تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

حل الأنظمة باستخدام قاعدة كرامر

جاي أبرامسون

تُوجد طرق عديدة لحل أنظمة المعادلات في متغيرين أو ثلاثة متغيرات؛ على سبيل المثال: التعويض، والجمع، وطريقة جاوس للحذف، واستخدام معكوس المصفوفة، والرسم البياني. يَسهُل تطبيق بعض هذه الطرق أكثر من غيرها، كما أنها أكثر ملاءمةً في مسائل بعينها. سندرس هنا قاعدة كرامر لحل أنظمة المعادلات.

١. إيجاد مُحدِّد مصفوفة على النظم

المحدِّد عددٌ حقيقي يمكن أن يكون مفيدًا للغاية في الرياضيات؛ لأنه ذو تطبيقات متعددة؛ مثل إيجاد المساحة، أو الحجم، أو كميات أخرى. سنستخدمه هنا لتحديد وجود حلٍّ لنظام المعادلات. ومع ذلك، ربما يكون أحد التطبيقات الأكثر إثارةً للاهتمام للمُحدِّد استخدامه في التشفير. وأحيانًا تُرسَل الإشارات أو الرسائل المحمية مُشفرةً في مصفوفة. لا يمكن فكُّ تشفير البيانات إلا باستخدام مصفوفة قابلة للعكس والمحدد.

إيجاد محدِّد مصفوفة على النظم

المصفوفة على النظم :

يُعرَّف محدد على الصورة:

يمكننا أيضًا كتابة المحدد للمصفوفة على الصورة

مثال ١: إيجاد محدد مصفوفة على النظم

أوجد محدد:

الحل

باستخدام التعريف:

لاحِظ عند إيجاد المحدد لمصفوفة على النظم ، أننا نضرب عنصرَي القطر ونطرح حاصل ضرب العنصرين الخارجين عن القطر الرئيسي من حاصل ضرب عنصرَي القطر الرئيسي:

٢. استخدام قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين في متغيرين

قاعدة كرامر أسلوبٌ يرجع إلى منتصف القرن الثامن عشر، وسُمِّي باسم مبتكره الرياضي السويسري جابرييل كرامر (١٧٠٤–١٧٥٢)، الذي قدَّمه في Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (مقدمة لتحليل المنحنيات الجبرية). قاعدة كرامر طريقةٌ قابلة للتطبيق وفعَّالة في إيجاد حلول للأنظمة ذات العدد الكبير من المجاهيل، شريطة أن يكون لدينا عدد من المعادلات مثل عدد المجاهيل.

ستُعطينا قاعدة كرامر حلًّا وحيدًا لنظام المعادلات، إن وُجِد. يمكن من خلالها أيضًا معرفة هل للنظام حلٌّ أو أن له عددًا لا نهائيًّا من الحلول؛ ومع ذلك، فإن لمعرفة هل النظام غير متسق أو غير مستقل، سنستخدم طريقة أخرى؛ مثل الحذف.

لفهم قاعدة كرامر، نُلقي نظرةً من كَثَب على كيفية حلِّنا لأنظمة المعادلات الخطية باستخدام العمليات الصفية الأوَّلية. نعتبر نظامًا من معادلتين في متغيرين. على صورة مصفوفة، يكون الشكل: لكننا سنكتبه على الصورة:

سنحذف متغيرًا واحدًا باستخدام العمليات الصفِّية ونَحُلُّ الآخر.

سنبدأ بإيجاد قيمة بحذف . ولحذف نضرب أولًا (١) في ، ونضرب (٢) في . ليصبح نظامنا:

الآن، إذا جمعنا هاتين المعادلتين، نحصل على: التي تُختصر إلى:

يمكننا إيجاد قيمة والحصول على:

بعد ذلك، نتبع طريقة مشابهة لحل نظامنا الأصلي وإيجاد . نريد حذف . يمكننا كتابة نظامنا على الصورة:

بالجمع وإيجاد قيمة مثلما سبق، نحصل على:

ومن ثم، فقد وجدنا صيغًا لحل النظام:

تُعتبر الصيغتان السابقتان المعبِّرتان عن ، هما الجزء الأساسي بقاعدة كرامر.

نلاحظ أن مقام كلٍّ من ، مُحدِّد مصفوفة المعاملات.

الملاحظة الرئيسية لقاعدة كرامر، لإيجاد المحدد في البسط، هي أنه يمكننا أن نضع بدلًا من أحد الأعمدة في مصفوفة المعاملات عمودَ الثوابت.

لإيجاد نضع بدلًا من عمود الثوابت ولإيجاد نضع بدلًا من عمود الثوابت .

كما تُدخِل قاعدة كرامر أيضًا رمزًا جديدًا:

  • : محدد مصفوفة المعاملات.
  • : البسط في حل ، الذي يعتبر محدد المصفوفة .
  • : البسط في حل ، الذي يعتبر محدد المصفوفة .

قاعدة كرامر لأنظمة على النظم

قاعدة كرامر طريقةٌ تستخدم المحددات لحل أنظمة المعادلات التي بها عدد المعادلات مثل عدد المتغيرات.

نعتبر نظامًا من معادلتين خطيتين في متغيرين:

إذا كان ، فإن الحل باستخدام قاعدة كرامر يأتي على الصورة:

إذا كنا نُوجد قيمة ، فإننا نحصل على البسط باستبدال عمود الثوابت بالعمود الأول في مصفوفة المعاملات. وإذا كنا نُوجد قيمة ، فإننا نستبدل عمود الثوابت بالعمود الثاني.

مثال ٢: استخدام قاعدة كرامر لحل أنظمة على النظم

أوجد حل النظام على النظم الآتي باستخدام قاعدة كرامر.

الحل

النظام هو:

لإيجاد قيمة ، نستبدل عمودَ الثوابت بالعمود الأول في مصفوفة المعاملات للحصول على . هذه هي المصفوفة التي محددها .

ثم باستخدام قاعدة كرامر:

بالمثل، نُوجد قيمة :

الحل .

٣. إيجاد محدد مصفوفة على النظم

يعتبر إيجاد محدد مصفوفة على النظم مباشرًا، لكن إيجاد محدد مصفوفة على النظم أكثر تعقيدًا.

يُعرَّف محدد مصفوفة على النظم : على الصورة:

يمكن كتابة ذلك جبريًّا على الصورة:

مثال ٣: إيجاد محدد مصفوفة على النظم

أوجد محدد المصفوفة على النظم إذا كان:

الحل

باستخدام الصيغة: