شارح الدرس: الزاوية الحرجة للانعكاس الداخلي الكلي الفيزياء

في هذا الشارح، سوف نتعلم كيف نوجد العلاقة بين مسارات الأشعة الضوئية المنكسرة والمنعكسة انعكاسًا داخليًا، ومعاملات انكسار الأوساط التي تنتقل فيها.

عادة ما تنكسر أو تنحرف الأشعة الضوئية عند انتقالها بين مواد مختلفة، لكن هناك حالات معينة لا ينفذ فيها الشعاع الضوئي إلى السطح الفاصل كالمعتاد. وسوف نتعلم كيف نحدد ما إذا كانت هذه الظاهرة ستحدث أم لا عن طريق حساب الزاوية الحرجة، التي تعتمد على مسار الشعاع الضوئي وخواص انكسار المواد على جانبي السطح الفاصل.

عند الإشارة إلى السطح البصري الفاصل، فإننا نتحدث عن سطح يفصل بين مادتين لهما معامل انكسار مختلف. يوضح معامل انكسار المادة، ، مدى سرعة أو بطء انتقال الضوء خلالها، وبالتالي مقدار انحراف الضوء عند دخوله إلى المادة. عندما ينتقل شعاع ضوئي بين مادتين لهما نفس معامل الانكسار، لن يحدث تغير في مسار الشعاع؛ ومن ثم، لا يوجد أمر مثير للاهتمام بشكل خاص بالنسبة إلينا لمعرفة المزيد عن النظام. ولهذا السبب، لن نهتم إلا بالأشعة الضوئية التي تتحرك بين أوساط لها خواص بصرية مختلفة. وينبغي، بصفة عامة، ملاحظة أن معظم الأشعة تنعكس وتنكسر عندما تلاقي سطحًا فاصلًا، كما هو موضح أدناه. لكننا لن نركز الآن إلا على جزء الشعاع الذي ينفذ وينكسر.

علاوة على ذلك، سنهتم بالزاوية التي يقترب بها الضوء ويغادر السطح الفاصل. تذكر أنه يجب أن نقيس جميع الزوايا بالنسبة إلى العمود المقام، العمودي على السطح نفسه. في الشكل التالي، تم تمثيل العمود المقام بخط متقطع. يُعرِّف قانون سنل العلاقة بين معاملي انكسار مادتين وزاويتي الأشعة الضوئية (بالنسبة إلى العمود المقام):

من الشائع تصنيف الشعاع القادم على أنه «ساقط» والزاوية التي يصنعها على أنها «زاوية سقوط»، لذا يمكن تسمية ، أيضًا بـ ، ، حيث يعني «ساقط بالنسبة إلى الشعاع وسقوط بالنسبة إلى الزاوية». وبالمثل، عادة ما تُسمى المادة والزاوية في الجانب الآخر من السطح الفاصل، حيث ينكسر الشعاع، بـ ، ، حيث يعني «منكسر بالنسبة إلى الشعاع، وانكسار بالنسبة إلى الزاوية».

تذكر أنه إذا مر شعاع بين مادتين لهما نفس الخواص البصرية، فإن الضوء ينتقل في خط مستقيم. لكن ما يعنينا هو الأوساط المختلفة بصريًا التي تتسبب سطوحها الفاصلة في انحراف الأشعة الضوئية. في هذه الحالة، عندما ينكسر الشعاع، يمكن أن ينحرف إما ناحية العمود المُقام أو بعيدًا عنه، حيث يعتمد ذلك على خواص المادتين الموجودتين على جانبي السطح الفاصل. على سبيل المثال، إذا كان أقل من ، ينص قانون سنل على أن ستكون أكبر من ، ومن ثم ينحرف الشعاع المنكسر ناحية العمود المُقام، كما هو موضح أدناه على اليسار. لكن، إذا كان أكبر من ، فإن ستكون أصغر من ، ومن ثم ينحرف الشعاع المنكسر بعيدًا عن العمود المُقام، كما هو موضح أدناه على اليمين.

في هذا الشارح، سنركز على الحالة التي يكون فيها ، حيث ينحرف الشعاع المنكسر بعيدًا عن العمود المُقام. وفي هذه الحالة تكون زاوية الانكسار أكبر من زاوية السقوط دائمًا. لاحظ أنه كلما كانت أكبر، تصبح () أكبر. ويوضح الشكل التالي ذلك.

