تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

النمذجة باستخدام التغيُّر

جاي أبرامسون

عَرَضَت شركةٌ لبيع السيارات المستعمَلة للتوِّ على نيكول — أفضلِ مرشَّحيها المتقدِّمين للعمل لديها — وظيفةً في قسم المبيعات. تُقدِّم لها الوظيفةُ عمولةً نسبتُها ١٦% على مبيعاتها. وتعتمد أرباح نيكول على حجم مبيعاتها. على سبيل المثال، إذا باعت سيارة بقيمة ٤٦٠٠ دولار، فستجني ربحًا قدره ٧٣٦ دولارًا. ترغب نيكول في تقييم عرض العمل المُقدَّم لها، لكنها ليست متأكدة من كيفية إجراء ذلك. في هذا القسم، سنبحث بعض العلاقات؛ مثل العلاقة بين الأرباح، والمبيعات، ونسبة العمولة.

١. حل مسائل التغيُّر الطردي

في المثال السابق، يمكن إيجاد أرباح نيكول بضرب مبيعاتها في عمولتها. نعلم من الصيغة أن أرباحها ، تأتي من حاصل ضرب — نسبة عمولتها — في سعر بيع السيارة. إذا أنشأنا جدولًا، فسنلاحظ أنه كلما تزايد سعر البيع، تزايدت الأرباح كذلك، وهو أمر بديهي. انظر الجدول ١.

جدول ١
(سعر البيع) التفسير
٤٦٠٠ دولار ينتج عن بيع سيارة بقيمة ٤٦٠٠ دولار أرباح قدرها ٧٣٦ دولارًا.
٩٢٠٠ دولار ينتج عن بيع سيارة بقيمة ٩٢٠٠ دولار أرباح قدرها ١٤٧٢ دولارًا.
١٨‎ ‎٤٠٠ دولار ينتج عن بيع سيارة بقيمة ١٨‎ ‎٤٠٠ دولار أرباح قدرها ٢٩٤٤ دولارًا.

لاحظ أن الأرباح هي حاصل ضرب العمولة في سعر البيع. ومثلما هو متوقع، فكلما زاد سعر البيع، زادت الأرباح. عند تضاعُف سعر السيارة من ٤٦٠٠ دولار إلى ٩٢٠٠ دولار، فإن الأرباح تتضاعف من ٧٣٦ دولارًا إلى ١٤٧٢ دولارًا. كلما زاد المُدخَل، زاد المُخرَج في صورة مضاعف للمُدخَل. تُسمى العلاقة التي تكون فيها كمية واحدة ثابتة مضروبة في كمية أخرى بعلاقة تغيُّر طردي. كل متغير في هذا النوع من العلاقات يتغير طرديًّا مع الآخر.

الشكل ١ يمثل بيانات نيكول الخاصة بأرباحها المحتملة. نعلم أن الأرباح تتغير طرديًّا مع سعر بيع السيارة. تُستخدم الصيغة للتعبير عن التغير الطردي. قيمة هي ثابت لا يساوي صفر وأكبر منه ويُسمى ثابت التغير. في هذه الحالة، ، . لقد استعرضنا دوال مثل هذه عند مناقشتنا لدوال القوة.

شكل ١

التغير الطردي

إذا كانت ، مرتبطتين بمعادلة على الصورة:

فإننا نقول إن العلاقة هي تغير طردي؛ حيث تتغير طرديًّا مع القوة للمتغير أو تتناسب معها. في علاقات التغير الطردي، توجد نسبة ثابتة لا تساوي صفرًا هي ؛ حيث تُسمى ثابت التغير، وتساعد في تعريف العلاقة بين المتغيرات.

كيف يمكننا ...

باستخدام وصفٍ لمسألةِ تغيُّرٍ طرديٍّ، نوجد قيمة المجهول.

  1. نعرِّف المُدخل ، والمُخرج .
  2. نوجد ثابت التغير. قد نحتاج إلى قسمة على قوة محددة للمتغير لإيجاد ثابت التغير.
  3. نستخدم ثابت التغير لكتابة معادلة عن العلاقة.
  4. نعوض بالقيم المعلومة في المعادلة لإيجاد قيمة المجهول.

مثال ١: حل مسألة تغير طردي

تتغير الكمية طرديًّا مع مكعب . إذا كانت عندما ، فأوجد عندما تساوي ٦.

الحل

الصيغة العامة للتغير الطردي مع قيمة مكعبة هي . لإيجاد الثابت، نجد أن:

بالتعويض عن قيمتَي ، المعطاتَيْن، نحصل على:

الآن نستخدم الثابت لكتابة المعادلة التي تمثل هذه العلاقة. لدينا:

بالتعويض ، نجد أن:

التحليل

الرسم البياني لهذه المعادلة يمثل دالة مكعبة بسيطة، كما هو موضح في شكل ٢.

شكل ٢

سؤال

هل الرسوم البيانية لكل معادلات التغير الطردي تشبه مثال ١؟

إجابة

لا، فمعادلات التغير الطردي هي دوال قوة؛ أي قد تكون خطية، أو تربيعية، أو تكعيبية، أو من الدرجة الرابعة، أو جذرية، وغيره، لكن كل الرسوم البيانية تمر خلال .

٢. حل مسائل التغير العكسي

تتغير درجة حرارة الماء في المحيط عكسيًّا مع عمق الماء. بين العمقين ٢٥٠ قدمًا و٥٠٠ قدم، من القانون نحصل على درجة الحرارة بالفهرنهايت عند عمقٍ ما مَقيسًا بالقدم أسفل سطح الأرض. علمًا بأن المحيط الأطلنطي يغطي ٢٢% من سطح الأرض. عند موقع معين، عند عمق ٥٠٠ قدم، قد تساوي درجة الحرارة . إذا أنشأنا الجدول ٢، فإننا نلاحظ أنه كلما زاد العمق، انخفضت درجة حرارة الماء.

