في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قيمة اللوغاريتمات ذات الأساسات المختلفة باستخدام قوانين اللوغاريتمات.
لا بد أنك تعرَّفت بالفعل على قوانين الأسس وكيفية استخدامها.
الدوال اللوغاريتمية هي معكوس الدوال الأسية. إذا كانت الدالة الأسية لها قيمة مدخلة ، إذن فستكون القيمة المخرجة .
والآن، نتناول معكوس هذه الدالة، التي تُسمَّى اللوغاريتم:
وبما أن هذه الدالة هي معكوس الدالة الأسية، إذن يمكننا إدخال ، وستكون القيمة المخرجة هي .
وهذا يعني أن إيجاد قيمة هو إيجاد العدد ؛ بحيث يكون . وبدلًا من ذلك، يمكننا القول إن هو حيث يكون .
بعد ذلك، نلقي نظرة على تعريف اللوغاريتم.
تعريف: اللوغاريتم
الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية.
يعني « مرفوعًا للقوة يساوي »؛ حيث:
- هو أساس اللوغاريتم.
- هو المُدخَل.
- هو الأس.
من المهم أن نعرف كيف نُحوِّل معادلةً ما من الصورة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية؛ حيث يساعدنا ذلك عند حل المسائل التي تتضمَّن اللوغاريتمات. الحقيقة الأساسية هي أن: يكافئ:
توجد حالة خاصة من اللوغاريتمات، قد يكون أساس اللوغاريتم فيها غير واضح. وهي كما يلي:
- عند كتابة لوغاريتم دون أساس، فهذا يعني أن اللوغاريتم هو للأساس ١٠، وهو ما يعني أن:
والآن، نحن جاهزون لتناول بعض الأمثلة.
مثال ١: حساب لوغاريتم ما
ما قيمة ؟
الحل
ما يعنيه هذا السؤال هو: «ما القوة التي علينا رفع ٢ إليها للحصول على ثمانية؟» يمكننا إعادة ترتيب في الصورة الأسية لنحصل على: التي يمكننا حلها لإيجاد قيمة .
نعرف أن: وفقًا لقوانين الأسس، نعلم أنه إذا كان أو ٠ أو ١، وكان ، فإذن . إذن ؛ ومِن ثَمَّ
مثال ٢: إيجاد قيمة لوغاريتم
ما قيمة ؟
الحل
لإيجاد قيمة اللوغاريتم ، نحاول حلَّ المعادلة:
يمكننا تحويل هذه المعادلة إلى الصورة الأسية لنحصل على: والآن علينا إيجاد قيمة . باستخدام قوانين الأسس، نعرف أن : إذن
ومِن ثَمَّ يمكننا ملاحظة أن ، وهو ما يعطينا: ومن هذا نستنتج أن:
قبل أن نتناول بعض الأمثلة الأكثر صعوبةً، دعونا نذكر قوانين اللوغاريتمات.
قوانين اللوغاريتمات
لأيِّ أساس ، ، وعدد حقيقي ، نطبق القوانين الآتية:
- لوغاريتم العدد واحد:
- لوغاريتم الأساس، :
- لوغاريتم الأعداد المرفوعة لقوى:
- لوغاريتم حاصل الضرب:
- لوغاريتم خارج القسمة:
إذا عرفنا كيفية التحويل بين اللوغاريتمات والدوال الأسية، فمن المفيد أن نرى الرابط بين قوانين اللوغاريتمات وقوانين الأسس المناظرة لها.
- قانون لوغاريتم العدد واحد يكافئ قانون الأس صفر:
- قانون لوغاريتم الأساس يكافئ قانون الأس:
- قانون لوغاريتم القوى ليس له قانون أسس مناظر. لكن، يمكننا أن نرى كيف أنه مستنتَج جبريًّا. باستخدام تعريف اللوغاريتم، نحصل على: بعد ذلك، إذا رفعنا كلا الطرفين للقوة نحصل على: لكن، يمكننا أيضًا استخدام تعريف اللوغاريتمات في ، وهذا يعطينا: ومن هذا، نجد أن: التي تتضمَّن قانون لوغاريتم القوى.
- قانون لوغاريتم حاصل الضرب يكافئ قانون حاصل ضرب الأعداد المرفوعة لأسس: .
- قانون لوغاريتم خارج القسمة يكافئ قانون خارج قسمة الأعداد المرفوعة لأسس: .
باستخدام قوانين اللوغاريتمات هذه، سنتناول بعض الأمثلة الأخرى.
مثال ٣: إيجاد قيمة لوغاريتم
ما قيمة ؟
الحل
أولًا، دعونا نلاحظ أنه يمكننا كتابة . ومن هنا، يمكننا استخدام قانون لوغاريتم القوى لنحصل على:
بعد ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أن ، ونعوِّض بذلك في اللوغاريتم، مرةً أخرى، يمكننا استخدام قانون لوغاريتم القوى للحصول على:
وأخيرًا، يمكننا استخدام قانون لوغاريتم الأساس للحصول على: ومن ثِمَّ، نحصل على الحل:
مثال ٤: استخدام قوانين اللوغاريتمات لحساب اللوغاريتمات
احسب ، وقرِّب الناتج لأقرب جزء من ألف.
الحل
باستخدام قانون لوغاريتم القوى، نحصل على:
بعد ذلك، نستخدم قانونَي لوغاريتم حاصل الضرب لدمجهما في لوغاريتم واحد، وهو ما يعطينا: والآن، لاحظ أنه إذا كان اللوغاريتم مكتوبًا دون أساس، فهذا يعني أن الأساس يساوي ١٠: ولكي نحصل على الحل، كل ما علينا فعله هو حساب هذا اللوغاريتم. نحصل على: وأخيرًا، علينا التقريب لأقرب جزء من ألف، للحصول على الإجابة:
مثال ٥: إيجاد قيمة مقدار لوغاريتمي
أوجد قيمة .
الحل
باستخدام قانون لوغاريتم خارج القسمة، يمكننا إيجاد: والآن، نستخدم قانون لوغاريتم الأعداد المرفوعة لقوى لتبسيط ذلك:
بعد ذلك، نستخدم حقيقة أن لنحصل على:
وأخيرًا، نستخدم كلًّا من قانون لوغاريتم الأعداد المرفوعة لقوى وقانون لوغاريتم الأساس لإيجاد حل:
دعونا نختم بتسليط الضوء على بعض النقاط الرئيسية.
النقاط الرئيسية
- الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية. على نحو مكافئ، إيجاد قيمة هو إيجاد العدد ؛ بحيث يكون .
- الحالة التي يكون فيها أساس اللوغاريتم غير واضح هي .
- لوغاريتم العدد واحد: .
- لوغاريتم الأساس: .
- لوغاريتم العدد المرفوع لقوة: .
- لوغاريتم حاصل الضرب: .
- لوغاريتم خارج القسمة: .