نظرًا إلى أنه يتم قياس جميع الزوايا المعنية بين السطح والعمود المُقام، فلا يمكن أن تتراوح قيمتها إلا بين صفر و90 درجة. ومن ثم، إذا جعلنا زاوية السقوط أكبر وأكبر، فإن زاوية الانكسار ستصل في النهاية إلى حد معين بحيث تكون . وهذه حالة خاصة لا تحدث إلا عندما تصل زاوية السقوط إلى قيمة معينة تُسمى الزاوية الحرجة. وعندما تساوي زاوية السقوط الزاوية الحرجة، لن ينفذ الشعاع أو يمر إلى المادة الثانية؛ وإنما يخرج مماسًا للسطح الفاصل. وهذه الظاهرة موضحة بالأسفل.

إذا جعلنا زاوية السقوط أكبر من الزاوية الحرجة، فسنكتشف الحالة الخاصة للانعكاس الداخلي الكلي. خلال الانعكاس الداخلي الكلي، لا تمر أي أشعة من خلال السطح الفاصل. ويعكس السطح الأشعة بالكامل، كما هو موضح أدناه.

تحدد الزاوية الحرجة حدًا لزاوية السقوط لإحداث الانعكاس الداخلي الكلي. ويعتمد قياس الزاوية الحرجة على خواص المادتين الموجودتين في كلا جانبي السطح الفاصل بين الوسطين. لنلق نظرة على مثال لفهم كيفية إيجاد قيمتها بشكل أفضل.

مثال ١: استنتاج معادلة الزاوية الحرجة

أي المعادلات الآتية توضح بطريقة صحيحة العلاقة بين الزاوية الحرجة للانعكاس الداخلي الكلي لشعاع ضوئي، ومعامل الانكسار للمادة التي ينتشر خلالها الضوء، ومعامل انكسار المادة التي ينعكس الضوء عن سطحها؟

الحل

نريد إيجاد معادلة تربط الزاوية الحرجة ومعاملي الانكسار لوسطين مختلفين. في البداية، دعونا نلق نظرة على شكل يوضح سطحًا يفصل وسطين مختلفين بصريًا.

في هذه الحالة، يكون الوسط الموجود على الجانب الأيسر من السطح الفاصل هو الوسط الذي يسقط منه الشعاع، وله معامل انكسار . والوسط الموجود على الجانب الأيمن من السطح الفاصل له معامل انكسار . ونريد إيجاد علاقة بين معاملي الانكسار هذين والشعاع الساقط بزاوية حرجة.

عندما يسقط شعاع ضوئي بزاوية حرجة ، مقيسة بالنسبة إلى العمود المُقام، لا ينفذ الشعاع إلى الوسط الآخر ولا ينكسر، لكنه لا ينعكس أيضًا مرة أخرى إلى وسط السقوط. وإنما يخرج مماسًا للسطح الفاصل، كما هو موضح في الشكل أعلاه. وعلى الرغم من أن الشعاع لم ينكسر فعليًا، إلا أنه لا يزال بإمكاننا قياس زاوية انكساره وهي هنا، وهي تمثل أقصى قيمة ممكنة.

لوضع علاقة رياضية، دعونا نتذكر قانون سنل، وهو المعادلة التي توضح كيفية انكسار الضوء بين مادتين مختلفتين:

يمكننا التعويض ببعض القيم للبدء في إيجاد العلاقة. ولأن الشعاع يسقط بزاوية حرجة، دعونا نضع محل ويمكننا أيضًا التعويض بـ لزاوية الانكسار:

نعلم أن ، لذا تُبسط المعادلة إلى

لنعد ترتيب المعادلة بحيث يكون ، في نفس الطرف. لفعل ذلك، نقسم كلا طرفي المعادلة على :

تربط هذه المعادلة بطريقة صحيحة الزاوية الحرجة بمعاملي انكسار المادتين الموجودتين على جانبي السطح الفاصل، ومن ثم يكون الخيار (ج) هو الإجابة الصحيحة.

كشف هذا المثال عن العلاقة الرياضية التي يمكننا استخدامها لإيجاد الزاوية الحرجة للانعكاس الداخلي الكلي، بمعلومية معاملي انكسار الوسطين على جانبي السطح الفاصل. وإذا أردنا المضي قدمًا، يمكننا إيجاد الزاوية الحرجة بأخذ معكوس الجيب أو ، لكلا طرفي المعادلة، وهو ما يلغي عملية الجيب المطبقة على . ومن ثم، نحصل على

دعونا نُعرِّف هذه العلاقة بشكل منهجي.

لاحظ أننا استخدمنا، في هذا التعريف، الرمزين ، كمقابل لـ ، اللذين استخدمناهما في المثال الأول. من المسلم به عمومًا أن «1» يمثل الكميات المرتبطة بالشعاع الساقط، و«2» يمثل الكميات المرتبطة بالشعاع المنكسر. لنتناول مثالين لنتدرب على تطبيق المعادلة.

تذكر أن تعريف الزاوية الحرجة يشترط أن يكون أصغر من . لاستكشاف هذا المفهوم، دعونا نعد إلى المثال السابق ونحاول حله بطريقة مختلفة. يمكننا البدء بمعادلة إيجاد الزاوية الحرجة:

في هذه المرحلة، علينا فقط التعويض بقيمتي ، . تذكر أننا ندرس شعاعًا يتحرك خلال الماء، ويقترب من السطح الفاصل للهواء. قد يبدو أنه يمكن تمثيل أي من الوسطين في المعادلة بأي من قيمتي لكن هذا غير صحيح، حيث تُعد معرفة أي مادة يتم تمثيلها بأي متغير أمرًا هامًا للغاية. لفهم السبب، يمكننا محاولة إجراء العملية الحسابية باستخدام الهواء، بدلًا من الماء، كمادة سقوط. في هذه الحالة، سنستخدم (الهواء)، (الماء):

إذا حاولنا إدخال هذا إلى الآلة الحاسبة، فستكون النتيجة إما رسالة «خطأ» أو عدد تخيلي، ولن تكون أي من النتيجتين مفيدة هنا. والسبب في أن هذا المقدار لا يمكن حسابه على نحو صحيح هو أن الكسر أكبر من واحد، ولا توجد زاوية قيمة جيبها أكبر من واحد. ولهذا السبب، يجب أن يكون أكبر من .

لكي توجد الزاوية الحرجة، يجب أن نتعامل مع شعاع ضوئي يسقط في وسط معامل انكساره كبير، ويقترب من سطح وسط معامل انكساره صغير. بمعرفة هذا، يمكننا استنتاج أن الزاوية الحرجة يجب أن توجد في الوسط الذي تكون فيه قيمة أكبر، وهو الماء في هذه الحالة.

بعد ذلك، دعونا نتناول مثالًا آخر يستخدم معادلة الزاوية الحرجة.

والآن بعد أن تناولنا معادلة الزاوية الحرجة مرتين، دعونا نركز على مثال يستكشف عدة زوايا في نظام به ثلاث مواد مختلفة بصريًا.

مثال ٤: العلاقة بين الزوايا في عدة مواد مختلفة بصريًا

يوضح الشكل شعاعًا ضوئيًا ينتقل من المادة 1 إلى المادة 2 صانعًا الزاوية مع السطح الفاصل بين المادتين. ينعكس الشعاع انعكاسًا داخليًا كليًا عائدًا إلى المادة 2 عند السطح الفاصل للمادة 3. عندما تزيد الزاوية على ، ينتقل الشعاع الضوئي إلى المادة 2. أوجد الزاوية ، لأقرب درجة.

الحل

يتعرض الشعاع لانعكاس داخلي كلي عند السطح الفاصل بين المادتين 2 و3، ومن ثم يجب أن يسقط على السطح الفاصل بزاوية لا تقل عن الزاوية الحرجة. نعلم أيضًا أن الشعاع ينفذ عبر هذا السطح الفاصل عندما يسقط على السطح الفاصل الأول بين المادتين 1 و2 بزاوية أكبر من ، لذا لنفكر في ما يعنيه هذا. إذا كانت الزاوية المصنوعة عند أكبر، فإن زاوية السقوط عند السطح الفاصل بين المادتين 2 و3 تصبح أصغر. نعلم أنه إذا أصبحت هذه الزاوية أصغر، فلن يتعرض الضوء لانعكاس داخلي كلي؛ ومن ثم، تنحصر في قيمة معينة، بحيث تقترب زاوية السقوط بين المادتين 2 و3 من الزاوية الحرجة. وبما أننا نعلم معاملات انكسار المواد على جانبي السطح الفاصل، يمكننا حساب الزاوية الحرجة لمعرفة المزيد عن هذا الشكل. لحساب الزاوية الحرجة هنا، يمكننا إعادة ترتيب معادلة الزاوية الحرجة (من قانون سنل) لإيجاد قيمة والتعويض بالقيمتين ، :

بعد أن عرفنا قيمة الزاوية الحرجة، يمكننا استخدام خواص المثلث القائم الزاوية لإيجاد زاوية الانكسار عندما يمر الشعاع من المادة 1 إلى المادة 2. وفيما يلي شكل يساعد على ربط هذه الزوايا بعضها ببعض باستخدام مثلث قائم الزاوية موضح باللون الأزرق. لاحظ أن الضلع الرأسي للمثلث الأزرق مواز للعمود المُقام بين المادتين 2 و3. بسبب نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليًا، نعلم أن الزاوية الداخلية العليا في المثلث القائم الزاوية، وهي زاوية انكسار الشعاع المار من المادة 1 إلى المادة 2، تطابق، أو تساوي . ويوضح الشكل التالي هذا.

