في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد الأحداث المتنافية والأحداث غير المتنافية ونُوجِد احتمالاتها.
قبل أن نناقش الأحداث المتنافية، هيا نراجع الأحداث المركبة وقاعدة الجمع للاحتمالات.
مصطلحات رئيسية: الأحداث المركبة وقاعدة الجمع للاحتمالات
تقاطُع الحدثين ، ، ويُرمَز إليه بـ ، هو كل العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين ، ، وهذا يُكافِئ وقوع الحدثين معًا.
اتحاد الحدثين ، ، ويُرمَز إليه بـ ، هو كل العناصر الموجودة في أيٍّ من المجموعتين ، ، أو في كلتيهما، وهذا يُكافِئ وقوع أيٍّ من الحدثين.
في حالة عدم إمكانية وقوع الحدث في فضاء العيِّنة ، فإن احتماله يساوي ٠. وبما أن ، إذن . بعبارةٍ أخرى، لا توجد عناصر في . ونُطلِق على المجموعة التي لا تحتوي على عناصر اسم المجموعة الخالية ونَرمز إليها بـ .
تنص قاعدة الجمع للاحتمالات على الآتي:
يمكننا استخدام ذلك للتوصُّل إلى تعريف. إذا كان ، فبإمكاننا تبسيط قاعدة الجمع للاحتمالات لتُصبح:
وإذا كان ، فإننا نُطلِق على الحدثين «حدثين متنافيين»؛ نظرًا لعدم إمكانية وقوع الحدثين معًا في الوقت نفسه. يمكننا كتابة ذلك بشكلٍ منظم كالآتي.
تعريف: الأحداث المتنافية وقاعدة الجمع للأحداث المتنافية
نقول إن ، حدثان متنافيان إذا كان . وهذا يُكافِئ قولنا إنه لا يمكن وقوع الحدثين في الوقت نفسه؛ إذ إن .
نقول إن قائمة الأحداث متنافية إذا كان كل حدثين فيها متنافيين؛ أي إن لأي ، .
إذا كان ، متنافيين، فإن:
لكي نرى مثالًا للأحداث المتنافية، يمكننا تذكُّر أن تقاطُع الحدثين ، يمكن توضيحه على شكل فن باعتباره الجزء المتداخل بين ، . إذن، في شكل فن، لا يوجد تقاطع بين الأحداث المتنافية.
في الشكل الأول، لا يوجد تقاطع بين الحدثين؛ ومن ثَمَّ فالحدثان متنافيان. لكن في الشكل الثاني، يوجد تقاطع بين حُب القطط وحُب الكلاب؛ ومن ثَمَّ فالحدثان غير متنافيين. وبالطبع، على الرغم من وجود تقاطع، يجب أن نتأكَّد أيضًا من أن هذا التقاطع يحتوي على عنصر واحد على الأقل.
في المثال الأول، سنُحدِّد إذا ما كانت الأحداث متنافية أو لا.
مثال ١: تحديد إذا ما كانت الأحداث متنافية أو لا
رانيا لديها ٥٢ ورقة من أوراق اللعب. اختارت بشكلٍ عشوائي ورقة واحدة وافترضت وقوع الأحداث الآتية:
الحدث (أ): أنها اختارت ورقة من أوراق الكوبة.
الحدث (ب): أنها اختارت ورقة مرسومًا عليها بالأسود.
الحدث (ج): أنها اختارت ورقة ليست من أوراق البستوني.
- هل الحدثان (أ) و(ب) متنافيان؟
- هل الحدثان (أ) و(ج) متنافيان؟
- هل الحدثان (ب) و(ج) متنافيان؟
الحل
نبدأ بتذكُّر أن الحدثين ، يكونان متنافيين في حالة عدم إمكانية حدوثهما في الوقت نفسه. بعبارةٍ أخرى، .
إذن لتحديد إذا ما كان الحدثان المُعطيان متنافيين، علينا التأكُّد من أن هناك أي ورقة من أوراق اللعب البالغ عددها ٥٢ تحقِّق الحدثين معًا.
