في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة إمَّا حول مستقيم أفقي وإمَّا حول مستقيم رأسي، باستخدام طريقة التكامل بالأقراص وطريقة الفلكة.
نفترض أن لدينا منحنى ما في فترة ما ، كما هو موضَّح في التمثيل البياني.
إذا أخذنا جزء المنحنى الذي يقع بين ، ، وقمنا بتدويره حول المحور دورة كاملة (أي تدويره بمقدار أو )، فإن المنحنى سيُحدِّد سطحًا لمجسَّم أثناء دورانه، ويُسمَّى هذا مجسَّما دورانيًّا، كما هو موضَّح في الشكل.
إذا كان المنحنى المعرَّف بواسطة عبارة عن خط مستقيم، فسنجد أن لدينا مخروطًا، وإذا كان عبارة عن دائرة، فسنجد أن لدينا كرة. إذن، كيف نُحدِّد حجومَ هذه المجسَّمات الدورانية وأمثالها؟
تعريف: حجوم المجسَّمات الدورانية
نفترض أن لدينا مجسَّما يقع بين الخطين المستقيمين الرأسيين ، ؛ حيث مساحة مقطعه العرضي في المستوى الذي يمر بـ والعمودي على المحور هي . إذا كانت متصلة على الفترة ، فسيكون بإمكاننا تقسيم الفترة إلى عدد من الفترات الجزئية المتساوية العرض، ، واختيار نقطة، ، في كل فترة.
حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمحور بين ، حول المحور يُعطى كالآتي: حيث:
وبالمثل، حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمحور بين ، حول المحور يُعطى كالآتي:
يمكن تمثيل ذلك بيانيًّا أيضًا.
بالنسبة إلى المنحنى ، فإن المقطع العرضي يكون على شكل قرص مصمت أو دائرة مساحتها هي ؛ حيث نصف القطر. ونصف قطر كل دائرة يساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة. ومن ثَمَّ، فإن المقطع العرضي العمودي على محور الدوران هو قرص نصف قطره ، فيكون لدينا:
وبناءً على ذلك، فإن حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمحور بين ، حول المحور يمكن كتابته على الصورة:
ويُعرَف هذا بطريقة التكامل بالأقراص حول المحور أو المستقيم الأفقي . يمكننا تمثيل ذلك بيانيًّا كالآتي:
يمكننا أيضًا استخدام عملية مشابهة لحساب حجم مجسَّم تم تدويره حول المحور . حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمحور بين ، حول المحور يُعطى كالآتي:
ويُعرَف هذا أيضًا بطريقة التكامل بالأقراص حول المحور أو المستقيم الرأسي . ويمكن تمثيل ذلك بيانيًّا على النحو الآتي:
على سبيل المثال، هيا نستنتج صيغة لحجم الكرة. معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها هي ، أو تُكتَب بشكل مكافئ على صورة دالة في ؛ حيث .
في الحقيقة، ليس علينا سوى النظر إلى نصف الدائرة الموجود بالرُّبعين العلويين، والذي تعبِّر عنه المعادلة ، كما هو موضَّح في الشكل:
يمكننا تدوير هذا المنحنى بين ، حول المحور دورة كاملة لتكوين كرة قطرها ومركزها نقطة الأصل.
مساحة المقطع العرضي لهذا المجسَّم تُعطى كالآتي:
وبناءً على ذلك، فإن حجم المجسَّم الدوراني يُعطى كالآتي:
هذه هي النتيجة القياسية لحجم الكرة، كما هو متوقَّع. كنا سنحصل على النتيجة نفسها إذا استخدمنا نصف الدائرة في المنطقة أسفل المحور ، والتي تعبِّر عنها المعادلة .
والآن، هيا نفعل الأمر نفسه مع حجم المخروط. لدينا معادلة الخط المستقيم المار بنقطة الأصل؛ ، كما هو موضَّح في الرسم.
يمكننا تدوير هذا الخط المستقيم المحصور بين ، دورة كاملة حول المحور لتكوين مخروط نصف قطره وارتفاعه الرأسي ، كما هو موضَّح في الشكل.
مساحة المقطع العرضي لهذا المجسَّم تُعطى كالآتي:
ومن ثَمَّ، نحصل على حجم المجسَّم الدوراني كالآتي:
وهذه هي النتيجة القياسية لحجم المخروط، كما هو متوقَّع.
والآن، نتناول بعض الأمثلة لنتدرَّب على كيفية حساب حجوم المجسَّمات الدورانية باستخدام طريقة التكامل بالأقراص وطريقة الفلكة. في المثال الأول، نُوجِد حجم مجسَّم ناشئ عن دورة كاملة لمنطقة معيَّنة حول المحور . سنفعل ذلك باستخدام طريقة التكامل بالأقراص.
مثال ١: إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران منطقة محدَّدة بخط مستقيم مُعطى حول المحور س
افترض أن هناك منطقة محدَّدة بالمنحنيات ، ، ، . أوجد حجم المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول المحور .
الحل
في هذا المثال، نريد حساب حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة معيَّنة حول المحور .
يمكننا تمثيل المنطقة المحدَّدة بالمنحنيات ، ، ، ، بيانيًّا كالآتي:
المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول المحور هو مخروط ناقص؛ أي يبدو مخروطًا مقطوعًا عند الرأس.
وبما أننا قمنا بتدوير المنطقة حول المحور ، إذن يُعطى الحجم بالصيغة:
المقطع العرضي الرأسي للمجسَّم يكون على شكل قرص، ونصف القطر، ، لكل قرص يساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة، . إذن مساحة المقطع العرضي تُعطى كالآتي:
حدا التكامل ، هما الحدان الرأسيان لـ في المنطقة المحدَّدة بالمنحنيين، ؛ ويمكن ملاحظة هذا أيضًا من الرسم الخاص بالمنطقة المحدَّدة بالمنحنيات. لدينا ، ، إذن حجم المجسَّم الدوراني يُعطى كالآتي:
وبناءً على ذلك، فإن حجم المجسَّم الدوراني يساوي:
في المثال التالي، نُحدِّد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران منطقة محدَّدة بدالة جذرية ومستقيمين آخرين حول المحور . سنفعل ذلك باستخدام طريقة التكامل بالأقراص.
مثال ٢: إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة الواقعة تحت منحنى دالة جذرية حول المحور س
أوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى والمستقيمين ، حول المحور .
الحل
في هذا المثال، نريد حساب حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة معيَّنة حول المحور .
يمكننا تمثيل المنطقة المحصورة بين المنحنى والمستقيمين ، ، بيانيًّا كالآتي:
المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول المحور يبدو هكذا:
نظرًا لأن هذه المنطقة تدور حول المحور ، سيُعطى حجم المجسَّم بالصيغة:
المقطع العرضي الرأسي للمجسَّم سيكون على شكل قرص، ونصف قطر كل قرص سيساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة، . إذن مساحة المقطع العرضي تُعطى كالآتي:
حدا التكامل ، ، هما الحدان الرأسيان لـ في المنطقة. الحد العلوي هو ، والحد السفلى يحدِّده تقاطع المنحنى والمستقيم ، ويقع التقاطع عند ، ويمكن ملاحظة هذا أيضًا من الرسم الخاص بالمنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمستقيمين. لدينا ، ؛ وبناءً على ذلك، يمكن إيجاد حجم المجسَّم الدوراني كالآتي:
إذن حجم المجسَّم الناشئ يساوي:
نتناول الآن مثالًا علينا فيه إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران منطقة محدَّدة بقطع مكافئ حول المحور . سنُوجِد ذلك باستخدام طريقة التكامل بالأقراص.
مثال ٣: إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بقطع مكافئ حول المحور س
أوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمحور دورة كاملة حول المحور .
الحل
في هذا المثال، علينا حساب حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة معيَّنة حول المحور .
يمكننا تمثيل المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمحور ، بيانيًّا كالآتي:
المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول المحور يبدو بهذا الشكل:
نظرًا لأن المنطقة تدور حول المحور ، فسيُعطى الحجم بالصيغة:
المقطع العرضي للمجسَّم سيكون على شكل قرص، ونصف قطر كل قرص سيساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة، . وبناءً على ذلك، يمكننا الحصول على مساحة المقطع العرضي كالآتي:
حدا التكامل ، هما الحدان الرأسيان لـ في المنطقة، ويحدث هذا عند تقاطع المنحنى مع المحور أو عند :
يمكن إيجاد الحل باستخدام القيمتين ، ، ويمكن ملاحظة ذلك من الرسم الخاص بالمنطقة المحدَّدة بالمنحنيات. إذن، نجد أن ، ؛ ومن ثَمَّ، فإن حجم المجسَّم الدوراني يُعطى كالآتي:
إذن حجم المجسَّم الناشئ يساوي:
نتناول الآن مثالًا نُوجِد فيه حجم مجسَّم دوراني، لكنه هذه المرة يدور حول المحور . سنُوجِد ذلك باستخدام طريقة التكامل بالأقراص.
