقل من 7. كما أن المركبة الرأسية، ، موجبة، ويبدو أن مقدارها 4 وحدات.

ولإيجاد طولَي هاتين المركبتين بالضبط، يمكننا استخدام حساب المثلثات.

تذكَّر أنه لأي مثلث قائم الزاوية، الزاوية ، وطول الضلع المقابل لهذه الزاوية O، وطول الضلع المجاور لهذه الزاوية A، وطول الوتر H، يرتبطون من خلال معادلتين مثلثيتين:

يمكننا تطبيق هاتين المعادلتين على متجه القوة، لتحديد مقدارَي مركبتَيْه. من التمثيل البياني، نجد أن ، ، . بالتعويض بهذه الكميات في المعادلتين المثلثتين، نحصل على:

وبضرب طرفَي كل معادلة في مقدار المتجه ، نحصل على:

كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيمتَي ، لنحصل على مقدارَي المركبتين ، للمتجه :

لقد أوجدنا الآن أن مقدار المركبة الرأسية للمتجه يساوي 4، وأن مقدار المركبة الأفقية للمتجه يساوي (عند كتابته في صورة عدد عشري، وبالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، يساوي 6.93).

وبالرجوع إلى التمثيل البياني السابق، نلاحظ أن المركبة الرأسية للمتجه تُشير في الاتجاه الرأسي الموجب ، في حين تُشير المركبة الأفقية للمتجه إلى الاتجاه الأفقي السالب. عند كتابة المتجه في صورة مجموع مركبتَيْه، يمكننا توضيح ذلك باستخدام الإشارتين الموجبة والسالبة:

بعبارة أخرى، القوة التي مقدارها 8 N، والتي يمثِّلها المتجه تكافئ قوة مقدارها N تؤثِّر نحو اليسار وقوة مقدارها 4 N تؤثِّر نحو الأعلى. من الضروري تحويل المتجهات إلى الصورة المركبة إذا أردنا أن نتمكَّن من جمع المتجهات معًا.

مثال ٣: إيجاد مركبتَي متجه إزاحة

يسير مسَّاح أراضٍ عَبْرَ حقل، كما هو موضَّح في الشكل. ما مقدار الزيادة في المسافة التي يقطعها المسَّاح شرقًا على المسافة التي يقطعها شمالًا؟ قرِّب إجابتك لأقرب متر.

الحل

في الشكل، يمثِّل السهم الأحمر متجه إزاحة مسَّاح الأراضي. يمكننا ملاحظة أنه يسير مسافة 450 m بزاوية مقيسة في عكس اتجاه عقارب الساعة من اتجاه الشرق.

يطلب منا السؤال تحديد الزيادة في المسافة التي يقطعها المسَّاح شرقًا على المسافة التي يقطعها شمالًا. للإجابة عن ذلك، يمكننا إيجاد مركبتَي الإزاحة في اتجاهَي الشرق والشمال.

هيا نبدأ بالمثلث القائم الزاوية الذي كوَّنه متجه الإزاحة ومركبتاه. نرمز لمتجه إزاحة مسَّاح الأراضي بالرمز ، ونرمز لمركبتَيْه الرأسية (في اتجاه الشمال) والأفقية (في اتجاه الشرق) بالرمزين ، على الترتيب.

بالنسبة إلى المثلث القائم الزاوية، الذي ضلعاه A وO، ووتره H، إذا كانت هي الزاوية المحصورة بين الضلع A والوتر H، فسيُعطى طول الضلع A من خلال المعادلتين:

في كلتا الحالتين، يكون H هو طول الوتر.

في هذه الحالة، يكون H مقدار متجه إزاحة مسَّاح الأراضي (450 m)، وA مقدار المركبة الأفقية لهذا المتجه، وO مقدار المركبة الرأسية لمتجه الإزاحة. كما نعلم أن الزاوية، تساوي . إذن:

ومن ثَمَّ، نلاحظ أن المركبة الأفقية (أي الإزاحة في اتجاه الشرق) أكبر من المركبة الرأسية (أي الإزاحة في اتجاه الشمال). ولإيجاد مقدار الزيادة في المسافة التي يقطعها المسَّاح شرقًا في مقابل المسافة التي يسيرها شمالًا بالضبط، كل ما علينا فعله هو إيجاد الفرق بين هاتين المركبتين:

وبتقريب هذا الناتج لأقرب متر، نحصل على الإجابة النهائية التي تساوي 165 m.

هيا نتناول الآن مثالًا علينا فيه جمع متجهين يؤثِّران بزاويتين مختلفتين. علينا في البداية أن نحول هذين المتجهين إلى الصورة المركبة حتى نتمكَّن من جمعهما، ثم نحوِّل متجه المحصلة مرة أخرى إلى صورة المقدار والاتجاه.

مثال ٤: إيجاد محصلة قوتين تؤثِّران بزاويتين مختلفتين

القوة هي محصلة متجهَي القوتين الموضَّحين في الشكل. ما مقدار لأقرب نيوتن؟

الحل

في هذا الشكل، يمكننا أن نلاحظ أن المتجهين الأحمرين مرتَّبان؛ بحيث يكون رأس أحدهما عند ذيل الآخر. يمتد المتجه من ذيل أحد المتجهين إلى رأس الآخر. وهذه طريقة بيانية لإظهار أن المتجه يساوي مجموع (أو «محصلة») المتجهين الأحمرين.

إذا رمزنا لمتجه القوة التي مقدارها 70 N بالرمز ، ورمزنا لمتجه القوة التي مقدارها 60 N بالرمز ، فسيمكننا التعبير عن هذه العلاقة في صورة معادلة:

ولإيجاد مقدار علينا أن نجمع ، معًا. ولفعل ذلك، علينا أولًا التعبير عن ، في الصورة المركبة.

هيا نبدأ بالمتجه . يمكننا أن نرسم شكلًا يُكوِّن فيه المتجه ومركبتاه الأفقية والرأسية (الممثَّلتان بالسهمين الأزرق والوردي على الترتيب) مثلثًا قائم الزاوية.

يمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد مقدار كلٍّ من الضلع المقابل للزاوية، O، والضلع المجاور للزاوية، A، بدلالة مقدار الوتر، H، والزاوية :

نعلم أن مقدار الوتر، H، يساوي 70 N والزاوية تساوي :

«طولا الضلعين» هذان هما مقدارا المركبتين الأفقية والرأسية بوحدة النيوتن. وبتقريب هذين المقدارين لأقرب منزلتين عشريتين، يمكننا التعبير عن القوة التي مقدارها 70 N على أنها مجموع مركبتَيْها:

هيا ندوِّن هذه المعادلة. بعد ذلك، نُوجِد المركبتين الأفقية والرأسية للقوة التي مقدارها 60 N.

مرةً أخرى، يمكننا رسم المركبتين الأفقية والرأسية لهذه القوة على الشكل.

ويمكننا استخدام المعادلات المثلثية نفسها لإيجاد مقدارَي المركبتين الأفقية والرأسية. هذه المرة، H يساوي 60 و يساوي :

ومن ثَمَّ، يمكننا أيضًا كتابة المتجه باعتباره مجموع مركبتَيْه (لأقرب منزلتين عشريتين) على النحو الآتي:

والآن، أصبحت لدينا المركبات الأفقية والرأسية للمتجهين الأحمرين.

وإيجاد مركبات هذين المتجهين يعني أنه يمكننا إيجاد مركبتَي متجه المحصلة، ، بسهولة. يمكننا ملاحظة أن المركبة الأفقية للمتجه هي مجموع المركبتين الأفقيتين للمتجهين ، . وبالمثل، المركبة الرأسية للمتجه هي مجموع المركبتين الرأسيتين للمتجهين ، :

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على:

والآن، بعد أن أوجدنا مركبتَي القوة المحصلة يمكننا حساب مقدارها. تذكَّر أن مقدار أي متجه ثنائي الأبعاد يُعطى من خلال المعادلة: حيث ، هما المركبتان الأفقية والرأسية للمتجه على الترتيب.

في هذه الحالة، نحصل على:

وتقريب هذا الناتج لأقرب نيوتن، نحصل على الناتج النهائي، وهو 118 N.