تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

المتجهات

جاي أبرامسون

تطير طائرة بسرعة طيران ٢٠٠ ميل في الساعة في اتجاه جنوب الشرق بزاوية . تهب رياح شمالية (من الشمال للجنوب) سرعتها ١٦٫٢ ميلًا في الساعة، كما هو موضح في شكل ١. ما السرعة الأرضية والاتجاه الفعلي للطائرة؟

شكل ١

تشير السرعة الأرضية إلى سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض. تشير سرعة الطيران إلى سرعة الطائرة التي يمكن أن تسير بها الطائرة بالنسبة إلى كتلة الهواء المحيطة بها. وبسبب تأثير الرياح فإن الكميتين ليستا متماثلتين. في قسم سابق، كنا قد استخدمنا المثلثات لحل مسألة مشابهة تتضمن حركة بعض القوارب. بعد ذلك في هذا القسم، سوف نوجد السرعة الأرضية للطائرة واتجاهَها، بينما نبحث طريقة أخرى لحل هذا النوع من المسائل. على أي حال سنستعرض أولًا أساسيات المتجهات.

١. المتجهات من وجهة نظر هندسية

المتجه هو كمية معينة يُرسم كقطعة مستقيمة لها رأس سهم عند أحد نهايتيها. له نقطة بداية حيث يبدأ، ونقطة نهاية حيث ينتهي. يكون تعريف المتجه من خلال مقداره أو طول الخط الذي يمثله، واتجاهه، والذي يحدده رأس السهم عند نقطة النهاية. بالتالي، المتجه هو قطعة مستقيمة موجهة. توجد رموز مختلفة تميِّز المتجهات عن الكميات الأخرى:

  • أن يكتب بأحرف صغيرة، وخط سميك، وبسهم مرسوم أعلى الحرف أو من دونه مثل: ، ، ، ، ، .
  • بمعلومية نقطة للبداية ونقطة للنهاية ، يمكن تمثيل المتجه كالآتي . رأس السهم على أعلى الحرف يشير إلى أنه ليس مجرد خط، بل قطعة مستقيمة موجهة.
  • بمعلومية نقطة للبداية ونقطة للنهاية ، يمكن تمثيل المتجه كالآتي .

الرمز الأخير له دلالة خاصة. يسمى الوضع القياسي. متجه الموضع له نقطة بداية ونقطة نهاية . لتغيير أي متجه إلى متجه موضع، نفكر في التغير في الإحداثيات السينية والإحداثيات الصادية. بالتالي، إذا كانت النقطة الابتدائية للمتجه هي ونقطة النهاية ، فإننا نحصل على متجه الموضع بواسطة حساب الآتي:

في شكل ٢ نرى المتجه الأصلي ومتجه الموضع .

شكل ٢

خصائص المتجهات

المتجه هو قطعة مستقيمة موجهة بنقطة بداية ونقطة نهاية. تتحدد المتجهات بالمقدار، أو طول الخط، والاتجاه، وتمثل بسهم تشير رأسه إلى نقطة النهاية. متجه الموضع له نقطة ابتدائية عند ويتحدد بواسطة نقطة نهايته .

مثال ١: إيجاد متجه الموضع

بافتراض أن هناك متجهًا نقطة بدايته ، ونقطة نهايته . أوجد متجه الموضع.

الحل

إيجاد متجه الموضع يكون بطرح إحداثي سيني من الإحداثي السيني الآخر، وإحداثي صادي من الإحداثي الصادي الآخر. بالتالي:

يبدأ متجه الموضع من عند وينتهي عند . الرسم البياني لكلا المتجهين موضح في شكل ٣.

شكل ٣

نجد أن متجه الموضع هو .

مثال ٢: رسم متجه بالمقاييس المعطاة ومتجه الموضع المكافئ له

أوجد متجه الموضع، علمًا بأن المتجه له نقطة بداية عند ونقطة نهاية عند ، ثم ارسم كلا المتجهين في نفس المستوى.

الحل

نوجد متجه الموضع بواسطة إجراء الحساب الآتي:

بالتالي، يبدأ متجه الموضع عند وينتهي عند . انظر شكل ٤.

شكل ٤

٢. إيجاد مقدار المتجه واتجاهه

عند التعامل مع متجهٍ ما، نحتاج أن نكون قادرين على إيجاد مقداره واتجاهه. نوجد مقداره باستخدام نظرية فيثاغورس أو صيغة المسافة، ونوجد اتجاهه باستخدام دالة الظل العكسية.

مقدار واتجاه متجه

إذا علمنا أن متجه الموضع ، فإن مقدار المتجه يوجد بواسطة. الاتجاه مُساوٍ للزاوية المصنوعة مع محور السينات، أو مع محور الصادات، يعتمد ذلك على ما سنستخدمه في دراسة المتجه. بالنسبة لمتجه الموضع، الاتجاه يعرف باستخدام في المعادلة للحصول على . ويوضح شكل ٥ متجه الموضع ومقداره واتجاهه.

شكل ٥

المتجهان ، يعتبران متساويين إذا كان لهما نفس المقدار ونفس الاتجاه. كذلك إذا كان المتجهان لهما نفس متجه الموضع، فإنهما متساويان.

مثال ٣: إيجاد مقدار واتجاه متجه

أوجد مقدار واتجاه المتجه الذي نقطة بدايته ونقطة نهايته . ارسم المتجه.

الحل

أولًا، نوجد متجه الموضع، كالآتي:

بعد ذلك نوجد المقدار .

باستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد المقدار نحصل على:

نوجد الاتجاه باستخدام في المعادلة . بالتالي يكون لدينا:

مع ذلك، تنتهي الزاوية في الربع الرابع، فأضفنا للحصول على زاوية موجبة. بالتالي، . انظر شكل ٦.

شكل ٦

مثال ٤: إثبات أن متجهين متساويان

اثبت أن المتجه الذي نقطة بدايته عند ونقطة نهايته عند يساوي المتجه الذي نقطة بدايته عند ونقطة نهايته عند . ارسم متجه الموضع على نفس الشبكة على هيئة ، ، ثم أوجد المقدار والاتجاه لكل متجه.

الحل

كما هو موضح في شكل ٧، ارسم المتجه يبدأ من نقطة البداية ونقطة النهاية . ارسم المتجه الذي له نقطة بداية عند ونقطة النهاية . أوجد الموضع المعياري لكليهما.

بعد ذلك، أوجد وارسم متجه الموضع لكلٍّ من ، . يوجد معنا: و

حيث إن متجهَي الموضع متماثلان، فإن ، متماثلان.

شكل ٧

٣. إجراء جمع المتجهات وضربها في كمية قياسية

الآن بعد أن فهمنا خصائص المتجهات، يمكننا أن نجري عمليات تتضمنها. من المناسب أن ننظر إلى المتجه كأنه سهم أو قطعة مستقيمة موجهة من نقطة الأصل للنقطة ، يمكن للمتجهات أن تقع في أي مكان بالمستوى. مجموع المتجهين ، أو الجمع الاتجاهي، يُنتج متجهًا ثالثًا ، هو متجه المحصلة.

لإيجاد ، نرسم أولًا المتجه ، ومن نقطة نهاية ، نرسم المتجه . بمعنًى أخر، لدينا نقطة بداية تقابل نقطة نهاية . ذلك الموضع مُناظِر لمفهوم أننا نتحرك مع المتجه الأول، ثم من نقطة نهايته نتحرك مع المتجه الثاني. المجموع