مثال ٤: إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بمستقيمات مُعطاة حول المحور ص
أوجد حجم المجسَّم الناشئ عن الدوران، دورة كاملة حول المحور ، للمنطقة المحدَّدة بالمنحنى ، والخطوط المستقيمة ، ، .
الحل
في هذا المثال، نريد حساب حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة معيَّنة حول المحور .
يمكننا تمثيل المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والخطوط المستقيمة ، ، ، بيانيًّا كالآتي:
المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول المحور يشبه المخروط.
نظرًا لأن دوران هذه المنطقة حول المحور ، سيُعطى الحجم بالصيغة:
المقطع العرضي الأفقي للمجسَّم سيكون على شكل قرص، ونصف قطر كل قرص سيساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة، . إذن مساحة المقطع العرضي تُعطى كالآتي:
حدا التكامل ، ، هما الحدان الأفقيان لـ في المنطقة، ، ويمكن ملاحظة هذا أيضًا من الرسم الخاص بالمنطقة المحدَّدة بالمنحنيات. ومن ثَمَّ، نجد أن لدينا ، ، ويُعطى حجم المجسَّم كالآتي:
إذن حجم المجسَّم الناشئ يساوي:
الحجم لمجسَّم ناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بـ ، على الفترة ؛ حيث ، حول المحور يُعطى بالصيغة:
ويُعرَف هذا بطريقة الفلكة، حول المحور ، أو المستقيم الأفقي ، وهو ما يمكننا تمثيله بيانيًّا كالآتي:
وبالمثل، فإن الحجم لمجسَّم ناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بـ ، على الفترة ؛ حيث ، حول المحور يُعطى بالصيغة:
ويُعرَف هذا أيضًا بطريقة الفلكة، حول المحور ، أو المستقيم الرأسي ، ويمكن تمثيل ذلك بيانيًّا على النحو الآتي:
هيا الآن نتناول بعض الأمثلة التي نستخدم فيها طريقة الفلكة؛ حيث يدور منحنيا دالتين حول أحد المحورين، ويكون المقطع العرضي لكل مجسَّم ناشئ على شكل قرص.
نبدأ بإيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران منطقة محدَّدة بدالتين في ؛ دالتين كثيرتَي الحدود من الدرجتين ٢ و٤، حول المحور .
مثال ٥: إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بقطع مكافئ ومنحنى دالة أسية حول المحور ص
أوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنيين ، حول المحور .
الحل
في هذا المثال، نريد حساب حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة معيَّنة حول المحور .
يمكننا تمثيل المنطقة المحدَّدة بالمنحنيين ، ، بيانيًّا كالآتي:
المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران حول المحور يبدو بهذا الشكل:
أما المجسَّم الناشئ عن دوران ، فيبدو بهذا الشكل:
وبناءً على ذلك، فإن المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بهذين المنحنيين حول المحور سيبدو بهذا الشكل:
نظرًا لأن هذه المنطقة تدور حول المحور ، سيُعطى الحجم بالصيغة:
المقطع العرضي لكل مجسَّم سيكون على شكل قرص، ونصف قطر كل قرص سيساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة، ، . ومن ثَمَّ، فإن الفرق بين مساحة القرص الأكبر ومساحة القرص الأصغر يُعطى كالآتي:
حدا التكامل ، هما الحدان الأفقيان لـ في المنطقة، وهما في هذه الحالة يساويان قيمتَي عند النقطتين اللتين يتقاطع عندهما المنحنيان:
يكون الحل هو القيمتان ، ، ويتقاطع المنحنيان عند النقطتين ، . يمكن ملاحظة هذا أيضًا من الرسم الخاص بالمنطقة المحدَّدة بالمنحنيين. حسنًا، لدينا ، ، ويُعطى حجم المجسَّم الدوراني كالآتي:
إذن حجم المجسَّم الناشئ يساوي:
نتناول الآن مثالًا علينا فيه إيجاد حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة محدَّدة بمنحنيين؛ قطع مكافئ وخط مستقيم، حول المحور . سنفعل ذلك باستخدام طريقة الفلكة.
مثال ٦: إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بقطع مكافئ وخط مستقيم حول المحور ص
أوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والخط المستقيم حول المحور .
الحل
في هذا المثال، نريد حساب حجم المجسَّم الناشئ عن دوران منطقة معيَّنة حول المحور .
يمكننا تمثيل المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والخط المستقيم ، بيانيًّا كالآتي:
المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران حول المحور يكون بهذا الشكل:
أما المجسَّم الناشئ عن دوران ، فيكون بهذا الشكل:
إذن المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بهذين المنحنيين حول المحور يبدو هكذا:
نظرًا لأن المنطقة تدور حول المحور ، فسيُعطى الحجم بالصيغة:
المقطع العرضي الأفقي لكل مجسَّم سيكون على شكل قرص، ونصف قطر كل قرص سيساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة، ، . إذن مساحة المقطع العرضي تُعطى كالآتي:
حدا التكامل ، هما الحدان الأفقيان لـ في المنطقة، وهما في هذه الحالة نقطتا تقاطع المنحنيين:
يكون الحل هو القيمتان ، ؛ حيث يتقاطع المنحنيان عند النقطتين ، ، ويمكن ملاحظة ذلك أيضًا من الرسم الخاص بالمنطقة المحدَّدة بالمنحنيين. حسنًا، لدينا ، ؛ وبناءً على ذلك، فإن حجم المجسَّم الدوراني يُعطى كالآتي:
إذن، حجم المجسَّم الناشئ يساوي:
وأخيرًا، هيا نتناول مثالًا علينا فيه إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران منطقة محدَّدة بمنحنيات حول مستقيم موازٍ للمحور . سنفعل ذلك باستخدام طريقة الفلكة.
مثال ٧: إيجاد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران منطقة حول مستقيم موازٍ للمحور ص
لدينا المنطقة المحدَّدة بالمنحنيات ، ، . أوجد حجم المجسَّم الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول .
الحل
في هذا المثال، نريد حساب حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة معيَّنة حول المستقيم الموازي للمحور .
يمكننا تمثيل المنطقة المحدَّدة بالمنحنيات ، ، ، بيانيًّا كالآتي:
المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران حول يبدو بهذا الشكل:
أما المجسَّم الناشئ عن دوران ، فيبدو بهذا الشكل:
وبناءً على ذلك، فإن المجسَّم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بهذه المنحنيات حول المستقيم الموازي للمحور سيبدو هكذا:
نظرًا لأن المنطقة تدور حول المستقيم الموازي للمحور ، سيُعطى الحجم بالصيغة:
المقطع العرضي لكل مجسَّم سيكون على شكل قرص. ولكن، بما أن الدوران يحدث حول المستقيم بدلًا من المحور أو المستقيم ، إذن علينا أن نضع ذلك في اعتبارنا ونطرح المعادلتين اللتين تعبِّران عن المنحنيين من ٣. سيكون نصفا قطرَي كل قرصين ، . ومن ثَمَّ، فإن الفرق بين مساحة القرص الأكبر ومساحة القرص الأصغر يُعطى كالآتي:
حدا التكامل ، هما الحدان الأفقيان لـ في المنطقة. الحد السفلي هو ، والحد العلوي هو نقطة تقاطع المنحنيين ، ؛ أي ، ويمكن ملاحظة هذا أيضًا من الرسم الخاص بالمنطقة المحدَّدة بالمنحنيات. حسنًا، لدينا ، ؛ وبناءً على ذلك، يُعطى حجم المجسَّم الدوراني كالآتي:
إذن حجم المجسَّم الناشئ هو:
النقاط الرئيسية
- طريقة التكامل بالأقراص: عند دوران منحنى دالة واحدة حول محور، يكون المقطع العرضي للمجسَّم على شكل قرص، ونصف القطر، ، لكل قرص يساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة. تتحدَّد مساحة المقطع العرضي بالعلاقة .
حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمحور بين ، حول المحور يُعطى بالصيغة: وبالمثل، حجم المجسَّم الناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى والمحور بين ، حول المحور يُعطى بالصيغة: - طريقة الفلكة: عند دوران منحنيَي دالتين حول محور، يكون المقطع العرضي لكل مجسَّم ناشئ عن الدوران على شكل قرص، ويساوي نصفا القطرين، ، ، قيمتَي الدالتين عند هذه النقطة. يمكن إيجاد مساحة المقطع العرضي بطرح المساحة الداخلية من المساحة الخارجية بهذه الصورة .
الحجم لمجسَّم ناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بـ ، بين ، ؛ حيث ، حول المحور ، يُعطى بالصيغة: وبالمثل، الحجم لمجسَّم ناشئ عن دوران المنطقة المحدَّدة بـ ، بين ، ؛ حيث ، حول المحور ، يُعطى بالصيغة: - حدا التكامل هما الحدان الرأسيان أو الأفقيان لـ أو على الترتيب، ويتوقَّف ذلك على محور الدوران والمنطقة المحدَّدة بالمنحنيات.