الجزء الأول
هناك طريقتان للتأكُّد من أن الحدثين «اختيار ورقة من أوراق الكوبة» و«اختيار ورقة مرسوم عليها بالأسود» متنافيان.
في الطريقة الأولى، يمكننا ملاحظة أن جميع أوراق الكوبة حمراء؛ لذا لا توجد ورقة كوبة مرسوم عليها بالأسود. ولذلك، لا يمكن أن يقع الحدثان معًا؛ إذن الحدثان متنافيان.
في الطريقة الثانية، يمكننا تحديد جميع أوراق كل حدث والتحقُّق من وجود أي تداخل بين الحدثين.
نُحدِّد كل أوراق الكوبة باللون الأحمر (الحدث أ)، ونحدِّد كل الأوراق المرسوم عليها بالأسود باللون الأخضر (الحدث ب). نلاحظ عدم وجود تداخل بين هذين الحدثين؛ لذا لا يمكن وقوعهما في آنٍ واحد.
من ثَمَّ، يمكننا القول إن الحدثين (أ) و(ب) متنافيان.
الجزء الثاني
كما في الجزء الأول، هناك طريقتان للتحقُّق ممَّا إذا كان الحدثان «اختيار ورقة من أوراق الكوبة» و«اختيار ورقة ليست من أوراق البستوني» متنافيين.
في الطريقة الأولى، يمكننا ملاحظة أن جميع أوراق الكوبة ليست من أوراق البستوني؛ ولذا فإن اختيار أي ورقة من أوراق الكوبة سيحقِّق الحدثين. ومن ثَمَّ، بما أن كلا الحدثين يمكن أن يقعا في الوقت نفسه، إذن يمكننا استنتاج أنهما غير متنافيين.
في الطريقة الثانية، يمكننا تحديد جميع أوراق كل حدث والتحقُّق من وجود أي تداخل بين الحدثين.
نُحدِّد أوراق الكوبة باللون الأحمر (الحدث أ)، ونظلِّل جميع الأوراق التي ليست من أوراق البستوني باللون الأزرق (الحدث ج). يمكننا ملاحظة أن جميع أوراق الكوبة تحقِّق الحدثين (أ)، (ب)؛ ولذا فالحدثان غير متنافيين.
من ثَمَّ، يمكننا القول إن الحدثين (أ)، (ج) غير متنافيين.
الجزء الثالث
هناك طريقتان للتأكُّد من أن الحدثين «اختيار ورقة مرسوم عليها بالأسود» و«اختيار ورقة ليست من أوراق البستوني» متنافيان.
في الطريقة الأولى، يمكننا ملاحظة أن جميع أوراق السباتي مرسوم عليها بالأسود وليست من أوراق البستوني؛ ومن ثَمَّ فإن اختيار أيٍّ من هذه الأوراق يحقِّق كلا الحدثين.
في الطريقة الثانية، يمكننا تحديد جميع أوراق كل حدث والتحقُّق من وجود أي تداخل بين الحدثين.
نُحدِّد جميع الأوراق المرسوم عليها بالأسود باللون البنفسجي (الحدث ب)، ونظلِّل جميع الأوراق التي ليست من أوراق البستوني باللون الأزرق (الحدث ج). نلاحظ أن جميع أوراق السباتي تحقِّق الحدثين (ب)، (ج)؛ ولذا فالحدثان غير متنافيين.
من ثَمَّ، يمكننا القول إن الإجابة: لا، الحدثان (ب)، (ج) غير متنافيين.
في المثال الثاني، سنستخدم تنافي حدثين واحتمالاتهما لتحديد احتمال وقوع أيٍّ منهما.
مثال ٢: تحديد احتمال اتحاد حدثين متنافيين
، حدثان متنافيان لهما الاحتمالان ، . أوجد .
الحل
لعلنا نتذكَّر أنه بما أن ، متنافيان، فإن . تخبرنا قاعدة الجمع للاحتمالات بأنه عندما يكون ، متنافيان، فإن:
يمكننا بعد ذلك التعويض بـ ، في هذه المعادلة، لنحصل على:
في المثال الآتي، سنستخدم قاعدة الجمع للاحتمالات مع الأحداث المتنافية لتحديد احتمال وقوع حدث منها.
مثال ٣: تحديد احتمال وقوع حدث ما باستخدام علاقة مُعطاة بين حدثين متنافيين
افترض أن ، حدثان متنافيان. احتمال وقوع الحدث يساوي خمسة أمثال احتمال وقوع الحدث . إذا كان احتمال وقوع أحد الحدثين يساوي ٠٫١٨، فأوجد احتمال وقوع الحدث .
الحل
نحن نعلم أن احتمال وقوع الحدث أو يساوي ٠٫١٨. ونعلم أيضًا أن ، متنافيين، ونتذكَّر أن هذا يعني أن . كما نعلم أن احتمال وقوع يساوي خمسة أمثال احتمال وقوع الحدث ؛ أي إن . يمكننا أن نتذكَّر أنه بما أن ، متنافيان، فإن قاعدة الجمع للاحتمالات تنص على أن:
بالتعويض بـ ، في المعادلة نحصل على:
يمكننا بعد ذلك قسمة المعادلة على ٦، لنحصل على:
في المثال الآتي، سنستخدم سياق مسألة كلامية لاستنتاج إذا ما كانت الأحداث متنافية أو لا، ثم نستخدم ذلك لتحديد احتمال وقوع أي حدث منها.
مثال ٤: استخدام قاعدة الجمع لتحديد احتمال اتحاد أحداث متنافية
تتكوَّن فرقة صغيرة من مغنِّي تينور، و٣ مغنِّيات سوبرانو، ومغنِّي باريتون، ومغنِّية ميزو سوبرانو. إذا اختير أحد أسمائهم عشوائيًّا، فأوجد احتمال أن يكون اسم مغنِّي تينور أو مغنِّية سوبرانو.
الحل
يمكننا البدء برسم المُعطيات لنحصل على فكرة واضحة عن تكوين الفرقة.
إذا افترضنا التزام كل مغنٍّ بدوره؛ فعلى سبيل المثال، لا يغنِّي السوبرانو تينور أو باريتون والعكس، فإن الأحداث سوبرانو وتينور وباريتون وميزو سوبرانو أحداث متنافية؛ إذ لا يمكن أن يقع حدثان منها في الوقت نفسه.
من ثَمَّ، لكي نُوجِد احتمال أن يكون المغنِّي المُختار اسمه عشوائيًّا مغنِّي تينور أو مغنِّية سوبرانو، يمكننا استخدام قاعدة الاحتمال ؛ ونظرًا لأن الحدثين ، متنافيان، فإن .
بما أن إجمالي عدد المغنِّين ستة، وواحد منهم فقط مغنِّي تينور، فإن احتمال أن يكون المغنِّي المختار عشوائيًّا مغنِّي تينور هو:
بالمثل، توجد ٣ مغنِّيات سوبرانو؛ ومن ثَمَّ:
بتطبيق القاعدة التي تنص على أنه بالنسبة إلى الأحداث المتنافية، فإن ، يكون لدينا:
في المثال الآتي، سنستخدم ثلاثة أحداث متنافية وخواص الاحتمال لتحديد احتمال وقوع حدث مركب في مسألة كلامية.
مثال ٥: تحديد اتحاد أحداث متنافية
تحتوي حقيبة على كرات حمراء وكرات زرقاء وكرات خضراء، ويجب اختيار واحدة من بينها دون النظر داخل الحقيبة. احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء يساوي سبعة أمثال احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء. احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء يساوي احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء.
أوجد احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء.
الحل
نُسمِّي الحدث اختيار كرة حمراء ، واختيار كرة زرقاء ز، واختيار كرة خضراء . بما أن الكرة المختارة لا يمكن أن يكون لها إلا لون واحد من هذه الألوان الثلاثة، إذن يمكننا استنتاج أن الأحداث متنافية. نريد تحديد احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء أو خضراء؛ أي .
تُخبرنا قاعدة الجمع للاحتمالات أن:
وبما أن الحدثين متنافيان، فإننا نَعرِف أن ، إذن:
يخبرنا السؤال أن احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء يساوي سبعة أمثال احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء؛ لذا:
ويخبرنا السؤال أيضًا أن احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء يساوي احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء، إذن:
وأخيرًا، بما أن الحقيبة تحتوي فقط على كرات حمراء وزرقاء وخضراء، وهذه أحداث متنافية، فإن لدينا:
بالتعويض بـ ، في هذه المعادلة، نحصل على:
بقسمة المعادلة على ٩، نحصل على:
بما أن احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء يساوي احتمال أن تكون الكرة المختارة خضراء، فهذا يعني أن:
وبما أن احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء يساوي سبعة أمثال احتمال أن تكون الكرة المختارة زرقاء، فإن:
بالتعويض بهذه القيم في قاعدة الجمع لاحتمالات الأحداث المتنافية، نحصل على:
في المثال الأخير، سنلاحظ أن الحدثين غير متنافيين، ثم نستخدم الاحتمالات المُعطاة إلى جانب قاعدة الجمع للاحتمالات لتحديد احتمال وقوع حدث ما.
مثال ٦: إيجاد احتمال الفرق بين حدثين بمعلومية احتمال كلٍّ منهما، واحتمال تقاطعهما
احتمال أن يجتاز طالب اختبار مادة الفيزياء هو ٠٫٧١. واحتمال اجتياز الطالب لاختبار مادة الرياضيات هو ٠٫٨١. واحتمال اجتياز الطالب للاختبارين معًا هو ٠٫٦٨. ما احتمال أن يجتاز الطالب اختبار مادة الرياضيات فقط؟
الحل
لإيجاد احتمال اجتياز الطالب اختبار الرياضيات دون الفيزياء، هيا نوضِّح الحدثين على شكل فن. نلاحظ أنه نظرًا لوجود تداخل، فإن الحدثين غير متنافيين ويمكن وقوعهما معًا. وهذا يُعطينا ما يأتي:
الآن إذا حدَّدنا الاحتمالات التي نَعرفها بشأن الحدث «اجتياز اختبار الرياضيات» على الشكل، وهي ، ، نحصل على:
الحدث «اجتياز اختبار الرياضيات» هو كل ما بداخل الشكل البيضاوي الأحمر، واحتماله ٠٫٨١. يُغطي التداخل في مركز الشكل الحدث «اجتياز اختبارَي الرياضيات والفيزياء» واحتماله ٠٫٦٨. لكننا نريد إيجاد احتمال اجتياز اختبار الرياضيات دون الفيزياء، وهو ما يُغطِّي الجزء المظلَّل باللون البنفسجي في الشكل الآتي.
بما أن احتمال اجتياز اختبار الرياضيات مكوَّن من احتمال اجتياز اختبار الرياضيات دون الفيزياء واحتمال اجتياز كلتيهما، إذن:
بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على:
من ثَمَّ، احتمال اجتياز الطالب لاختبار الرياضيات دون الفيزياء يساوي ٠٫١٣.
هيا نختم الآن باسترجاع بعض النقاط المهمة التي تناولناها في هذا الشارح.
النقاط الرئيسية
- نقول إن ، حدثان متنافيان إذا كان . وهذا يُكافِئ قولنا إنه لا يمكن وقوع الحدثين في الوقت نفسه؛ إذ إن .
- نقول عن قائمة أحداث إنها متنافية إذا كان كل حدثين فيها متنافيين.
- إذا كان الحدثان ، متنافيين، فإن:
- إذا كان الحدثان ، غير متنافيين، فإن: حيث .