ومن ثم، عند هذا السطح الفاصل، ونعرف أيضًا معاملي انكسار المادتين الموجودتين على جانبي السطح الفاصل، لذا يمكننا استخدام قانون سنل لإيجاد زاوية السقوط هناك:

لأن متممة لـ يمكننا إيجاد قيمة باستخدام .

بالتقريب لأقرب درجة، نجد أن .

إلى جانب استخدام قيم لإيجاد الزاوية الحرجة، من المهم أن نكون قادرين على استخدام معادلة الزاوية الحرجة لإيجاد قيم مختلفة، مثل معامل انكسار مادة معلومة. وسنتدرب على ذلك في المثال التالي.

مثال ٥: حساب معامل الانكسار باستخدام الزاوية الحرجة

تنتقل أشعة ضوئية عبر طبقة من الكيروسين تطفو على سطح الماء الذي معامل انكساره 1.33. تنعكس الأشعة الضوئية الساقطة على السطح الفاصل بين الكيروسين والماء بزاوية أو أقل من السطح انعكاسًا داخليًا كليًا. ما معامل انكسار الكيروسين؟ قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

لدينا قيمة زاوية، لكنها لا تساوي الزاوية الحرجة؛ لأنها مقيسة بالنسبة إلى السطح وليس العمود المُقام. ومع ذلك، يمكن حساب الزاوية الحرجة بسهولة من الزاوية المعطاة لأنهما متتامتان:

ومن ثم، نعرف أن . والآن، لدينا قيمة الزاوية الحرجة، وبما أننا نعرف أن يكون لدينا متغيرين من بين ثلاثة متغيرات تظهر في معادلة الزاوية الحرجة:

يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد إحدى قيم . لأن الشعاع الضوئي يتحرك من الكيروسين إلى الماء، نعرف أن وعلينا إيجاد قيمة وهو معامل انكسار الكيروسين. لفعل ذلك، يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في :

نحن الآن مستعدون للتعويض بـ ، :

ومن ثم، فالكيروسين له معامل انكسار يساوي 1.39.

يمكن استخدام الانعكاس الداخلي الكلي، لتفسير بعض الظواهر اليومية التي قد نكون على دراية بها بالفعل. على سبيل المثال، تعد الألياف الضوئية أحد أكثر تطبيقات هذا المفهوم شيوعًا. الألياف الضوئية عبارة عن أسلاك طويلة رفيعة من مادة ملفوفة حول قلب مركزي. ويكون معامل انكسار الطبقة الداخلية أكبر من معامل انكسار الطبقة المحيطة. يُرسل الضوء إلى السلك من أحد طرفيه، ويتعرض الضوء لانعكاس داخلي كلي عدة مرات أثناء انتقاله عبر الألياف. يرتد الضوء من السطح الفاصل المحيط بالقلب حتى يخرج من الطرف الآخر. ويوضح الشكل أدناه هذه العملية. تُستخدم الألياف الضوئية في العديد من الاستخدامات العملية في مجالات مثل الطب والهندسة، فعلى سبيل المثال، تُوضع أنظمة من الألياف الضوئية الطويلة في قيعان البحار لنقل إشارات الاتصالات عبر مسافات كبيرة. وتُستخدم الألياف الضوئية أيضًا في لُعَب الأطفال والزخرفة نظرًا لمظهرها المثير للانتباه حيث يخرج الضوء من أطراف الألياف كما هو موضح أدناه.

يمكننا أن نتناول تطبيقًا آخر للانعكاس الداخلي الكلي الذي يسبب خداعًا بصريًا. السراب ظاهرة تحدث في الأيام الحارة حيث تظهر فيها صورة الجسم منعكسة من الأرض، ومن ثم يعطينا هذا انطباعًا بأن رقعة من الماء هي التي تعكس هذه الصورة. وهذا يحدث لأنه عندما تُسخِّن الشمس سطحًا مثل الرمال أو الرصف، يصبح الهواء القريب من السطح ساخنًا أيضًا. هذا الهواء الساخن له كثافة أقل ومعامل انكسار أقل من الهواء البارد الذي يعلوه، ومن ثم توجد زاوية حرجة بين طبقتي الهواء الساخن والبارد. وعندما تسقط الأشعة الضوئية على هذا السطح الفاصل بزوايا معينة، تتعرض الأشعة لانعكاس داخلي كلي، وهو ما يعيد توجيه الضوء مرة أخرى لأعلى ويخلق صورة مقلوبة، كما هو موضح أدناه. وهذا يُخيَّل لنا أن الضوء يرتد من سطح عاكس، مثل الماء.

دعونا نختم بتلخيص بعض المفاهيم المهمة.