تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

تحليل كثيرات الحدود

جاي أبرامسون

تخيَّل أننا نحاول إيجاد مساحة حديقة لتحديد كمية بذور العشب اللازم شراؤها. الحديقة هي الجزء الأخضر في الشكل ١.

شكل ١

يمكن إيجاد مساحة المنطقة كلها باستخدام صيغة حساب مساحة المستطيل.

يجب طرح مساحات الأجزاء التي لا تحتاج إلى بذور عشب من المساحة الكلية للمنطقة. كلتا المنطقتين المربعتين مساحتاهما . طول أحد أضلاع المنطقة المستطيلة وطول الضلع الآخر ٤، إذن مساحتها . إذن، مساحة المنطقة التي يجب طرحها تساوي .

يمكن إيجاد مساحة المنطقة التي تحتاج بذور عشب عن طريق طرح . ويمكن التعبير عن هذه المساحة بتحليل المقدار على النحو التالي: . يمكننا التأكد من أن هذا مقدار مكافئ عن طريق الضرب.

يمكن كتابة العديد من المقادير الكثيرة الحدود في صور أبسط من خلال التحليل. في هذا القسم، سنتطرق إلى مجموعة من الطرق التي يمكن تطبيقها لتحليل مقادير كثيرة الحدود.

١. التحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر لكثيرة الحدود

عندما ندرس الكسور، فإننا نتعلم أن العامل المشترك الأكبر (ع.م.أ.) لعددين هو أكبر عدد يقسم العددين دون باقٍ. على سبيل المثال: العدد ٤ هو ع.م.أ. للعددين ١٦ و٢٠؛ لأنه أكبر عدد يَقسِم العددين ١٦ و٢٠ دون باقٍ. والأمر نفسه ينطبق على ع.م.أ. لكثيرات الحدود: هو ع.م.أ. للعدد و؛ لأنه أكبر كثيرة حدود تقسم ، دون باقٍ.

عند تحليل مقدار كثير الحدود، فإن الخُطوة الأولى ينبغي أن تكون تحديد ع.م.أ. عن طريق تحديد ع.م.أ. للمعاملات، ثم تحديد ع.م.أ. للمتغيِّرات.

العامل المشترك الأكبر

العامل المشترك الأكبر (ع.م.أ.) لكثيرات الحدود هو أكبر كثيرة حدود تقسم كثيرتي الحدود دون باقٍ.

كيف يمكننا …؟

إخراج العامل المشترك الأكبر، إذا كان لدينا مقدار كثير الحدود.

  1. نحدِّد ع.م.أ. للمعاملات.
  2. نحدِّد ع.م.أ. للمتغيِّرات.
  3. نضمهما معًا لإيجاد ع.م.أ. للمقدار كله.
  4. نُوجد ما يجب ضربه في ع.م.أ. للحصول على كل حدٍّ في المقدار.
  5. نكتب تحليل المقدار في صورة حاصل ضرب ع.م.أ. في مجموع الحدود التي يجب أن نضربها فيه.

مثال ١: التحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر لكثيرة حدود

حلِّل .

الحل

أولًا: نقوم بإخراج ع.م.أ. للمقدار كله. ع.م.أ. للأعداد ٦، ٤٥، ٢١ هو ٣. ع.م.أ. للمقادير ، ، هو . (لاحظ ع.م.أ. لمجموعة من المقادير على الصورة سيكون الأس ذا الدرجة الأقل.) ع.م.أ. للمقادير ، ، هو . نضم هذه العوامل معًا لإيجاد ع.م.أ. لكثيرة الحدود .

ثم نُوجد الحدود التي يجب ضربها في ع.م.أ. لإيجاد كل حدٍّ في كثيرة الحدود. نجد أن ، ، .

وأخيرًا، نكتب تحليل المقدار في صورة حاصل ضرب ع.م.أ. في الحدود المجموعة التي يجب أن نضربها فيه.

تفصيل

بعد التحليل، يمكننا التحقُّق من صحة ما قمنا به عن طريق عملية الضرب. نستخدم خاصية التوزيع للتأكد من أن .

٢. تحليل مقدار ثلاثي معامله الرئيسي يساوي ١

على الرغم من أنه علينا دومًا أن نبدأ بإيجاد ع.م.أ. فإن إخراج ع.م.أ. ليست الطريقة الوحيدة لتحليل المقادير الكثيرة الحدود. كثيرة الحدود لها ع.م.أ. يساوي ١، لكن يمكن كتابتها في صورة حاصل ضرب العاملين ، .

المقدار الثلاثي الذي على الصورة يمكن تحليله عن طريق إيجاد عددين حاصل ضربهما ومجموعهما . على سبيل المثال، المقدار الثلاثي يمكن تحليله باستخدام العددين ٢ و٨؛ لأن حاصل ضربهما يساوي ١٦، ومجموعهما يساوي ١٠. يمكن إعادة كتابة المقدار الثلاثي في صورة حاصل ضرب في .

تحليل مقدار ثلاثي معامله الرئيسي يساوي ١

يمكن كتابة المقدار الثلاثي الذي صورته فى الصورة ؛ حيث ، .

هل يمكن تحليل أي مقدار ثلاثي في صورة حاصل ضرب مقدارين ثنائيين

لا، بعض كثيرات الحدود لا يمكن تحليلها. ويُطلَق عليها كثيرات حدود أولية.

كيف يمكننا …؟

تحليل مقدار ثلاثي على الصورة .

  1. نسرد عوامل .
  2. نُوجد ، ؛ بحيث يكونان عاملَيْن من عوامل مجموعهما .
  3. نكتب تحليل المقدار في صورة .

مثال ٢: تحليل مقدار ثلاثي معامله الرئيسي يساوي ١

حلِّل .

الحل

لدينا مقدار ثلاثي معامله الرئيسي يساوي ١، ، . علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما ومجموعهما ٢. في الجدول ١، نسرد العوامل حتى نجد عاملَيْن يحققان المجموع المطلوب.

جدول ١
عوامل مجموع العاملين

والآن، بما أننا حدَّدنا قيمتَيْ ، اللتين تساويان و٥، نكتب تحليل المقدار على الشكل .

تفصيل

يمكننا التحقُّق مما قمنا به عن طريق عملية الضرب. نستخدم طريقة ضرب الأقواس (الطريقة الأفقية) للتحقُّق من .

هل يهم ترتيب العوامل؟

لا، الضرب إبدالي؛ لذا لا يهم ترتيب العوامل.

٣. التحليل بالتجميع

تحليل المقادير الثلاثية التي معاملها الرئيسي لا يساوي ١ يكون أكثر تعقيدًا. بالنسبة لتلك المقادير الثلاثية، يمكن التحليل بالتجميع بتقسيم الحد الأوسط إلى مجموع حدين، وتحليل كل جزء من المقدار على حدةٍ، ثم تحليل بإخراج ع.م.أ. للمقدار كله. يمكن كتابة المقدار الثلاثي على الصورة باستخدام هذه العملية. نبدأ بإعادة كتابة المقدار الأصلي على الصورة ، ثم نحلِّل كل جزء من المقدار للحصول على ، ثم نُخرِج ع.م.أ. لإيجاد تحليل المقدار.

التحليل بالتجميع

لتحليل مقدار ثلاثي على الصورة بالتجميع، نوجد عددين حاصل ضربهما ومجموعهما . نستخدم تلك الأعداد لتقسيم الحد إلى مجموع حدين، ونحلِّل كل جزء من المقدار على حدة، ثم نستخرج ع. م. أ. بالنسبة للمقدار كله.

كيف يمكننا …؟

تحليل مقدار ثلاثي على الصورة ، بالتجميع.

  1. نسرد عوامل .
  2. نُوجد ، ؛ بحيث يكونان عاملَيْن من عوامل مجموعهما .
  3. نُعيد كتابة المقدار الأصلي على الصورة .
  4. نستخرج ع.م.أ. لـ .
  5. نستخرج ع.م.أ. لـ .
  6. نُخرِج ع.م.أ. للمقدار.

مثال ٣: تحليل مقدار ثلاثي بالتجميع

حلِّل بالتجميع.

الحل

لدينا مقدار ثلاثي فيه ، ، . أولًا: نُوجد . علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما ومجموعهما ٧. في الجدول ٢، نسرد العوامل حتى نجد عاملَيْن يحققان المجموع المطلوب.

جدول ٢
عوامل مجموع العاملين

إذن، و .

تفصيل

يمكننا التحقُّق مما قمنا به عن طريق عملية الضرب. نستخدم طريقة ضرب الأقواس (الطريقة الأفقية) للتحقُّق من أن .

٤. تحليل مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل

مقدار ثلاثي على صورة مربع كامل هو مقدار ثلاثي يمكن إعادة كتابته في صورة مربع مقدار ثنائي الحدود. تذكَّر أنه عند تربيع ثنائية الحدود، فإن الناتج هو مربع الحد الأول مجموعًا إلى ضعف حاصل ضرب الحدين ومربع الحد الأخير.