جدول ٢
. العمق التفسير
قدم عند عمق قدم، درجة الحرارة تساوي .
قدم عند عمق قدم، درجة حرارة الماء تساوي .
قدم عند عمق قدم، درجة حرارة الماء تساوي .

نلاحظ في العلاقة بين هذين المتغيرين أنه، كلما زادت كمية واحدة، انخفضت الأخرى. يُقال إن الكميتين متناسبتان عكسيًّا؛ حيث يتغير كل حد عكسيًّا مع الآخر. تُسمى علاقات التناسب العكسي تغيرات عكسية.

على سبيل المثال، يصف الشكل ٣ التغير العكسي. نقول إن درجة حرارة الماء تتغير عكسيًّا مع عمق الماء؛ لأنه كلما زاد العمق، انخفضت درجة الحرارة. تُستخدم الصيغة للتعبير عن التغير العكسي في هذه الحالة تكون .

شكل ٣

التغير العكسي

إذا كانت ، مرتبطتين في معادلة على الصورة:

حيث ثابت لا يساوي صفرًا، حينئذٍ نقول إن تتغير عكسيًّا مع القوة للمتغير . في العلاقات المتناسبة عكسيًّا، أو التغيرات العكسية، يوجد مضاعف ثابت .

مثال ٢: كتابة صيغة لعلاقة تناسُب عكسي

يخطط سائح لقيادة سيارته مسافة ١٠٠ ميل. أوجد صيغة تعبر عن الزمن الذي تستغرقه الرحلة كدالة في السرعة التي يقود بها السائح.

الحل

نتذكر أن ضرب السرعة في الزمن يعطينا المسافة. إذا افترضنا أن تمثل زمن القيادة بالساعات، تمثل السرعة (مقدار السرعة أو معدلها) التي يقود بها السائح، إذن . بما أن المسافة ثابتة بمقدار ١٠٠ ميل، ؛ فإن . بما أن الزمن دالة في السرعة، فيمكننا كتابة:

يمكننا ملاحظة أن ثابت التغير يساوي ١٠٠، وأنه بالرغم من إمكاننا كتابة العلاقة باستخدام الأس السالب، فإنه من الشائع رؤيته مكتوبًا في صورة كسر. نقول إن الزمن يتغير عكسيًّا مع السرعة.

كيف يمكننا ...

باستخدام وصف مسألة تغير عكسي، إيجاد قيمة المجهول؟

  1. نُحدد المُدخل، ، والمُخرج .
  2. نوجد ثابت التغير. قد نحتاج إلى ضرب في قوة محددة للمتغير لإيجاد ثابت التغير.
  3. نستخدم ثابت التغير لكتابة معادلة عن العلاقة.
  4. نعوض بالقيم المعلومة في المعادلة لإيجاد قيمة المجهول.

مثال ٣: حل مسألة تغير عكسي

تتغير الكمية عكسيًّا مع مكعب . إذا كانت عندما تكون ، فأوجد عندما تكون تساوي ٦.

الحل

الصيغة العامة للتغير العكسي مع مكعب عددٍ ما هي . عند حل هذه المعادلة بالنسبة للحد الثابت ، نحصل على

بالتعويض عن القيم المعطاة لكلٍّ من ، ، نجد أن:

الآن نستخدم الثابت لكتابة المعادلة التي تمثل هذه العلاقة. لدينا:

بالتعويض عن ، نحصل على:

التحليل

الرسم البياني لهذه المعادلة هو دالة نسبية، كما هو موضح في شكل ٤.

شكل ٤

٣. حل المسائل التي تتضمن تغيرًا مشتركًا

يوجد العديد من المواقف التي تكون أكثر تعقيدًا من النموذج البسيط للتغير المباشر أو التغير العكسي. غالبًا ما يعتمد متغير واحد على عدة متغيرات أخرى. عندما يكون المتغير معتمدًا على حاصل ضرب متغيرين أو أكثر أو خارج قسمتهما، يُسمى ذلك باسم التغير المشترك. على سبيل المثال، تكلفة نقل الطلاب بالحافلات في كل رحلة مدرسية يتغير مع عدد الطلاب الحاضرين والمسافة من المدرسة. يتغير المتغير ، المعبر عن التكلفة، بشكل مشترك مع عدد الطلاب ، والمسافة .

التغير المشترك

يحدث التغير المشترك عندما يتغير المتغير طرديًّا أو عكسيًّا مع متغيرات متعددة.

على سبيل المثال، إذا تغير طرديًّا مع كلٍّ من ، ، يصبح لدينا . إذا تغير طرديًّا مع وعكسيًّا مع ، يصبح لدينا . لاحظ أننا لا نستخدم إلا ثابتًا واحدًا فقط في معادلة التغير المشترك.

مثال ٤: حل المسائل التي تتضمن تغيرًا مشتركًا

تتغير الكمية طرديًّا مع مربع وعكسيًّا مع الجذر التكعيبي للمتغير . إذا كانت عندما تكون ، ، فأوجد عندما تكون ، .

الحل

نبدأ بكتابة معادلة لتوضيح العلاقة بين المتغيرات؛ أي:

بالتعويض بقيم ، ، في معادلتنا، نحصل على:

بالاختصار، نجد أن: .

بالتعويض بقيمة في العلاقة، نحصل على:

لإيجاد عندما تكون ، ، سنعوض بالقيم عن ، في معادلتنا؛ وعليه، نجد أن: